高中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)題（含答案）

第1講集合最新考綱常見題型1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2.集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．3.集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表示集合的關(guān)系及運算.多以選擇題出現(xiàn)于第1或第2題位置，是高考必考內(nèi)容，占5分左右．[知識梳理]1．集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性.(2)元素與集合的兩種元素：屬于，記為∈；不屬于，記為?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.(4)五個特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于AA?B，且?x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?AA＝B空集不含任何元素的集合，空集是任何集合A的子集?x，x??，??A?3．集合的基本運算表示運算文字語言符號語言圖形語言記法交集屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于集合A的元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}?UA[知識感悟]1．集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.2．判斷集合關(guān)系的三種方法(1)一一列舉觀察；(2)集合元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷集合關(guān)系；(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖．3．?dāng)?shù)形結(jié)合思想數(shù)軸和Venn圖是進行交、并、補集運算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或Venn圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題．[知識自測]1．(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，則A∩B＝()A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}[解析]集合A與集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，選B.[答案]B2．(2018·江西重點中學(xué)聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝eq\r(x－3)}，則A∩B等于()A．[1,3] B．[1,5]C．[3,5] D．[1，＋∞)[解析]根據(jù)題意，得A＝{x|x2－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|y＝eq\r(x－3)}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]．[答案]C3．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n)2017＝______.[解析]由M＝N知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝1，,log2n＝m))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝m，,log2n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝2.))[答案]－1或0題型一集合的基本概念(基礎(chǔ)拿分題——自主練透)(1)(2018·山東省棗莊十六中4月模擬試卷)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的個數(shù)為()A．32 B．31C．16 D．15[解析]由題意集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，a∈A，b∈B，那么：a、b的組合有：(1、4)，(1、5)，(2、4)，(2、5)，(3、4)，(3、5)，∵M＝{x|x＝a＋b}，∴M＝{5,6,7,8}，集合M中有4個元素，有24－1＝15個真子集．故選：D.[答案]D(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2018＋b2018為()A．1 B．0C．－1 D．±1[解析]由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2018＋b2018＝(－1)2018＋02018＝1.[答案]A方法感悟1．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性．2．對于集合相等首先要分析已知元素與另一個集合中哪一個元素相等，分幾種情況列出方程(組)進行求解，要注意檢驗是否滿足互異性．【針對補償】1．(2018·山西省大同市豪洋中學(xué)四模試卷)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z|\f(1,27)＜3x≤9))，B＝{x∈N|－2＜x＜3}，則集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的元素個數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9[解析]由eq\f(1,27)＜3x≤9，即3－3＜3x≤32，解得－3＜x≤2，∴A＝{－2，－1,0,1,2}．B＝{0,1,2}．∴集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}＝{－2，－1，0,1,2，－4,4}的元素個數(shù)為7.故選：B.[答案]B2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________.[解析]由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2)，當(dāng)m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f(3,2).[答案]－eq\f(3,2)3．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3個元素，則k的取值范圍為______．[解析]因為P中恰有3個元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范圍為5<k≤6.[答案]5<k≤6題型二集合的基本關(guān)系(重點保命題，共同探討)(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}．所以滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．[答案]D(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為______．[解析]因為B?A，所以①若B＝?，則2m－1<m＋1，此時m<2.②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①、②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為m≤3.[答案]m≤3方法感悟1．空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解．2．已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．[注意]題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況進行討論．【針對補償】4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的值為()A.eq\f(1,3)或－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)或－eq\f(1,2)或0 D．－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0[解析]由題意知A＝{2，－3}，當(dāng)a＝0時，B＝?