2021年全國高考數(shù)學終極猜題試卷（學生版+解析版）（5月份）

2021年全國高考數(shù)學終極猜題試卷（5月份）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）z="為純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則|2|為（）

1+Z

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）已知集合A=，x|；<x<3},3={x|log3x<0},則A「p=（）

A.B.C.{x|1<x<3}

3.（5分）已知均為單位向量，若夾角為四，則修-6|=（

)

3

A.近B.V6C.y/5D.G

4.（5分）已知a,b&R,則是“|a-勿+|加”1”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

，則/（x）的圖象大致是（）

6.（5分）現(xiàn)將五本相同的作文本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則甲分得三本的概

率

>(

A.

11C,2

6-B.-3一D.9-

12

7.（5分）已知拋物線y2=2x的焦點為準線為/,P是/上一點，直線P尸與拋物線交

于"，N兩點，若而=3斯，則|MV|=()

A.3B.號C.2D.巡

333

8.(5分)如圖，在直三棱柱A3C-AAG中，O是A4與A0的交點，。是40的中點,

AA,=AB=2AC=4,ABYAC,給出下列結(jié)論.

①A5與4G是相交直線;

②o。//平面A^G；

③平面AODH平面BB￡C；

④AO_L平面ABC；,

其中正確的結(jié)論是()

C.②③D.②④

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2()分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.(5分)若函數(shù)f(x)=x?,設a=k>gs4,b=log,-,c=2^,則/(a),f(b),f(c)

33

的大小關系()

A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(b)

10.(5分)已知根，〃是空間中兩條不同的直線，a,△為空間中兩個互相垂直的平面,

則下列命題不正確的是()

A.若mua,則m_1_/B.若znua,nu。，則

C.若力仁二，ml。，則m//aD.若夕=機，n，貝

11.（5分）已知函數(shù)/（幻=25皿5+0）3>0,f（―）=V2,/（—）=0,且f。）

82

在(0,萬)上單調(diào).下列說法不正確的是()

1

A.CD=—

2

71a-6

B.1（--）=-------

82

C.函數(shù)/（X）在［-7T,—］上單調(diào)遞增

a萬

D.函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(―,0)對稱

4

12.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在/?上的奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=e-x(x-l).則下列結(jié)

論正確的是()

A.當x<0時，f[x｝=e\x+\)

B.函數(shù)/(x)有五個零點

C.若關于x的方程/(x)=w有解，則實數(shù)，”的取值范圍是/(-2貨如/(2)

D.對X2GR,"。2)-/(4)|<2恒成立

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若無窮數(shù)列｛cos(0〃)｝(oeR)是等差數(shù)列，則其前10項的和為.

14.(5分)(l+±)(l+x)6展開式中/的系數(shù)為—.

x-

71

15.(5分)已知圓(x-2>+(y-l)2=2關于直線or+0y=l(a>0,6>0)對稱,則—+-的最

ab

小值為.

16.(5分)已知球O為正四面體438的內(nèi)切球，E為棱比)的中點，43=2,則平面ACE

截球O所得截面圓的面積為一.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

JT

17.(10分)已知AABC滿足sin(B+q)=2cosB.

(1)若cosC=迎,AC=3,求他；

3

jr4

(2)若Ae(0,§),Kcos(B-A)=—,求sinA.

18.(12分)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且2,%,S,成等差數(shù)列，令么=log?a?,neNr.

(1)求數(shù)列｛““｝，｛么｝的通項公式;

(2)令c”=an?b”,求數(shù)列｛%｝的前"項和.

19.(12分)2020年春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒(2019-〃CoV),是一種可以借助飛沫和

接觸傳播的變異病毒.某定點醫(yī)院為篩查某些人是否感染該病毒，需要檢驗血液是否為陽性,

現(xiàn)有“份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

(a)逐份檢驗，則需要檢驗〃次；

(b)混合檢驗，將其中-AeN*且2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果

為陰性，這4份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果

為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這么份血

液的檢驗次數(shù)總共為無+1次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性

還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為M0<P<D-

(1)假設有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過

4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

(2)現(xiàn)取其中-AeN*且k..2)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)

為點，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為與.

