2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（學生版+解析版）（乙卷）（學生版+解析版）

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知全集t/={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則Cu（MUN）

=（）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

2.（5分）設iz=4+3i,則z=（）

A.-3-4/B.-3+4iC.3-4/D.3+4;

3.（5分）已知命題p：3AGR,siruCl；命題q：VxCR,則下列命題中為真命題的

是（）

A.p/\qB.「pt\qC.pA-'gD.,（pVq）

xX

4.（5分）函數(shù)/（x）=sin]+cosm的最小正周期和最大值分別是（）

A.3n和魚B.3n和2C.6n和夜D.6TC和2

x4-y>4,

5.（5分）若x,y滿足約束條件,x-y<2,則z=31+y的最小值為（）

ly<3,

A.18B.10C.6D.4

,2冗257r

6.（5分）cos———cos—=（）

1212

1V3y[2V3

A.-B.一C.—D.—

2322

11

7.（5分）在區(qū)間（0,一）隨機用11個數(shù)，則取到的數(shù)小于&的概率為（）

2

3211

A?一B?一C.-D.—

4336

8.（5分）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

4

A.y-x~+2x+4B.廠k問+歸位]

C.y^2x+22'xD.y="x+焉

9.（5分）設函數(shù)/（x）=缶，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A./（x-1）-1B./（x-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+1

10.（5分）在正方體ABC。-AIBICIOI中，P為的中點，則直線P8與ACM所成的角

為（)

x2

11.（5分）設8是橢圓C：三+》2=1的上頂點，點。在。上，則|P8|的最大值為（）

A.-5B.VL6C.VL5D.2

2

12.（5分）設a#0,若x=a為函數(shù)/（x）—a（x-a）2（x-b）的極大值點，貝!I（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分。

13.（5分）已知向量熱=（2,5）,b=（A,4）,若熱〃1，貝ij入=.

x2y2_

14.（5分）雙曲線一—-=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為_______________.

45

15.（5分）記aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為次，B=60°,a2+c2

—3ac,則b—.

16.（5分）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個

三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一

圖①圖②圖③

圖④圖⑤

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無

提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為元和歹，樣本方差分別記為5I2

和S22.

(1)求元，y,si2,522：

(2)判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果歹-

x>2則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認

為有顯著提高).

18.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，底面ABC。，M為BC的中點，

且PBA.AM.

(1)證明：平面以平面PB。；

(2)若PD=QC=1,求四棱錐P-ABC。的體積.

19.(12分)設｛如｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛加｝滿足設尸等,已知m,3a2,9a3成

等差數(shù)列.

(1)求｛珈｝和｛鳳｝的通項公式；

⑵記5”和〃分別為｛“"｝和伯”｝的前〃項和.證明：Tn<^.

20.(12分)已知拋物線C：yi=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標原點，點尸在C上，點。滿足切=9QF,求直線。。斜率的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)求曲線)，=/(x)過坐標原點的切線與曲線)，=/(x)的公共點的坐標.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標系xOy中，OC的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出OC的一個參數(shù)方程；

(2)過點F(4,1)作。C的兩條切線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極

坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.己知函數(shù)/(x)=\x-a|+|x+3|.

(1)當a=l時、求不等式/(x)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍.

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(文科)(乙卷)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},貝iJCu(MUN)

=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【解答】解：:全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},

AMUN={1,2,3,4},

ACu(MUN)={5}.

故選：A.

2.(5分)設iz=4+3i,則z=()

A.-3-4iB.-3+4/C.3-4zD.3+4i

【解答】解：由iz=4+3i,得2=警=6駕二^=-3i2-4i=3-4i.

故選：C.

3.(5分)已知命題p：3x￡R,sin_r<l：命題q：V.rGR,陰》1,則下列命題中為真命題的

是()

A.p/\qB.p/\qC."qD.-1(pVq)

【解答】解：對于命題p：3xGR,sin^<1,

當x=0時，siru:=()Vl,故命題〃為真命題，為假命題；

對于命題/VxGR,陰21,

因為IM20,又函數(shù)y=/為單調(diào)遞增函數(shù)，故陰2e0=l,

故命題4為真命題，「夕為假命題，

所以〃八夕為真命題，「p八q為假命題，〃八為假命題，［(pVq)為假命題，

故選：A.

xx

4.(5分)函數(shù)/(x)=sin］+cos］的最小正周期和最大值分別是()

A.3n和魚B.3n和2C.6T［和魚D.6n和2

xxr~x71

【解答】解：V/(x)=sin_4-cos-=v2sin(―+—),

3334

?qn27r(

??1=-y=O1T.

3

XTC

當sin(-+-)=1時，函數(shù)f(x)取得最大值夜;

34

???函數(shù)/(x)的周期為6n,最大值VL

故選：C.

x+y>4,

5.（5分）若x-y<2,則z=3x+y的最小值為()

{y<3,

A.18B.10C.6D.4

【解答】解:由約束條件作出可行域如圖,

由z=3x+y,得y=-3x+z,由圖可知，當直線y=-3x+z過A時,

直線在），軸上的截距最小,z有最小值為3X1+3=6.

故選：C.