，滿足B?A；當(dāng)a≠0時，ax－1＝0的解為x＝eq\f(1,a)，由B?A，可得eq\f(1,a)＝－3或eq\f(1,a)＝2，∴a＝－eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,2).綜上，a的值為－eq\f(1,3)或eq\f(1,2)或0.[答案]D5．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，則c＝______.[解析]由log2x≤2，得0<x≤4.即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A?B，如圖所示，則a>4，即c＝4.[答案]4題型三集合的基本運算(高頻考點題，多角突破)集合的基本運算是歷年各地高考的熱點，每年必考，常和不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域相結(jié)合命題，主要以選擇題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題．高考對集合運算的考查主要有以下三個命題角度：(1)求集合間的交、并、補運算；(2)已知集合的運算結(jié)果求集合；(3)已知集合的運算結(jié)果求參數(shù)的值(或參數(shù)的取值范圍)．考向一求交集1．(2017·課標(biāo)Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0[解析]集合中的元素為點集，由題意，結(jié)合A表示以(0,0)為圓心，1為半徑的單位圓上所有點組成的集合，集合B表示直線y＝x上所有的點組成的集合，圓x2＋y2＝1與直線y＝x相交于兩點(1,1)，(－1，－1)，則A∩B中有兩個元素．故選B.[答案]B考向二求并集2．(2016·山東卷)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，則A∪B＝{x|x>－1}，選C.[答案]C考向三集合的交、并、補的綜合運算3．(2018·山東省德州市四月二模)設(shè)全集U＝R，集合M＝{x|x2＋x－2＞0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1≥2))，則(?UM)∩N＝()A．[－2,0] B．[－2,1]C．[0,1] D．[0,2][解析]M＝{x|x＞1或x＜－2}，?UM＝{x|－2≤x≤1}，N＝{x|x－1≤－1}＝{x|x≤0}，所以(?UM)∩N＝{x|－2≤x≤0}，故選A.[答案]A考向四利用集合運算求參數(shù)4．已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且A∩B＝B，則實數(shù)m的取值范圍為()A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)[解析]由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}，又A∩B＝B，所以B?A.①當(dāng)B＝?時，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.②當(dāng)B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1＜m＋1，))解得－1≤m＜2.綜上，m的取值范圍為[－1，＋∞)．[答案]D考向五集合的斜定義問題5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個數(shù)為()A．77 B．49C．45 D．30[解析]如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點“○”，集合B表示如圖所示的所有圓點“○”＋所有圓點“·”，集合A⊕B顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個點{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點)，即集合A⊕B表示如圖所示的所有圓點“○”＋所有圓點“·”＋所有圓點“⊙”，共45個，故A⊕B中元素的個數(shù)為45.故選C.[答案]C方法感悟集合基本運算的常見題型與破解策略：重點題型破解策略求并集、交集或補集一般是先解方程或不等式化簡集合，再由并集、交集或補集的定義求解交、并、補的混合運算先算括號里面的，再按運算的順序求解利用集合的基本運算求參數(shù)的取值(范圍)數(shù)形結(jié)合思想的運用，利用好數(shù)軸、Venn圖等．集合的定義問題解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：(1)緊扣新定義，首先分析定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì).【針對補償】6．(2017·山東)設(shè)函數(shù)y＝eq\r(4－x2)的定義域A，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為B，則A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x＞0得x＜1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1}＝{x|－2≤x＜1}，選D.[答案]D7．(2018·山東省青島市數(shù)學(xué)一模試卷)已知集合A＝{x||x＋1|≥1}，B＝{x|x≥－1}，則(?RA)∩B＝()A．[－1,0] B．[－1,0)C．(－2，－1) D．(－2，－1][解析]∵A＝{x||x＋1|≥1}＝{x|x≤－2或x≥0}，∴?RA＝{x|－2＜x＜0}，又B＝{x|x≥－1}，∴(?RA)∩B＝[－1,0)．故選：B.[答案]B8．定義一種新的集合運算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}，若集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}，則按運算△，B△A等于()A．{x|3＜x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3＜x＜4} D．{x|2≤x≤4}[解析]A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2≤x≤4}，由題意知B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．[答案]B◆牛刀小試·成功靠岸◆課堂達(dá)標(biāo)(一)[A基礎(chǔ)鞏固練]1．(2017·課標(biāo)Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，則()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝?[解析]由3x＜1可得3x＜30，則x＜0，即B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故選A.[答案]A2．(2017·天津)設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}[解析](A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，選B.[答案]B3．(2018·哈爾濱九中二模)設(shè)非空集合P，Q滿足P∩Q＝P，則()A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P[解析]∵P∩Q＝P，∴P?Q∴A錯誤；B正確；C錯誤；D錯誤．故選B.[答案]B4．(2018·刑臺摸底考試)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝eq\r(x)，0≤x≤4}，則下列關(guān)系正確的是()A．A??RB B．B??RAC．?RA??RB D．A∪B＝R[解析]依題意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B?A，?RA??RB.[答案]C5．(2018·湖北七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，則集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的個數(shù)為()A．147 B．140C．130 D．117[解析]由題意得，y的取值一共有3種情況，當(dāng)y＝2時，xy是偶數(shù)，不與y＝3，y＝5時有相同的元素，當(dāng)y＝3，x＝5,15,25，…，95時，與y＝5，x＝3,9,15，…，57時有相同的元素，共10個，故所求元素個數(shù)為3×50－10＝140，故選B.[答案]B6．