⑴試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關于人的函數(shù)關系式p=/(Q；

(n)若79=1-3,采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗

的總次數(shù)期望值更小，求上的最大值.

參考數(shù)據(jù)：Z/?2?0.6931,加3al.0986,及53.6094,/〃769459

20.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AgG中，ACJ.BC,AC=CC,=4,BC=2,D為

棱AC上的動點.

(1)若。為AG的中點，求證：BC|//平面

(2)若平面AACG，平面A8C,且3G=60。.是否存在點。，使二面角用-A0-G

的平面角的余弦值為3?若存在，求出坐的值，若不存在，說明理由.

4C、D

叢B

4A

T-1

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=---).

x+\

(1)討論函數(shù)/(幻的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)=/nr-a(±l)有三個零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

X+1

22.(12分)如圖，已知拋物線丁=4x的焦點為尸，準線為/，過點尸的直線交拋物線于A,

3兩點，點8在準線/上的投影為E,若C是拋物線上一點，且ACJ.EF.

(1)證明：直線3E經(jīng)過AC的中點M；

(2)求AABC面積的最小值及此時直線AC的方程.

2021年全國高考數(shù)學終極猜題試卷（5月份）

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）z=91為純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則|2|為（）

1+Z

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：z==叱!…（li）=aT（a+l）i=￡zl_￡±li,

1+z1+z1-產(chǎn)222

???z為純虛數(shù)，

a—1八。+1_

/.---=0，----工0,

22

故。=1,z=—if

故|z|=l.

故選：A.

2.（5分）已知集合4=卜|；<犬<31,8=5|1083%<0},貝U4nB=（）

A.1x||<x<2!B.1x||<x<ljC.{x|l<x<3}

D.x-<x<一

23

【解答】解：；A={x[g<x<3},8={x|0<x<l},

?仆={嗎<x<i}.

故選：B.

3.（5分）已知均為單位向量，若夾角為空，貝ij|4-b|=（

)

3

A.77B.x/6C.D.

【解答】W：v\a\=\b\=l,<a,h>=~~9

（a-b）2=a2-2a?b+h2=l-2xlxlx（-^）+l=3,

\a-b|=石.

故選：D.

4.（5分）已知a,beR,則“|a|,,1"是“|a-勿+|加,,1”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：\a-b\+\b..]a-b+b\=\a\,

因為|a—勿+|加,,1,

所以

故后者能推出前者，

反之，比如a=l,6=3,推不出后者，

故為必要不充分條件，

故選：B.

【解答】解：/a)=2,cos6x,函數(shù)的定義域為{XNO},

4-1

/(—X)=2-'.c°s(-6x)=2'?cos6x=_〃力，故函數(shù)”幻為奇函數(shù)，由此排除選項如，

4-11-4

當Xf0+時，/(x)>0,由此排除選項A.

故選：C.

6.(5分)現(xiàn)將五本相同的作文本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則甲分得三本的概

率是()

A.-B.-C.—D.-

63129

【解答】解：現(xiàn)將五本相同的作文本分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，

先每人分一本，還有2本相同的作文本，分給甲、乙丙三人，

基本事件總數(shù)〃=C；+C；=6,

甲分得三本包含的基本數(shù)件個數(shù)〃=21,

甲分得三本的概率是P=^=--

故選：A.

7.(5分)已知拋物線丁=2x的焦點為F,準線為/,P是/上一點，直線PF與拋物線交

于M,N兩點、,若而=3折，貝”MNb()

A.嶼B.?C.2D.巡

333

【解答】解：拋物線C：V=2x的焦點為尸(；，0),準線為/:x=-g,設M(%,y,),N(x2,

y2),M,N到準線的距離分別為4,,dN,

\NF\=d=x^+^

由拋物線的定義可知N于是

\MN\^MF\+\NF\=xt+x2+l.

