趣味概率和運籌

博彩中的概率生日巧合性別問題概率與決策智分金條過橋等問題第一頁第二頁，共39頁。1.什么叫概率？事件發(fā)生的可能性的大小叫這一事件發(fā)生的概率2.概率的計算公式：若事件發(fā)生的所有可能結(jié)果總數(shù)為n，事件Ａ發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)為m，則Ｐ（Ａ）＝

如果有人買了彩票，一定希望知道中獎的概率有多大．那么怎么樣來估計中獎的概率呢？第二頁第三頁，共39頁。

某單位工會組織內(nèi)部抽獎活動，共準備了100張獎券，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎20個，三等獎30個。已知每張獎券獲獎的可能性相同。求：P=1100P=1+10+20+3010061100=（2）一張獎券中獎的概率；（1）一張獎券中特等獎的概率；中獎概率第三頁第四頁，共39頁。“雙色球”彩票中獎概率

規(guī)則：“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號碼區(qū)和藍色球號碼區(qū)，每注投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成。紅色球號碼從1--33中選擇；藍色球號碼從1--16中選擇。

"雙色球"彩票以投注者所選單注投注號碼（復(fù)式投注按所覆蓋的單注計）與當期開出中獎號碼相符的球色和個數(shù)確定中獎等級。第四頁第五頁，共39頁。中獎要求一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）

二等獎：6個紅色球號碼相符三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符四等獎：5個紅色球號碼或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符五等獎：4個紅色球號碼或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符六等獎：1個藍色球號碼相符第五頁第六頁，共39頁。中獎概率一等獎（6+1）中獎概率為：

紅球33選6乘以藍球16選1=1/17721088=0.0000056%；二等獎（6+0）中獎概率為：

紅球33選6乘以藍球16選0=1/1107568=0.00009%；三等獎（5+1）中獎概率為：

紅球33選5乘以藍球16選1=1/3797376=0.000026%；四等獎（5+0）中獎概率為：

紅球33選5乘以藍球16選0=1/237336=0.00042%；四等獎（4+1）中獎概率為：紅球33選4乘以藍球16選1=1/654720=0.015%；五等獎（4+0）中獎概率為：紅球33選4乘以藍球16選0=1/40920=0.24%；五等獎（3+1）中獎概率為：紅球33選3乘以藍球16選1=1/87296=0.11%；六等獎（2+1）中獎概率為：紅球33選2乘以藍球16選1=1/8448=0.012%；六等獎（1+1）中獎概率為：紅球33選1乘以藍球16選1=1/528=0.189%；六等獎（0+1）中獎概率為：紅球33選0乘以藍球16選1=1/16=6.25%.第六頁第七頁，共39頁。總中獎率

1188988/17721088=0.45872209237=6.7%。

按照概率如果守一個號,可能中一等獎可能需要48550年第七頁第八頁，共39頁。

彩票是一種概率游戲,中頭獎的概率真的比“天上掉下一塊餡餅正好砸在頭上”的概率還小。顯然,在彩票上大投入是不明智的。部分彩友把買彩當成投資,意圖借助買彩發(fā)財,這種對彩票的誤解導(dǎo)致了他們采用錯誤的投注方式。彩票是以小博大的游戲,彩友把彩票當成娛樂生活的一個組成部分,用“玩”的心態(tài)買彩票,投注就比較理智,而把彩票看成是發(fā)財手段,以“炒”的心理購彩,投注就會產(chǎn)生盲目性，以至越陷越深?？偨Y(jié)第八頁第九頁，共39頁。分賭注

梅萊向帕斯卡提過這樣一個問題：甲乙二人各下賭注8元，商定先勝3局者贏得全部賭金。假定在每一局中二人獲勝的機會相等，且各局勝負相互獨立。如果當甲勝兩局而乙勝一局時賭博被迫中止，問賭注應(yīng)該怎么分？第九頁第十頁，共39頁。分析：假設(shè)甲贏了，第四局時獲勝的概率：P1=1/2甲贏了，第五局時獲勝的概率：P2=1/2×1/2=1/4;所以甲贏的概率：P=P1+P2=3/4于是我們按他們獲勝的概率之比3:1分配賭金。第十頁第十一頁，共39頁。

400個同學中,一定有兩個同學的生日相同(可以不同年)嗎?為什么?