(2018·山東臨沂期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?UB?A，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)[解析]∵x2－3x＋2>0，∴x>2或x<1.∴A＝{x|x>2或x<1}，∵B＝{x|x≤a}，∴?UB＝{x|x>a}．?UB?A，借助數(shù)軸可知a≥2，故選D.[答案]D7．已知集合A＝{x|y＝eq\r(x)}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<4))))，則(?RA)∩B等于______．[解析]因為A＝{x|y＝eq\r(x)}＝{x|x≥0}，所以?RA＝{x|x<0}．又B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<4))))＝{x|－1<x<2}，所以(?RA)∩B＝{x|－1<x<0}．[答案]{x|－1<x<0}8．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若B?A，則m的取值范圍為________.[解析]當(dāng)m≤0時，B＝?，顯然B?A.當(dāng)m＞0時，∵A＝{x|－1＜x＜3}．當(dāng)B?A時，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m＜m.))∴0＜m≤1.綜上所述m的取值范圍為(－∞，1]．[答案](－∞，1]9．(2018·南陽月考)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|y＝eq\r(x2－2x－3)}，B＝{y|y＝ex＋1}，則A∪B＝________.[解析]因為A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B＝{x|x＞1或x≤－1}．[答案](－∞，－1]∪(1，＋∞)10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求實數(shù)m的值；(2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍．[解]由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3，))∴m＝2.(2)?RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，∵A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.因此實數(shù)m的取值范圍是{m|m＞5或m<－3}．[B能力提升練]1．(2018·湖南衡陽第三次聯(lián)考)集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，y≤x，y≥－1}，N＝{(x，y)|(x－2)2＋y2＝r2，r＞0}，若M∩N≠?，則r的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，3)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\r(10)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(10))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),2)))[解析]由條件可得M的可行域：如圖陰影部分，N則是以P(2,0)為圓心，半徑為r的圓，由M∩N＝?，則當(dāng)圓與x＋y＝1相切時半徑最小，如圖D處，則d＝r＝eq\f(\r(2),2)，當(dāng)過y＝x，y＝－1的交點時最大，此時r＝eq\r(10)，故選C.[答案]C2．(2018·開封模擬)設(shè)集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}[解析]易知A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，則?UB＝{x|x≥1}，陰影部分表示的集合為A∩(?UB}＝{x|1≤x<2}．[答案]B3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________.[解析]A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，則B＝{x|m＜x＜2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.[答案]－1；14．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A、B為集合M的非空子集，若?x∈A、y∈B，x<y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有__________________個．[解析]當(dāng)A＝{1}時，B有23－1＝7種情況，當(dāng)A＝{2}時，B有22－1＝3種情況，當(dāng)A＝{3}時，B有1種情況，當(dāng)A＝{1,2}時，B有22－1＝3種情況，當(dāng)A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時，B均有1種情況，所以滿足題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17個．[答案]175．(2018·徐州模擬)已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)當(dāng)m＝－1時，求A∪B；(2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1)當(dāng)m＝－1時，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B＝{x|－2<x<3}．(2)由A?B知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>2m，,2m≤1，,1－m≥3，))得m≤－2，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2]．(3)由A∩B＝?，得①若2m≥1－m，即m≥eq\f(1,3)時，B＝?，符合題意；②若2m<1－m，即m<eq\f(1,3)時，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,1－m≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,2m≥3，))得0≤m＜eq\f(1,3)或?，即0≤m<eq\f(1,3).綜上知m≥0，即實數(shù)m的取值范圍為[0，＋∞)．[C尖子生專練](2018·貴陽市監(jiān)測考試)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件：①若a1∈A，則a2∈A；②若a3?A，則a2?A；③若a3∈A，則a4?A.則集合A＝______.(用列舉法表示)[解析]若a1∈A，則a2∈A，則由若a3?A，則a2?A可知，a3∈A，假設(shè)不成立；若a4∈A，則a3?A，則a2?A，a1?A，假設(shè)不成立，故集合A＝{a2，a3}．[答案]{a2，a3}

第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件◆高考導(dǎo)航·順風(fēng)啟程◆最新考綱常見題型1.理解命題的概念．2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.多以選擇題出現(xiàn)于第1、2題位置、占5分左右.[知識梳理]1．命題概念使用語言、符號或者式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句特點(1)能判斷真假；(2)陳述句分類真命題、假命題2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系：(2)四種命題中真假性的等價關(guān)系：原命題等價于逆否命題，原命題的否命題等價于逆命題.在四種形式的命題中真命題的個數(shù)只能是0,2,4.3．充要條件若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為Bp是q的充分不必要條件p?q且q/?pA是B的真子集集合與充要條件p是q的必要不充分條件p/?q且q?pB是A的真子集p是q的充要條件p?qA＝Bp是q的既不充分也不必要條件p/?q且q/?pA，B互不包含[知識感悟]1．四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假．