?.-PF=3MF,

直線MN的斜率為土石，

?.?足，0),

2

直線PF的方程為y=±百(x-；),

將y=±G(x-g),

代入方程y2=2x,并化簡得12d-2Ox+3=O,

558

.?.玉+吃=§,于是|MN|=|MF|+|NF|=%+x2+l=-+l=-.

故選：B.

8.(5分)如圖，在直三棱柱ABC-AMG中，。是A4與AB的交點，。是A。的中點,

AA,=AB=2AC=4,ABYAC,給出下列結(jié)論.

①A5與4G是相交直線;

②O。//平面ASG；

③平面AOE)//平面BB￡C；

④AO,平面，

C.②③D.②④

【解答】解：在直三棱柱A3C-A8c中，O是M與A8的交點，。是AC的中點,

AA,=AB=2AC=4,AB±AC,

①A5與4G是異面直線，所以①不正確;

②OD//BC//B|G，AGu平面AMG，0。仁平面AB|G，,?！āㄆ矫鍭B|G；

所以②正確.

B

③因為做是平面BBCC的一條斜線，所以平面AQD與平面BBCC不平行，所以③不正

確；

④在直三棱柱ABC-A4G中，。是A4與的交點，。是4C的中點，AA,=AB,

:.AOrOB,ABVAC,r.C4J■平面,

.-.AO±AC,可知4O_LAG，4孰門8。=4，4G、BOu平面ABG，

.?.AO_L平面AfG,所以④正確;

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

11

9.(5分)若函數(shù)f(x)=/,設a=logs4,/?=log,-,c=2；,則/(a),f(b),f(c)

53

的大小關系()

A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(b)

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/。)=X2,是二次函數(shù)，

其對稱軸為y軸，且在(0,+oo)上為增函數(shù)，

11

5

a=log,4,/?=log,—=log53,c=2,

53

則有b<a<\<c,

則f(c)>f(a)>f(b)；

故選：D.

10.(5分)已知m,a是空間中兩條不同的直線，a,6為空間中兩個互相垂直的平面，

則下列命題不正確的是()

A.若"?ua,則mJ■/B.若,“ua,〃u￡,則加_L”

C.若，〃Ca,mX.(5,則D.若<7「］夕="?,”_!_〃？，則〃_La

【解答】解：已知

對于A,如圖1,若wiua,機與/平行時，mlI/3,故A錯誤;

對于8,如圖1,若aua,nuB,機與〃都平行于/時，徵//〃，故8錯誤；

對于C,如圖1,若n?_L尸，則m//a或mua,又mUa,:.m/la,故C正確；

對于￡),如圖2,若?！竱6=團，〃_!_〃?，則"U?；颉?/a或〃與a相交，相交也不一定垂

直，故。錯誤.

故選：ABD.

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=2sin(s+0)(G>0,OVQVTT),f(―)=V2,f(―)=0,且/(%)

82

在(0,萬)上單調(diào).下列說法不正確的是()

A.co=—

2

B./(_￡)=2^2

82

C.函數(shù)/(犬)在［-肛-手上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=『(x)的圖象關于點(衛(wèi),0)對稱

4

107T

【解答】解:由題意/(x)在(0,乃)上單調(diào)，「.-----..%,二.Ovaul,故函數(shù)/(無)的最小正

2(D

周期大于2〃.

由〃為(為=0,對應的點在一個周期內(nèi)，且相差工=1.至=代一代，..”=2,

8288^283

2

/(x)=2sin(—,故A錯誤；

令x=%,由/(馬=2sin/+0)=0,可得即/(6=2sin(^^)w^^,「.A不對.

