含參不等式恒成立問題

PAGEPAGE8不等式中恒成立問題的解法研究在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4：恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一次函數(shù)有：例1：若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式對(duì)于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時(shí)，只需，所以，。例3．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例4．設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。Oxyx-1解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，Oxyx-1當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對(duì)任意x都成立；（2）對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例5．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對(duì)任意恒成立令，得而∴∴即實(shí)數(shù)的取值范圍為。例6．函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。例7：在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，，恒成立，，即恒成立，例8（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對(duì)比上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立實(shí)際上，上題例6就可利用此法解決。略解：在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。例9．已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。例10、已知函數(shù)，若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以例11、已知時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令，所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。五、數(shù)形結(jié)合法對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。例12：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。例13：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取值范圍是（）A、B、C、D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。例14．設(shè),,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.xx-2-4yO-4分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及的圖象如圖所示，的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足解得（舍去)例15、若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時(shí)，由圖可知，的圖象必須過點(diǎn)或在這個(gè)點(diǎn)的上方，則，綜上得：六、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問題降次、簡(jiǎn)化。例16．對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。例17、若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對(duì)滿足的，恒成立，解得：練習(xí)1、已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2、已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。3、已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。4、已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5、已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。6、當(dāng)時(shí)，不等