27r257r

6.(5分)cos—cos*--=()

,1212

1V3V3

A.-B.一cYD.

2322

,7T257T

【解答】解:cos'r——cos--

1212

1+cos^

14-cos5o______o

22

1.17rli57r

=+COSCOS

226~2~2V

1V31,V3.V3

=

=2X-T-2XT-

故選：D.

11

7.(5分)在區(qū)間(0,-)隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于非概率為()

3211

A.-B.一C.一D.

4336

【解答】解：由于試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為"斗

構(gòu)成該事件的區(qū)域長度為:-0=/，

11O

所以取到的數(shù)小于]的概率I=I.

故選：B.

8.(5分)下列函數(shù)中最小值為4的是()

4

A.y=x2+2x+4B-V=lsinx|+回西

4

C.y=2x+21'xD.產(chǎn)/以+而

【解答】解：對于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+323,

所以函數(shù)的最小值為3,故選項A錯誤;

對于3,因為0V|sinx|Wl,所以y=|siiu|+|s，產(chǎn)2Jsinx].黑=4,

當且僅當.5,,即|siar|=2時取等號，

IOt(IX.1

因為|sinr|Wl,所以等號取不到,

所以y=|sinx|+j^高>4,故選項8錯誤；

對于C,因為2x>0,所以y=2'+22-x=2x+p>2卜或=4,

當且僅當2*=2,即x=l時取等號，

所以函數(shù)的最小值為4,故選項C正確；

對于。，因為當時，y=ln-+-A-=—1—4=—5<4,

ee[n^

所以函數(shù)的最小值不是4,故選項￡>錯誤.

故選：C.

9.(5分)設函數(shù)/(x)=博，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x-l)-1B.f(x-l)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1

【解答】解：因為/(x)=冷=一(即+2=-1+系，

JLI人JLIyV人IJL

所以函數(shù)/(x)的對稱中心為(-1,-1),

所以將函數(shù)/（X）向右平移一個單位，向上平移一個單位，

得到函數(shù)y=/（x-1）+1,該函數(shù)的對稱中心為（0,0）,

故函數(shù)y=/（x-1）+1為奇函數(shù).

故選：B.

10.（5分）在正方體ABC。-AIiCiDi中，P為81。的中點，則直線P8與AG所成的角

為（）

7171TCTC

A?-B?—C.-D.一

2346

【解答】解：；AO1〃BC1,是直線P8與4。所成的角（或所成角的補角），

設正方體A8CQ-4B1C1Q1的棱長為2,

則PBi=PCi=|>/22+22=V2,BCi=V22+22=2或，BP=J22+（V2）2=瓜

?cosZPBCi-P^+BCJ—PC/_6+8—2_2

..coszrtfCi-2XPBXBC1一2*辰2應—2'

AZPBCi=^7T,

o

TC

直線PB與AD\所成的角為7

6

故選：D.

%2

11.（5分）設8是橢圓C：《+/=]的上頂點，點夕在。上，則|PB|的最大值為（）

5LL

A.一B.V6C.v5D.2

2

%2

【解答】解：B是橢圓C：y+/=l的上頂點，所以8（0,1）,

點尸在C上，設P（代cos。,sin0）,0e[O,2TT）,

所以|尸劇=（）2（）2

JV5cos0-0+sind-l=y/4cos20—2sind4-2

=V-4sin20-2sin0+6=J—4(sinx+i)2+竽，

-i5

當sinO=-"時，|PB|取得最大值，最大值為了

故選：A.

12.(5分)設a#0,若x="為函數(shù)/(X)—a(x-a)2(x-b)的極大值點，貝！J()

A.a<bB.a>bC.D.ab>a1

【解答】解：令/(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是，(x)的兩個零點，

當〃>0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(x)的極大值點，則函數(shù)/(X)的

則0<a<6；

當“VO時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/(x)的極大值點，則函數(shù)/(x)的

大致圖象如下圖所示，

則b<a<0；

綜上，外>“2.

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分。

TTTT8

13.(5分)已知向量口=(2,5),b=(入，4),若a〃b,則入=g

【解答】解：因為a=(2,5),b=(A,4),a//b,

所以8-5人=0,解得人

故答案為：

14.（5分）雙曲線丁-y=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為_4_.

x2y2

【解答】解：雙曲線^一—=1的右焦點（3,0）,

所以右焦點到直線x+2），-8=0的距離為d=丹+°-8|=V5.

Jl2+22

故答案為：V5.

15.（5分）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為遮，8=60°,a2+c2

=3ac,則b=2/.

【解答】解：:△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為6，B=60°,

a2+c2—3ac,

117o

.?.-acsinB=V5n-°cx==V3=>izc=4=>?2+c2=12,

222

22

「22_112-b「.~人

又cosB=-a--+而c-b-=>-=---=>b=2或，（負值舍）

故答案為：2位.