由/(1)=0，即2sin(gx]+9)=0,可得夕=斗，/(x)=22*4sin(~x+-

故

”乃、?/龍"I'c?%71A乃.萬分J5J5-1夜"+應

f(——)=2sin——=2sin(——1--)=2sin—cos——F2cos—sin—=2x——x----F2X—x——=------------

81234343422224

,故3錯誤；

當xe[f,-今時，|x+yG[0.y],故/(x)單調(diào)遞增，故C正確；

4%=—.求得f(x)=2sin衛(wèi)=一1二0,故。錯誤，

46

故選：AD.

12.(5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=e-*(x-l).則下列結(jié)

論正確的是()

A.當x<0時，/(x)=ex(x+l)

B.函數(shù)/(x)有五個零點

C.若關于x的方程/(x)=m有解，則實數(shù)，"的取值范圍是/(-2)轟近/(2)

D.對VX],X2ER,"(々)-./'(3)|<2恒成立

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f[x)=e-\x-\),

依次分析選項：

對于A,當x<0時,則-x>0,所以.f(-x)=e*(-x-l),整理得f(x)=-f(-x)=e*(x+l),

A正確；

對于3,當x>0時，/(x)=e-*(x-l),此時有1個零點x=l,f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

則/(0)=0,/(-1)=-/(1)=0,

/(X)有3個零點，8錯誤；

對于C,當x>0時，f{x)=ex{x-V),其導數(shù)r(x)=e-，(2-x),

在區(qū)間(0,2)上，_f(x)>0,函數(shù)f(x)為增函數(shù)，

在區(qū)間(2,yo)上，/(了)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù)，

則在區(qū)間(0,+oo)上有極大值/(2)=e”,而xf0,/(%)-?-1,則在區(qū)間((),+<?)上，有

又由/(x)為奇函數(shù)，則在區(qū)間(-8,0)上，由-e：J(x)<l,

綜合可得：/(x)的值域為,

若關于x的方程=m有解，則實數(shù)機的取值范圍是-1<機<1,C錯誤；

對于。，當x<0時，/'(x)=e*(x+2),得至iJx<—2時，fr(x)<0,—2<x<0,時，f\x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(-o,0)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增，

所以x=-2時/(X)取得最小值，-二，且x<-2時，/(x)<0,

所以/(幻</(0)=1，

即-e/<f(x)<1,

當x>0時，r(x)=e-'(2-x),

所以/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,位)上單調(diào)遞減，

x=2時,f(x)取最大值e",且％>2時,/(x)>0,

所以/(x)>/(0)=T，

所以-l<f(x),,e-"

所以/(x)的值域為(-1,1]|J[-"2,1).

故VX1,x2wR,都有|/(工])一/(犬2)|<2,￡)正確；

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若無窮數(shù)列｛cos(<y〃)｝(<yeK)是等差數(shù)列，則其前10項的和為10.

【解答】解：?.?無窮數(shù)列｛cosQMQeR)是等差數(shù)列,

.\69=0,/.COS(。")=1,

.,.無窮數(shù)列｛cos(3")｝(3￡R)的前10項的和為：S10=10x1=10.

故答案為：10.

14.(5分)(l+-l)(l+x)6展開式中Y的系數(shù)為30.

【解答】解：當(1+4選擇1時，(1+4展開式選擇產(chǎn)的項為C；f；當(1+-V)選擇《時，

XXX

(1+4展開式選擇為C"1,

所以(1+-4)(1+x)6展開式C：+C：=30；

X

故答案為：30.

71

15.(5分)已知圓。一2)2+()，-1尸=2關于直線口+故=1(。>0力>0)對稱，則一+—的最

ah

小值為9.

【解答】解：圓(x-2f+(y—1)2=2關于直線以+勿=1(。>0力>0)對稱，

:.2a+b=\

當且僅當竺="即a=足時取等號，此時取得最小值9.

ab3

故答案為：9

16.(5分)已知球O為正四面體的內(nèi)切球，E為棱的中點，他=2,則平面ACE

截球O所得截面圓的面積為-.