67個同學中,就很有可能有兩個同學的生日相同.”這話正確嗎?為什么?生日巧合第十一頁第十二頁，共39頁。67個人中有2人生日相同的理論概率計算公式為:第十二頁第十三頁，共39頁。生日巧合二

請設(shè)想一群人中至少多少人，才能使發(fā)生兩人在同一天誕生的概率不低于1/2？

設(shè)至少n個人，先考慮n個人生日各不同的概率為：

，所以必須滿足：解得：n=23第十三頁第十四頁，共39頁。

有這么個人，他立意找到與自己同日誕生的人，為了使找到那個人的概率不低于1/2,他必須詢問多少個素不相識的人？尋找生日巧合的人

利用對數(shù)表得：n=253解：第十四頁第十五頁，共39頁。性別問題1男人，男人“有人來啦，請你出來一下？”男人，女人女人，女人來了

有三間屋子，其中某一個房間只進入兩個男人，另外一個房間里只進入兩個女人，剩下的一個房間進入夫婦二人.當然以什么樣的組合進入哪個房間是不知道的.房子里面的人做什么也不知道，總之，在敲擊一房間門的時候“有人來啦，請你出來一下？”回答傳出了女性的聲音，那么男性出來的概率是多少呢？第十五頁第十六頁，共39頁。

回答的人 出來的人（1）女A

女B（2）女B

女A（3）女C

男X概率為1/3第十六頁第十七頁，共39頁。性別問題2

你隔壁剛剛搬來了新的鄰居,透過墻壁,你可以清楚的聽到有3個小孩的聲音,但是,因為這3個小孩,年齡都很小,所以你不確定,他們是男是女?

基于好奇心,你決定到隔壁敲門,看看他們是男是女,這個時候,一個男孩出來開門,請問,這3個小孩都是男孩的概率是多少?

第十七頁第十八頁，共39頁。分析：

一個男孩開門，那么就會有兩個小孩不知道性別，有四種可能，(男，男，男)，（男，男，女），（男，女，男）（男，女，女）所以全是男孩的概率1/4。第十八頁第十九頁，共39頁。

當然,你還是沒有足夠的訊息,確定所有3個小孩的性別.所以,你決定再找個理由,到隔壁敲了第二次門很幸運的是,這次來開門的是另外的一個男孩,請問,這3個小孩都是男孩的概率是多少?

第二次敲門，又有一個男孩開門，就只有一個男孩不知道性別，有兩種可能(男，男，男)，（男，男，女），所以全是男孩的概率1/2。第十九頁第二十頁，共39頁。

如果,你第三次去敲了隔壁鄰居的門,請問,你可以百分之百確定這3個性別的概率是多少?第三次敲門，三個小孩都有可能開門，所以可以百分之百確定這3個性別的概率是1/3.第二十頁第二十一頁，共39頁。

十多年前，美國一家雜志刊出了下面一個問題：有三扇門，其中一扇門的后面是一輛汽車，另兩扇門的后面則各有一只羊，你可以猜一次，猜中羊可以牽走羊，猜中汽車則開走汽車。當然大家都希望能開走汽車。現(xiàn)在假如你猜了某扇門的后面是車（例如1號門），然后主持人把無車的一扇門（例如3號門）打開。

此時，請問：你是否要換2號門？瑪麗蓮問題第二十一頁第二十二頁，共39頁。第二十二頁第二十三頁，共39頁。分析：

事實上，換不換取決于：主持人是隨機選的呢？還是故意打開有羊的門呢？

如果主持人是隨機選的，那么他和你的地位是等同的（都是隨機選，先選后選無所謂），你們兩個選到車的概率都是1/3，另一扇門后有車的概率也是1/3，所以換不換無所謂。

如果主持人是故意打開有羊的門，那么他選到車的概率當然是0，而你選到車的概率還是1/3，這樣另一扇門后有車的概率就是2/3，所以應(yīng)該換。第二十三頁第二十四頁，共39頁。金幣與銀幣

