導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 專練-2024屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含解析）

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一、選擇題

1.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，若，則的值為()

A.B.C.D.

2.下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為()

①；

②；

③；

④.

A.1B.2C.3D.4

3.已知函數(shù)是奇函數(shù)且其圖象在點處的切線方程為，設(shè)函數(shù)，則的圖象在點處的切線方程為().

A.B.

C.D.

4.設(shè)函數(shù)，a，b均為正整數(shù)，若的極小值點為2，則的極大值點為().

A.1B.3C.1或3D.不確定

5.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬：將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑，已知三棱錐為鱉臑，且內(nèi)接于球O，球O的半徑，三棱錐的底面ABC為等腰直角三角形，平面ABC，則三棱錐的體積V的最大值為()

A.B.C.D.

6.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.若函數(shù)至少有兩個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是()

A.B.C.D.

7.已知是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，，不等式恒成立，則m的取值范圍是()

A.B.C.D.

8.已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.B.C.D.

9.已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若整數(shù)m滿足，則所有滿足條件的m的和為()

A.0B.13C.21D.30

10.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為()

A.B.

C.D.

11.已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是()

A.B.

C.D.

12.已知函數(shù)有2個零點a，b，且在區(qū)間上有且僅有2個正整數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、填空題

13.已知函數(shù)，在點處的切線與直線平行，則的值為___________.

14.已知函數(shù)和，若的極小值點是的唯一極值點，則k的最大值為___________.

15.對于函數(shù)與，若存在，使，則稱點，是函數(shù)與圖象的一對“靚點”.已知函數(shù)，，若函數(shù)與恰有兩對“靚點”，則k的取值范圍為__________.

16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且滿足，當(dāng)時，.若關(guān)于x的不等式在上的整數(shù)解的個數(shù)為80，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.

三、解答題

17.已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程有3個不等實根，求證：.

18.已知函數(shù).

（1）若，求a的取值范圍；

（2）證明：若有兩個零點，，則.

19.已知函數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）證明：對任意的s，，有.

20.已知函數(shù).

(1)當(dāng)時，設(shè)點P為曲線在點處的切線l上一點，點Q是曲線上一點，求的最小值；

(2)若對任意，恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍.

答案

1.答案：C

解析：由函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，得，.由，得，則.

2.答案：A

解析：①，故錯誤；②，故正確;③，故錯誤；④，故錯誤.故選A.

3.答案：A

解析：由已知得，，因為是奇函數(shù)，所以，，又因為，所以，，所以的圖象在點處的切線方程為，即.故選A.

4.答案：B

解析：對求導(dǎo)得，

令，得，則該方程必有一根為2，代入，有，解得，則.

因為2是的極小值點，且，所以為方程的較小根，從而，故.

又a為正整數(shù)，所以.故的極大值點為3.

5.答案：B

解析：由題意，可將三棱錐還原為如圖所示的長方體，則長方體對角線，即為球O的直徑.不妨設(shè)，則，，，.

令，.，y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，三棱錐體積的最大值為，故選B.

6.答案：B

解析：由題意，得，，，

.令，得，.當(dāng)或時，，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值.若要使至少有兩個不同的零點，只需解得.故選B.

7.答案：D

解析：依題意，在R上是增函數(shù)，，不等式恒成立，即恒成立，等價于恒成立，.令，則，易得，，，故選D.

8.答案：A

解析：易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即（，），設(shè)（，），則，當(dāng)時，；當(dāng)時，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為函數(shù)有且只有一個極值點，所以直線與函數(shù)（，）的圖象有一個交點，作出的圖象如圖所示，由圖得或.當(dāng)時，恒成立，所以無極值，所以.故選A.

9.答案：C

解析：當(dāng)時，，令，則.若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.易知，，又，，由于，所以，即，所以m可以取1，2，3，4，5，6，7，8.當(dāng)時，令，則.

若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.易知，，又，，故m可以取0，-1，-2，-3，-4，-5.