16.（5分）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個

三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為②⑤或③④（寫出符合要求

圖①圖②圖③

圖④圖⑤

【解答】解：觀察正視圖，推出正視圖的長為2和高1,②③圖形的高也為1,即可能為

該三棱錐的側(cè)視圖,

④⑤圖形的長為2,即可能為該三棱錐的俯視圖,

當②為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖中的直線，可以確定該三棱錐的俯視圖為⑤，

當③為側(cè)視圖時，結(jié)合側(cè)視圖虛線，虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線，可以確定該

三棱錐的俯視圖為④.

故答案為：②⑤或③④.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設備，為檢驗新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無

提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下:

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為元和歹，樣本方差分別記為512

和岫2.

(1)求元，y,si2,522；

(2)判斷新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果歹-

x>2則認為新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認

為有顯著提高).

【解答】解：(1)由題中的數(shù)據(jù)可得，x=

(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

1

y=x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

s/=特x[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8

-10)2

+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036；

522=^X[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-

10.3)2

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]

=0.04；

(2)y-x=10.3-10=0.3,

0.03；；0.04=2,0.0076?0.174,

所以歹一元>2寄I

故新設備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.

18.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，尸。_1_底面48<7。，M為BC的中點,

且PBA.AM.

(1)證明：平面以平面PB。；

(2)若PO=￡)C=1,求四棱錐尸-ABC。的體積.

【解答】(1)證明：；P￡)_L底面A8CQ,AMu平面A8CD,

：.PDA.AM,

又：P8_LAM,

PDCPB=P,PB,PQu平面PBZ).

；.AM_L平面PBD.

平面PAM,

平面以仞1.平面PBD；

(2)解：由底面ABCD,

：.PD即為四棱錐P-ABCD的高，叢DPB是直角三角形；

；ABC￡>底面是矩形，PD=DC=1,"為8c的中點，且PB_LAM.

設A￡>=8C=2〃，取CP的中點為尸.連接加尸，AF,EF,AE,

可得MF〃P8,EF//DP,

那么AM_LMF.且EF=±.AE=J1+4a2,AM=Va2+1,AF=>JEF2+AE2.

那么△AMF是直角三角形，

是直角三角形，

_______/?+4a2

...根據(jù)勾股定理：BP=V2+4a2,則—；

由△斗〃尸是直角三角形，

可得4M2+加尸2=4產(chǎn)，

解得?=孝.

底面ABCD的面積S=V2,

則四棱錐P-ABCD的體積V=1./i.S=|xlxV2=^y.

19.（12分）設｛〃”｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛E｝滿足為=等，已知m,3a2,9如成

等差數(shù)列.

（1）求｛〃"｝和｛加｝的通項公式；

⑵記S”和〃分別為｛“"｝和｛為｝的前〃項和.證明：Tn<^.

【解答】解：（1）3a2,9〃3成等差數(shù)列，，6a2=ai+9a3,

???｛〃〃｝是首項為1的等比數(shù)列，設其公比為必

貝!）6g=1+9/，:.q=可

n1=

C.an=a\q

bn=與1=/7*（1）n.

（2）證明：由（1）知即=（3時1,加=〃?&）%

?“3日1

~2X

13

〃=1x(gi+2x(扔+…+九.(》九，①

112131i

=IX(-)2+2X(-)3+…+幾?q)n++l,②

nn+1

①-②得,|rn=|[l-(|)]-n(1),

F=A/x(扔一】+(扔,

：?7"-當=Ay曲-1_尖砂一信VX(扔-1]<0,

??In2,

20.(12分)已知拋物線C：y1=2px(p>0)的焦點尸到準線的距離為2.

(1)求C的方程：

(2)已知O為坐標原點，點尸在C上，點。滿足花=9QF,求直線OQ斜率的最大值.

【解答】(1)解：由題意知，p=2,

.".y2—4x.

(2)由(1)知，拋物線C：V=4x,F(1,0),

設點。的坐標為(m,n),

則QF=(1-m,-n),

PQ=9QF=(9—9m,-9n)

?”點坐標為(10m-9,lOn),

將點P代入C得100〃2=40,"-36,

100n2+36_25n2+9

整理得

m=40=~10-'

n_10九_10工

當〃=時取最大值.

m=25n2+9=25n+1-寸3

故答案為：~.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)—X3-^+ax+1.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標原點的切線與曲線y=/(x)的公共點的坐標.

【解答】解：(1)，(x)=3，-2x+a,Z\=4-12小

①當△★(),即a8時，由于/(x)的圖象是開口向上的拋物線，故此時/(x)20,

則/(X)在R上單調(diào)遞增；

②當△>(),即時，令/(%)=0,解得久「上學四，X2=1+可二叱

令/(X)>0,解得“Vxi或X>X2,令/(X)<0,解得JnVxV%2,

.*./(X)在(-8,Xl),(X2,+°°)單調(diào)遞增，在(加，XI)單調(diào)遞減；

綜上，當a滸時，f(x)在R上單調(diào)遞增；當aV/時，f(x)在(一巴士手瑪，

(匕手電，+8)單調(diào)遞增，在(上手近，1±孚四)單調(diào)遞減.

(2)設曲線y=/(x)過坐標原點的切線為/,切點為(久°，而3-&2+ax。+1),「(%())=

2

3x0-2x0+a,

3x2ax2

則切線方程為y-(%o-0+o+1)=(3x0-2x0+