在古印度，一位王子向一位聰明的公主求婚。公主為了考研王子的智慧，就請人拿來兩個盒子，其中一個裝著10枚金幣，另一個裝著一樣大小的10枚銀幣。公主請人把王子的眼睛蒙上，并且將兩個盒子的位置調(diào)換，然后請王子在兩個盒子中任意挑選一枚銀幣，如果是金幣的話，公主就嫁給王子，如果是銀幣的話，王子就娶不到公主。

王子說：在蒙上眼睛前，能否調(diào)換盒子的銀幣組合？公主說：可以。

那么，為了更有把握拿到金幣，王子應(yīng)該如何調(diào)換盒子里的銀幣組合呢？第二十四頁第二十五頁，共39頁。分析：

王子將裝有金幣的盒子里留一枚金幣，把另外9枚金幣裝進裝有銀幣的盒子，這樣，若他選中那個放一枚金幣的盒子，則選中金幣的概率是100%，若選中19個錢幣的盒子，則取得金幣的概率是9/19.所以，總的選出金幣的概率是1/2+1/2×9/19=14/19.遠遠大于調(diào)換之前的1/2.第二十五頁第二十六頁，共39頁。

智分金條工人為你工作7天，給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的7段，你必須在每天結(jié)束時給他一段金條。如果只許你兩次把金條弄斷（即分成三段），你如何給你的工人付費？第二十六頁第二十七頁，共39頁。答案第二十七頁第二十八頁，共39頁。沙漠探險有一個探險家，準備用六天時間橫穿沙漠，如果一人只能搬運一人四天的糧食和水，那么這個探險家需要雇用多少個搬運工呢？第二十八頁第二十九頁，共39頁。分析：2個第一天：取用甲搬運工的供給第二天：甲返回取用乙搬運工的供給第三天：乙返回連續(xù)取用探險家的供給共4天第二十九頁第三十頁，共39頁。農(nóng)夫過河老農(nóng)帶一只狼，一只羊，一棵白菜過河，每次只能裝一個。老農(nóng)不在的時候，狼吃羊，羊吃白菜。為保證兩邊萬無一失，大家?guī)娃r(nóng)夫想個辦法。

第三十頁第三十一頁，共39頁。答案農(nóng)夫和羊過河農(nóng)夫回農(nóng)夫和狼過河農(nóng)夫和羊回農(nóng)夫和白菜過河農(nóng)夫回農(nóng)夫和羊過河第三十一頁第三十二頁，共39頁。警察和小偷

（policemenandthieves）三個警察押送三個小偷過河，船每次只能運兩個人。如果河的一邊小偷的數(shù)目大于警察的數(shù)目，警察就會被小偷殺掉。請大家?guī)兔ο胍粋€方案，確保押送任務(wù)順利完成。第三十二頁第三十三頁，共39頁。答案1.一警一偷過河6.一警一偷回2.一警回7.兩警過河3.兩偷過河8.一偷回4.一偷回9.兩偷過河5.兩警過河10.一偷回11.兩偷過河第三十三頁第三十四頁，共39頁。在一個漆黑的夜晚，小明一家在野外要過一座橋，他們只帶了一只手電筒，過橋有以下要求：１必須借助手電筒。２每次此橋最多可過兩人，３走得快的要等走得慢的，問如何設(shè)計一個方案，讓小明一家盡快過河？１分5分8分2分第三十四頁第三十五頁，共39頁。分析：

第一種辦法是：

甲乙過去（2分鐘），

甲回來（1分鐘），

甲丙過去（5分鐘），

甲回來（1分鐘），

甲丁再過去（8分鐘），

總共需要17分鐘就可以讓四個人都過去。第三十五頁第三十六頁，共39頁。

而正確答案是第二種方法：甲乙過去（2分鐘），甲回來（1分鐘），丙丁過去（8分鐘），乙回來（2分鐘），甲乙再過去（2分鐘），總共需要15分鐘就可以讓四個人都過去。

這里的一個關(guān)鍵點，是讓兩個最慢的人同時過橋。第三十六頁第三十七頁