(2)當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假．同時要關(guān)注“特例法”的應(yīng)用．2．命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假．(2)等價法：利用A?B與綈B?綈A，B?A與綈A?綈B，A?B與綈B?綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．(3)集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．[知識自測]1．下列命題中為真命題的是()A．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題B．命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題[解析]對于A，其逆命題是若x＞|y|，則x＞y，則真命題，這是因為x＞|y|≥y，必有x＞y.[答案]A2．(2017·天津)設(shè)θ∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)”是“sinθ＜eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)?0＜θ＜eq\f(π,6)?sinθ＜eq\f(1,2)，但θ＝0，sinθ＜eq\f(1,2)，不滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))＜eq\f(π,12)，所以是充分不必要條件，選A.[答案]A3．在下列三個結(jié)論中，正確的是________.(寫出所有正確結(jié)論的序號)①若A是B的必要不充分條件，則綈B也是綈A的必要不充分條件；②“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,△＝b2－4ac≤0))”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”的充要條件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要條件．[解析]易知①②正確．對于③，若x＝－1，則x2＝1，充分性不成立，故③錯誤．[答案]①②題型一四種命題及相互關(guān)系(基礎(chǔ)拿分題——自主練透)(1)(2018·廣東肇慶一模)原命題：“設(shè)a、b、c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有()A．0個 B．1個C．2個 D．4個[解析]原命題：若c＝0則不成立，由等價命題同真同假知其逆否命題也為假；逆命題：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性質(zhì)得a＞b，∴逆命題為真，由等價命題同真同假知否命題也為真，∴有2個真命題．[答案]C(2)(2018·宿州模擬)下列命題：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題；②“全等三角形面積相等”的逆命題；③“若a＞1，則ax2－2ax＋a＋3＞0的解集為R”的逆否命題；④“若eq\r(3)x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題．其中正確的命題是()A．③④ B．①③C．①② D．②④[解析]對于①，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為假命題；對于②，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，是假命題；對于③，當(dāng)a＞1時，Δ＝－12a＜0，原命題正確，從而其逆否命題正確，故③正確；對于④，原命題正確，從而其逆否命題正確，故④正確，故選A.[答案]A思維升華1．寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．2．判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例．3．根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假方法感悟1．寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．2．判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例．3．根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假．【針對補償】1．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．“若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”B．“若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)”C．“若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”D．“若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)”[解析]由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”．[答案]C2．已知：命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”，則下列結(jié)論正確的是()A．否命題是“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m>1”，是真命題B．逆命題是“若m≤1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，是假命題C．逆否命題是“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是減函數(shù)”，是真命題D．逆否命題是“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)，是真命題”[解析]由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則m≤1”是真命題，所以其逆否命題“若m>1，則函數(shù)f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函數(shù)”是真命題．[答案]D題型二充分條件，必要條件的判斷(高頻考點題、共同探討)充分條件、必要條件的判斷是高考命題的熱點，常以選擇題的形式出現(xiàn)，作為一個重要載體，考查的知識面很廣，幾乎涉及數(shù)學(xué)知識的各個方面．高考對充要條件的考查主要有以下三個命題角度：(1)判斷指定條件與結(jié)論之間的關(guān)系；(2)探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件；(3)與命題的真假性相交匯命題．考向一與不等式有關(guān)的題型1．(2018·山西省大同市豪洋中學(xué)四模試卷)“m≤－eq\f(1,2)”是“?x＞0，使得eq\f(x,2)＋eq\f(1,2x)－eq\f(3,2)＞m是真命題”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若?x＞0，使得eq\f(x,2)＋eq\f(1,2x)－eq\f(3,2)＞m是真命題，則m＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,2x)－\f(3,2)))min，令f(x)＝eq\f(x,2)＋eq\f(1,2x)－eq\f(3,2)，則f(x)≥2eq\r(\f(x,2)·\f(1,2x))－eq\f(3,2)＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)，故m＜－eq\f(1,2)，故m≤－eq\f(1,2)”是“m＜－eq\f(1,2)”的必要不充分條件，故選B.[答案]B考向二與三角有關(guān)的題型2．(2018·石家莊一模)若命題p：φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，命題q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函數(shù)，則p是q的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z時，f(x)＝±cosωx是偶函數(shù)，所以p是q的充分條件；若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函數(shù)，則sinφ＝±1，即φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要條件，故p是q的充要條件，故選A.