綜上所述，所有滿足條件的m的和為.

10.答案：D

解析：令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當(dāng)，即時，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當(dāng)，即時，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：.故選D.

11.答案：D

解析：令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；由得：，即，

，，，即，

，即，，D正確；

由知：，，A錯誤；

，未必正確，B錯誤；

，未必正確，C錯誤.故選D.

12.答案：C

解析：由題意知函數(shù)有2個互異的零點a，b等價于函數(shù)與的圖象有2個不同的交點.因為，所以.令，可得；令，可得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，時，.由，知函數(shù)的圖象為過定點的一條直線，在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與的圖象如圖所示，若滿足，的圖象有2個不同的交點，且在區(qū)間上有且僅有2個正整數(shù)，則即解得，故選C.

13.答案：

解析：因為，所以，

所以，即函數(shù)在點處切線的斜率為1，

因為切線與直線l平行，所以，即.故答案為：-1.

14.答案：

解析：由可得，

所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，

所以的極小值點是2，

由可得，

因為的唯一極值點為2，所以或恒成立，

所以或在上恒成立.

因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以.故答案為：.

15.答案：

解析：因為，由可得.

則直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，

令，其中，則.

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為.

令，當(dāng)時，，.

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，且，

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)或時，即當(dāng)或時，

直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點.

綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是.

故答案為：.

16.答案：

解析：因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，

所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以，所以，所以8是的周期.因為為偶函數(shù)且周期為8，在上的整數(shù)解的個數(shù)為80，所以不等式在一個周期內(nèi)有4個整數(shù)解.因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以在內(nèi)有2個整數(shù)解.因為，所以由，可得或.當(dāng)時，，則，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

作出在內(nèi)的圖象，如圖所示，

由圖象可得在內(nèi)無整數(shù)解，所以在內(nèi)有2個整數(shù)解.因為，，，所以在內(nèi)的整數(shù)解為和，所以，解得.

17.答案：(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)見解析.

解析：(1)依題意得，.

令，得；

令，得或.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知函數(shù)的極小值，極大值.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

畫出的大致圖象如圖所示.

方程有3個不等實根等價于直線與函數(shù)的圖象有3個不同交點，

不妨設(shè)，由圖象可知.

構(gòu)造函數(shù)，

則.

當(dāng)時，，

則在上單調(diào)遞減，.

所以，故，

由(1)知，在上單調(diào)遞減，所以，

即，又，故.

18.答案：（1）；

（2）證明見解析

解析：（1）由題意知函數(shù)的定義域為.

由，

可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以.

又，所以，解得，

所以a的取值范圍為.

（2）解法一：不妨設(shè)，則由（1）知，.

令，

則.

令，

則，

所以當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

即在上.

又，所以，即.

由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，即.

解法二（同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)化解等式）不妨設(shè)，則由（1）知，.

由，得，

即.

因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.

構(gòu)造函數(shù)，，

則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，

所以，

又，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，即.

19.答案：（1）

（2）在上單調(diào)遞增

（3）見解析

解析：（1）由題，，

故，，

因此，曲線在點處的切線方程為.

（2）解法一：，

則，

設(shè)，，

則，

故在上單調(diào)遞增，

故，

因此對任意的恒成立，

故在上單調(diào)遞增.

解法二：，

則，

又，當(dāng)時，，

故對任意的恒成立，

故在上單調(diào)遞增.

（3）設(shè)，

則，

由（2）知在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)，時，，

因此，在上單調(diào)遞增，

故，

因此，對任意的，有.

20.答案：(1).

(2)取值范圍是.

解析：(1)由題意得.

當(dāng)時，，

故曲線在點處的切線l的方程為.

易知當(dāng)取最小值時，點Q是曲線上切線斜率為e的點，

由可得，

所以的最小值為點Q到直線l的距離，

即.

(2)因為對任意，恒有成立，

所以在上恒成立.

記，

則對任意恒成立.

.

記，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，