-6-

【解答】解：球O為正四面體A8CD的內(nèi)切球，E為棱的中點，AB=2,

則：正四面體的高為人=J22-(￥)2=J|,

設正四面體的內(nèi)切球的半徑為“由等體積法可知：

所以平面ACE截球O所得截面圓的面積5=""2=2d=工.

166

故答案為：—

6

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知AABC滿足sin(B+a=2cosB.

(1)若cosC=漁，AC=3,求他；

3

(2)若Ae(0,2),且cos(8-A)=1，求sinA.

【解答】解：⑴由sin(B+^)=2cosB,可知弓■sinB+；cos8=2cos8,即sinfi=V3cosB,

因為cos8w0,所以tanB=6?

又Be(0,4),故8=工，

3

由cosC=",?！?0,乃)，可知sinC=Jl-cos?。=—^,

33

ATAR

在小鉆。中，由正弦定理3=*-,所以/W=2；

sinC

sin一

3

(2)由(1)知3=工，所以人￡(0二)時，--Ae(0,-),

3333

47T4

由cos(B-A)=—f即COS(y-A)=—,

所以sin(y一A)=1,

18.（12分）已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項和為S〃，且2,an,Sn成等差數(shù)列，令2=log2an,nsN\

（1）求數(shù)列｛4｝,的通項公式；

（2）令c〃=a〃?2,求數(shù)列｛c“｝的前〃項和（.

【解答】解：（1）數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且2,4,5〃成等差數(shù)列，

可得24=2+5“，當〃=1時，%=S[=2oy_2,解得q=2；

.2時，a?=S?-S?,｝=2a?-2-2a?_l+2，

即為4=2a,i，可得數(shù)列｛a?]為首項和公比均為2的等比數(shù)列，則a?=2"；

n

bn=log2an=log22=n,〃eN"；

⑵c?=an.b?=n.2",

則前〃項和Z,=1?2+2.22+3.23+...+n.2",

27；,=1.22+2.23+3.24+...+n.2B+1,

相減可得-4=2+2'+23+…+2"-n.2"+l

化簡可得(=2+(〃-1).2向.

19.(12分)2020年春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒(2019-“C”),是一種可以借助飛沫和

接觸傳播的變異病毒.某定點醫(yī)院為篩查某些人是否感染該病毒，需要檢驗血液是否為陽性,

現(xiàn)有〃份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

(a)逐份檢驗，則需要檢驗〃次；

(b)混合檢驗，將其中且&..2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果

為陰性，這A份的血液全為陰性，因而這4份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結(jié)果

為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這么份再逐份檢驗，此時這發(fā)份血

液的檢驗次數(shù)總共為A+1次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性

還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p(0<p<l).

(1)假設有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過

4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

(2)現(xiàn)取其中-AeN*且k..2)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)

為點，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為與.

⑴試運用概率統(tǒng)計的知識，若四產(chǎn)后務，試求p關于人的函數(shù)關系式p=/(Q；

(萬)若〃，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗

的總次數(shù)期望值更小，求上的最大值.

參考數(shù)據(jù)：Z/?2?0.6931,如3al.0986,及53.6094,/〃769459

【解答】解：(1)設恰好經(jīng)過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的事件為A,

則P(A)

415

故恰好經(jīng)過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為上：

15

(2)⑴由已知得$可能的取值為1，力+1，

k

所以P&2=D=(l-P)*,P^2=k+\)=\-(\-p),

所以E$=(i_°y+也+1)口-(1_夕)*]=%+1_%(1-〃)。

由E〈=E與，

所以％=A+1—

即1=k(\—p)k,(1—p)k--->得p=1-(2)”，

故口關于A的函數(shù)關系式為/(A)=l-，)*,(ZeN*,A:..2)；

(ii)由題意EJi<E虞,所以k<%+1-%(1-p)k,

i_11J._*

—<(1-p)k,由〃二1一e4,所以一<(e4)"=e4,

kk

兩邊取對數(shù)得加,

4

設g(x)=/初一,工，x..2?