[答案]A考向三與向量有關(guān)的題型3．(2018·甘肅省蘭州市二模)設(shè)向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，則“a⊥b”是“x＝2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]∵a⊥b，∴(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，化為：2x2－3x－2＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或2.∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分條件．故選：B.[答案]B考向四與數(shù)列有關(guān)的題型4．(2018·北京市西城區(qū)一模)數(shù)列{an}的通項公式為an＝|n－c|(n∈N*)．則“c≤1”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]數(shù)列{an}的通項公式為an＝|n－c|(n∈N*)，若“{an}為遞增數(shù)列”，則an＋1－an＝|n＋1－c|－|n－c|＞0，即(n＋1－c)2＞(n－c)2，解得c＜n＋eq\f(1,2)，∵n＋eq\f(1,2)≥eq\f(3,2)，∴c≤1是{an}為遞增數(shù)列充分不必要條件，故選A.[答案]A考向五與幾何問題有關(guān)的題型5．(2016·山東卷)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)．則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若a，b相交則α，β一定相交．若α，β相交則不能得出a，b相交．故選A.[答案]A考向六與函數(shù)有關(guān)的題型6．(2018·合肥一模)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,2x－a，x≤0))有且只有一個零點的充分不必要條件是()A．a(chǎn)≤0或a＞1 B．0＜a＜eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)＜a＜1 D．a(chǎn)＜0[解析]因為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0,2x－a，x≤0))有且只有一個零點的充要條件為a≤0或a＞1.由選項可知，使“a≤0或a＞1”成立的充分條件為選項D.[答案]D方法感悟充分、必要條件判定的常見題型與求解策略：常見題型求解策略與不等式相關(guān)的充分必要條件的判斷可把不等式之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的關(guān)系，根據(jù)集合與充要條件之間的關(guān)系進行判斷與平面向量相關(guān)的充分必要條件的判斷該類題型常涉及向量的概念、運算及向量共線、共面的條件，可把問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)向量之間的推理與三角相關(guān)的充分必要條件的判斷熟練掌握三角的相關(guān)概念、運算公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及正、余弦定理是解決該類問題的關(guān)鍵與數(shù)列相關(guān)的充分必要條件的判斷熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性、周期性、an與Sn的關(guān)系與立體幾何相關(guān)的充分必要條件的判斷可把問題轉(zhuǎn)化為線線、線面、面面之間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)問題，由此進行恰當(dāng)判斷與解析幾何相關(guān)的充分必要條件的判斷首先理解點與曲線的位置關(guān)系，兩直線的位置關(guān)系，直線與曲線的位置關(guān)系，然后弄清題意進行判斷提醒：解答充分條件、必要條件的判斷題，必須從正、逆兩個方面進行判斷．【針對補償】3．(2018·東北三省四市聯(lián)考)“x＜2”是“x2－3x＋2＜0”成立的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由x2－3x＋2＜0，解得1<x<2，因為{x|1<x<2}{x|x<2}，所以“x<2”是“x2－3x＋2<0”成立的必要不充分條件，故選A.[答案]A4．(2018·廣西名校聯(lián)考)在△ABC中，命題p：“B≠60°”，命題q：“△ABC的三個內(nèi)角A，B，C不成等差數(shù)列”，那么p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]命題p：“B≠60°”則(A＋C)－2B＝π－B－2B≠0，?命題q：“△ABC的三個內(nèi)角A，B，C不成等差數(shù)列”，故選C.[答案]C5．(2016·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx，則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由題意知f(x)＝x2＋bx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2)))2－eq\f(b2,4)，最小值為－eq\f(b2,4).令t＝x2＋bx，則f(f(x))＝f(t)＝t2＋bt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(b,2)))2－eq\f(b2,4)，t≥－eq\f(b2,4)，當(dāng)b<0時，f(f(x))的最小值為－eq\f(b2,4)，所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”；當(dāng)b＝0時，f(f(x))＝x4的最小值為0，f(x)的最小值也為0，所以“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”．故選A.[答案]A題型三充分必要條件的應(yīng)用(重點保分題，共同探討)(1)(2018·皖北第一次聯(lián)考)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)＜1，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1)[解析]∵eq\f(3,x＋1)＜1，∴eq\f(3,x＋1)－1＝eq\f(2－x,x＋1)＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，∵p是q的充分不必要條件，∴k＞2.[答案]B(2)已知條件p：2x2－3x＋1≤0，條件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________.[解析]命題p為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)≤x≤1))，命題q為{x|a≤x≤a＋1}．綈p對應(yīng)的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞1或x＜\f(1,2)))，綈q對應(yīng)的集合B＝{x|x＞a＋1或x＜a}．∵綈p是綈q的必要不充分條件．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞1，,a≤\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a＜\f(1,2)，))∴0≤a≤eq\f(1,2).故答案為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))方法感悟根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的注意點1．解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．2．求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．【針對補償】6．已知條件p：x2－3x－4≤0；條件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－4,4]C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m＞0)或3＋m≤x≤3－m(m<0)，依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,3－m≤－1，,3＋m＞4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,3－m<－1，,3＋m≥4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,3＋m≤－1，,3－m＞4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,3＋m＜－1，,3－m＞4，))解得m≤－4或m≥4，選C.[答案]C7．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，則m的取值范圍是______．[解析]由|x－m|<1得m－1<x<m＋1，若eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)是|x－m|<1成立的充分不必要條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3),m＋1>\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1<\f(1,3),m＋1≥\f(1,2)))得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3)))◆牛刀小試·成功靠岸◆課堂達(dá)標(biāo)(二)[A基礎(chǔ)鞏固練]1．(2018·山東重點中學(xué)模擬)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的()A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．否定[解析]命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題．[答案]B2．(2016·天津卷)設(shè)x＞0，y∈R，則“x>y”是“x>|y|”的()A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件[解析]若x>|y|，則x>y或x>－y，若x>y，當(dāng)y>0時，x>|y|，當(dāng)y<0時，不能確定x>|y|.故選C.[答案]C3．(2018·河北保定二模)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A．m>eq\f(1,4) B．0<m<1C．m>0 D．m>1[解析]由題意知，對應(yīng)方程的Δ＝(－1)2－4m<0，即m>eq\f(1,4).結(jié)合選項可知，不等式恒成立的一個必要不充分條件是m>0，故選C.[答案]C4．(2018·北京市朝陽區(qū)二模)“x＞0，y＞0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]“x＞0，y＞0”?“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”，反之不成立，例如取x＝y(tǒng)＝－1.∴x＞0，y＞0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”的充分而不必要條件．故選：A.[答案]A5．命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是()A．“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac”C．“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列”D．“若b2≠ac”，則a，b，c不成等比數(shù)列[解析]根據(jù)原命題與其逆否命題的關(guān)系，易得命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”．[答案]D6．(2018·安徽合肥一模)祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等．設(shè)A、B為兩個同高的幾何體，p：A、B的體積不相等，q：A、B在等高處的截面積不恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]如果A，B在等高處的截面積恒相等，則A，B的體積相等，因此有p?q，但q?p不一定成立，把兩個相同的錐體放在一個平面上，再把其中一個錐體翻轉(zhuǎn)底向上，頂點在原底面所在平面，雖然在等高處的截面積不恒相等，但體積相等，故p是q的充分不必要條件．故選A.[答案]A7．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為：______.[解析]原命題的條件：在△ABC中，∠C＝90°，結(jié)論：∠A、∠B都是銳角．否命題是否定條件和結(jié)論．即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角”．[答案]“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角”8．(2018·湖南常德一中月考)若“x2－2x－3＞0”是“x＞a”的必要不充分條件，則a的最小值為________.[解析]由x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.因為“x2－2x－3>0”是“x>a”的必要不充分條件，所以{x|x>a}是{x|x<－1或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值為3.[答案]39．有三個命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；②“若a＞b，則a2＞b2”的逆否命題；③“若x≤－3，則x2＋x－6＞0”的否命題．其中真命題的序號為________.[解析]命題①為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”是真命題；因為命題“若a＞b，則a2＞b2”是假命題，故命題②是假命題；命題③為“若x＞－3，則x2＋x－6≤0”，因為x2＋x－6≤0?－3≤x≤2，故命題③是假命題．綜上知只有命題①是真命題．[答案]①10．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．[解]y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).[B能力提升練]1．(2018·湖南衡陽第三次聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)的定義域為{x|x≠0}，且g(x)≠0，設(shè)p：函數(shù)f(x)＝g(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－2x)－\f(1,2)))是偶函數(shù)；q：函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件[解析]由函數(shù)f(x)＝g(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－2x)－\f(1,2)))是偶函數(shù)可得：f(－x)＝f(x)?g(－x)＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，充分條件成立，當(dāng)函數(shù)g(x)是奇函數(shù)時，有g(shù)(－x)＝－g(x)，又g(x)＝eq\f(\f(1,1－2x)－\f(1,2),fx)，可得函數(shù)f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，即必要條件也成立，所以p是q的充要條件．[答案]C2．(2018·長春市質(zhì)監(jiān)二)已知p：函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，q：函數(shù)g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，則綈p成立是q成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由p成立，則a≤1，由q成立，則a>1，所以綈p成立時a>1是q的充要條件．故選C.[答案]C3．下列四個結(jié)論中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要條件；②在△ABC中，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2是“△ABC為直角三角形”的充要條件；③若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b全不為零”的充要條件；④若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為零”的充要條件．