4

由g，(x)=±M,當x>4時，g'(x)<0,函數(shù)遞減，當2瓢4時，g'(x)>0,函數(shù)遞增；

4x

/n2?0.6931>-,/?3?1.0986>-,/zz5~1.6094>-,/n6~1.7917>-,M7-1.9459>-,

44444

89

/〃8=2/〃3?2.0793>-,ln9?2_1972<-,

44

故滿足條件的％最大為8.

20.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A81G中，ACLBC,AC=CCt=4,BC=2,D為

棱AG上的動點.

(1)若。為AG的中點，求證：Bq//平面用；

(2)若平面AACGJ,平面ABC,且ZA41G=60。.是否存在點。，使二面角用-AD-G

的平面角的余弦值為且？若存在，求出任的值，若不存在，說明理由.

4CJ)

【解答】解：(1)證明：連結(jié)交Ag于O,則O是A/的中點，連結(jié)8,

?.?。為AG的中點，

.-.OD//BQ,

O￡)u平面ADBt,BQ,平面ADB,,

BQ//平面ADB].

(2)AC=CC,,

平行四邊形ACGA為菱形，即AC，AG，

又平面AACG_L平面ABC，平面AACGC平面ABC=AC,BC1AC,

.?.8C_L平面ACGA，

過點。作CA的平行線CP,即C4,,CP,C8兩兩垂直,

如圖，以C為坐標原點，CA，CP,CB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的

空間直角坐標系，

-.■ZAA,C,=60°,

AC,=4,A,C=4>/3,

故C(0,0,0),A(2y/3,2,0),C,(2后,-2,0),與(2>/3,-2,2),A^=AC=(-2^3,-2,0),無瓦=(0,-4,2),

假設存在。，使得二面角耳-AD-G的平面角的余弦值為苧，設

AtD=AAjC,=(—222,0),

AD==CC/+4D=(2^(1-A),-2(1+A),0),

易得平面ADC,的一個法向量為萬=(0,0,1),

設平面AAD的一個法向量為沅=(x,y,z),貝！]《____>可取

[AB^rh=-4y+2z=0

加=(1+46(1-團,2向1-團)，

由I/-7126(1-2).E,34

由|cos<九〃>1=1/=1=一7-,解得;1=一或5n一，

J(l+4)2+15(1-2)2443

在棱AG上，

AD=-AC,即坐=3.

'4"C】D

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)=/nr-a(二l)有三個零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

X+1

【解答】解：(1)/(x)定義域為(0,xo),r(x)=---<='』2二2?！?,令

x(x+1)x(x+l)

g(x)=%2+(2-2d)x+1，

當出1時，-.,XG(0,+OO),g(0)=1>0,對稱軸玉,=a-l,,0,

g(x)>0,

即/'(x)>0,:./。)單調(diào)遞增,

當1<&2時，?.?對稱軸距=a-l>0,△=4〃2-8a,,0,

，g(x)..O，

即，(x)..O,.?./(%)單調(diào)遞增,

當a>2時,△=4a2-8a>0,g(x)=O在(0,+oo)內(nèi)有兩不等實根，

(2a-2)±-8afl~~—

x=-----------------=a-l+\Ja-2a,

2

22

設X1=a-l-yla-2a,x2=a-I+\la-2a.

當XG(0,$)時，g(x)>0,即/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當X€(X1,W)時,g(x)<0,B|Jf'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當xe(X2，+8)時，g(x)>0,即/>'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上，當42時，/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+<?);

當a>2時，/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(Om-l-Ja?-2a)和(a-l+J.?-2a,+oo),/(x)單調(diào)遞

減區(qū)間為(“-1--2a,a-1+Ja?-2a).

(2)由(1)得，當q,2時，/(幻在(0,e)單調(diào)遞增，

.?./(X)至多有一個零點；

1

當a>2時，?.?王<々，='.-0<X]<1<x2,