其中正確的是________.[解析]由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正確；由|AB|2＋|AC|2＝|BC|2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能確定哪個角是直角，所以②不正確；由a2＋b2≠0可以推出a，b不全為零，反之，由a，b不全為零可以推出a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全為零”的充要條件，而不是“a，b全不為零”的充要條件，③不正確，④正確．[答案]①④4．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]若當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)是增函數(shù)，又∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)是減函數(shù)．當(dāng)x∈[3,4]時，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3,4]時，f(x)是減函數(shù)，充分性成立．反之，若x∈[3,4]時，f(x)是減函數(shù)，此時x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，則當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)是減函數(shù)．∵y＝f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)是增函數(shù)，必要性也成立．故“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件．[答案]充要5．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若x∈A是x∈B的充分條件，求a的取值范圍．(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍．[解]A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)當(dāng)a＝0時，B＝?，不合題意．當(dāng)a＞0時，B＝{x|a＜x＜3a}，要滿足題意，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4，))解得eq\f(4,3)≤a≤2.當(dāng)a＜0時，B＝{x|3a＜x＜a}，要滿足題意，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a≥4，))無解．綜上，a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).(2)要滿足A∩B＝?，當(dāng)a＞0時，B＝{x|a＜x＜3a}則a≥4或3a≤2，即0＜a≤eq\f(2,3)或a≥4.當(dāng)a＜0時，B＝{x|3a＜x＜a}，則a≤2或a≥eq\f(4,3)，即a＜0.當(dāng)a＝0時，B＝?，A∩B＝?.綜上，a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪[4，＋∞)．[C尖子生專練](2015·湖北)設(shè)a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比數(shù)列；q：(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n－1))(aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n))＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，則()A．p是q的必要條件，但不是q的充分條件B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件[解析]若p成立，設(shè)a1，a2，…，an的公比為q，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n－1))(aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n))＝aeq\o\al(2,1)(1＋q2＋…＋q2n－4)·aeq\o\al(2,2)(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aeq\o\al(2,1)aeq\o\al(2,2)(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分條件．取a1＝a2＝…＝an＝0，則q成立，而p不成立，故p不是q的必要條件，故選B.[答案]B

第3講簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞◆高考導(dǎo)航·順風(fēng)啟程◆最新考綱常見題型1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義．2.理解全稱量詞與存在量詞的意義．3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.常見于選擇題第1、2題，比較容易，占5分.[知識梳理]1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的“且”、“或”、“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．(2)命題p∧q、p∨q、綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．量詞及含有一個量詞的命題的否定(1)全稱量詞和存在量詞①全稱量詞有：所有的，任意一個，任給一個，用符號“?”表示；存在量詞有：存在一個，至少有一個，有些，用符號“?”表示．②含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為：?x∈M，p(x).③含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符號簡記為：?x0∈M，p(x0).(2)含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)[知識感悟]1．含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假判斷：(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)綈p真，p假，綈p假，p真．2．全(特)稱命題的真假判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假所有對象使命題假否定為真3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定為“且”，“且”的否定為“或”．[知識自測]1．(2018·貴州遵義綏陽縣期中)對命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋4≤0”的否定正確的是()A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋4＞0 B．?x∈R，x2－2x＋4≤0C．?x∈R，x2－2x＋4＞0 D．?x∈R，x2－2x＋4≥0[解析]因為命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋4≤0”的否定是“?x∈R，x2－2x＋4＞0”．故選C.[答案]C2．(2017·山東)已知命題p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命題q：若a＞b，則a2＞b2，下列命題為真命題的是()A．p∧q B．p∧(綈p)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]由x＞0時x＋1＞1，n(|x＋1)>0，知p是真命題，由2＞1,22＞12，－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q是假命題，即p，綈q均是真命題，故選B.[答案]B3．已知命題p：?a0∈R，曲線x2＋eq\f(y2,a0)＝1為雙曲線；命題q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q)”是假命題；③命題“(綈p)∨q”是真命題；④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題．其中正確的是________.[解析]因為命題p和命題q都是真命題，所以命題“p∧q”是真命題，命題“p∧(綈q)”是假命題，命題“(綈p)∨q”是真命題，命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題．[答案]①②③④題型一含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假(基礎(chǔ)拿分題，自主練透)(1)(2018·黑龍江大慶三模)已知命題p：若a，b是實數(shù)，則a＞b是a2＞b2的充分不必要條件；命題q：“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2＞3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2＜3x”，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．P∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)[解析]“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件，所以p為假命題；“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2＞3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，所以q為假命題；因此(綈p)∧(綈q)為真命題．故選擇D.[答案]D(2)(2018·吉林模擬)已知命題p：函數(shù)y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒過(1,2)點；命題q：若函數(shù)f(x－1)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]當(dāng)x＝1時，y＝2－a2≠2，所以命題p為假，故綈p為真；由函數(shù)f(x－1)是偶函數(shù)知，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于y軸對稱，由函數(shù)圖象的平移法則知，y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，所以命題q為假，故綈q為真．所以(綈p)∧(綈q)為真．故選B.[答案]B方法感悟1．“p∨q”“p∧p”“綈p”形式命題真假的判斷步驟(1)確定命題的構(gòu)成形式；(2)判斷命題p，q的真假；(3)確定“p∨q”“p∧p”“綈p”形式命題的真假．2．復(fù)合命題真假判斷常用的方法(1)直接法：即判斷出p，q的真假，再判斷復(fù)合命題的真假．(2)特殊值法：從題干出發(fā)通過選取特殊情況代入，作出判斷．特殊情況可能是特殊值、特殊函數(shù)、特殊點、特殊位置、特殊向量等．(3)數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)題設(shè)條件作出研究問題的有關(guān)圖形，利用圖形作出判斷，從而確定正確答案．【針對補償】1．(2018·廣州二測)已知命題p：?x∈R，x2>0，命題q：?α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]因為?x∈R，x2≥0，所以命題p是假命題．因為當(dāng)α＝－β時，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，所以命題q是真命題，所以p∧q是假命題，p∨(綈q)是假命題，(綈p)∧q是真命題，p∧(綈q)是假命題．[答案]C2．(2018·商丘二模)已知命題p：函數(shù)y＝ax＋1＋1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(－1,2)點；命題q：已知平面α∥平面β，則直線m∥α是直線m∥β的充要條件；則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析](1)當(dāng)x＋1＝0，即x＝－1時，有y＝1＋1＝2，所以函數(shù)y＝ax＋1＋1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(－1,2)點，命題p為真命題．若直線m∥α，則m∥β或m?β，充分性不成立；若直線m∥β，則m∥β或m?α，必要性不成立，所以直線m∥α是直線m∥β的既不充分也不必要條件，即命題q為假命題，所以p∧(綈q)為真命題，故選D.[答案]D題型二全稱命題，特稱命題(高頻考點題，多角突破)考向一全稱命題，特稱命題的否定1．(2018·江西省宜春市二模)命題“?x＞0，eq\f(x－2,x)≥0”的否定是()A．?x0≤0，eq\f(x0－2,x0)＜0 B．?x0＞0，eq\f(x0－2,x0)＜0C．?x0＞0,0≤x0＜2 D．?x0＞0,0＜x0＜2[解析]命題“?x＞0，eq\f(x－2,x)≥0”的否定是?x0＞0，0≤x0＜2，故選C.[答案]C考向二全稱命題、特稱命題的真假判斷2．(2018·廣東深圳4月調(diào)研)下列命題中的假命題是()A?x∈R,2x－1＞0 B．?x∈N*，(x－1)2＞0C．?x0∈R，lgx0＜1 D．?x0∈R，tanx0＝2[解析]當(dāng)x＝1時，(x－1)2＝0，顯然選項B錯誤，故選B.[答案]B方法感悟1．全、特稱命題的真假判斷方法①要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判斷全稱命題是假命題，只要能找出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．②要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即中，否則，這一特稱命題就是假命題．2．全稱命題與特稱命題的否定一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．【針對補償】3．(2018·洛陽市統(tǒng)一考試)若命題p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx＞sinx，則命題綈p為()A．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≥sinx0B．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0＞sinx0C．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≤sinx0D．?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，＋∞))，tanx0＞sinx0[解析]?x的否定為?x0，＞的否定為≤，所以命題綈p為?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanx0≤sinx0.[答案]C4．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若m滿足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項中的命題為假命題的是()A．?x0∈R，f(x0)≤f(m) B．?x0∈R，f(x0)≥f(m)C．?x∈R，f(x)≤f(m) D．?x∈R，f(x)≥f(m)[解析]因為a＞0，所以函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(b,2a)處取得最小值．所以f(m)是函數(shù)f(x)的最小值．故選D.[答案]D題型三由復(fù)合命題真假求參數(shù)范圍(重點保分題，共同探討)已知命題p：關(guān)于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________.[解析]由關(guān)于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知0<a<1；由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R，知不等式ax2－x＋a>0的解集為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a2<0，))解得a>eq\f(1,2).因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a>\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a≤\f(1,2)，))解得a≥1或0<a≤eq\f(1,2)，故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[答案]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co