2021年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷（文科）附答案解析

2021年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)大聯(lián)考試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={1,2},F={xeZ[0<x<2},則4nB=（）

A.0B.{0}C.{2}D.{1,2}

2.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)k的范圍是（）

A.fc>0B.fc>0C.k<0D.fc<0

3.我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、

住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、

120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受

情況.則應(yīng)從青年員工中抽取的人數(shù)為（）

A.8人B.10人C.12人D.18人

4.把雙曲線蘭-乃=1的實(shí)軸變虛軸，虛軸變實(shí)軸，那么所得的雙曲線方程為（）

94

A._蘭+乃=1B.-立+乃=1C.正一日=1D.以上都不對(duì)

944949

5.對(duì)于實(shí)數(shù)X,符號(hào)因表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如㈤=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù)/（%）=%-

[幻，給定下列敘述:①函數(shù)/（x）的最大值為1;②函數(shù)f（x）的最小值為0;③函數(shù)G（x）=/（%）-1

有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)/(x)是增函數(shù).其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.方程s譏X=的解為()

k

A.x=kn+(-l)-7,keZB.x=2kn+(-1)”,okEZ

C.x=kn+(-l)fe+1q,keZD.x=2fcTr+(-l)k+1-7,kEZ

6o

7.m<2是方程』+*?=1表示雙曲線的（）

m—26-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8,下列關(guān)于向量鬲方的敘述中，錯(cuò)誤的是（）

A.若a?+=0,則五=ft=0

B.若k￡R,ka=O>所以k=0或方=G

C.若五-b=0>則蒼=G或b=0

D.若巨石都是單位向量，則蒼.方wi恒成立

9.函數(shù)/'(%)=a/+sinx的圖象在x=三處的切線方程為、=x+b,貝ija的值為()

A.1-7B.-C.1+7D.1--

4n47r

x+1>0

10.已知。為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(2,3),點(diǎn)P為平面區(qū)域x+yw2(m>0)內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若市?而

y>m(x-2)

的最小值為-6,則?n=()

A.1B.iC.D.1

11.若圓S上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線0的距離為1,則半徑0的取值范圍是()

A.0B.0C.0D.0

1

12.已知數(shù)列的前兀項(xiàng)和為右，且斯=礪而，則59等于()

A.；B.1C.磊D.5

771021

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.△43。中4=%a=2,求AABC周長(zhǎng)的最大值是.

14.已知數(shù)列｛an｝滿足即+1=2/-%1(伽之2),且的=1,。2=2,則數(shù)列4」一1的前〃項(xiàng)之

和.

15.設(shè)尸,A尻C是球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)A尸尻比兩兩互相垂直，

且以=PB=PC=1n則球。的表面積為_(kāi)_____.

16.拋物線y=—的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知a,b,c分別為△4BC三個(gè)內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊，acosC4-yJSasinC—b—c=0-

(I)求4

(11)若。=2,be=2,求b+c的值.

18.某學(xué)校為調(diào)查高二年學(xué)生的身高情況，按隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表

>170cm<170cm總計(jì)

男生身高10

女生身高4

總計(jì)80

已知在全部80人中隨機(jī)抽取一人抽到身高2170cm的學(xué)生的概率是段.

40

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”？

(3)在上述80名學(xué)生中，身高170?175cni之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人.

從身高在170?175cm之間的學(xué)生中按男、女性別分層抽樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3

人當(dāng)旗手，求3人中恰好有一名女生的概率.

參考公式-K2=——當(dāng)——

J744、'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

pg>fc0)0.0250.0100.0050.001

k05.0246.6357.87910.828

19.(12分)如圖，在正方體ABC。-481刃。1中,E、F、G分別是CB、CD、CQ的中點(diǎn),

(1)求證：平面4位劣〃平面EFG;

(2)求證：平面4&CL面EFG.

(3)求異面直線AC與所成的角

20.已知點(diǎn)4(一4,0),8(4,0),過(guò)點(diǎn)4的直線zn與過(guò)點(diǎn)B的直線n交于點(diǎn)P,設(shè)直線m斜率為右，直線n

斜率為七.

(1)若/￡祗2=。(。40)，點(diǎn)「的軌跡連同點(diǎn)4B構(gòu)成了曲線E,求曲線E的方程；試根據(jù)a的取值情

況，說(shuō)明曲線E是何種曲線；

(11)當(dāng)。=一;時(shí)，寫(xiě)出曲線E的方程，若過(guò)定點(diǎn)(2,0)的直線I不與坐標(biāo)軸重合，且與曲線E交于C,D

兩點(diǎn)，是否存在直線使以CD為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)B?若存在，求直線I的方程；若不存在，說(shuō)明

理由.

21.設(shè)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+(0).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)討論g(x)與g(l)的大小關(guān)系；

X

(3)求a的取值范圍，使得g(a)-g(x)V4對(duì)任意%>0成立.

a

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為器0(a為參數(shù))，直線C2的方程為

y=?x,以。為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

J3

(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；

(2)若直線C2與曲線C1交于P,Q兩點(diǎn),求|OP|“OQ|的值.

23.已知函數(shù)f(x)=1+系.

(1)判斷并用定義證明函數(shù)/。)的奇偶性；

(2)解關(guān)于％的不等式|f(x)|>|.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：:4={1,2},B={0,1,2},

???AnB={1,2}.

故選：D.

可以求出集合8,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

考查描述法、列舉法的定義，以及交集的運(yùn)算.

2.答案：B

解析：

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,

比較基礎(chǔ).

解：z=B=￥===-n,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（一1,一￡）,

???復(fù)數(shù)Z=鋁在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

I

-k<0,解得k>0,

故選B.

3.答案：C

解析：解：設(shè)從青年員工中抽取的人數(shù)為a人，根據(jù)抽樣比例相等列方程為

a_120

30—80+100+120'

解方程得a=12.

故選：C.

設(shè)從青年員工中抽取的人數(shù)為a,根據(jù)抽樣比例相等列方程求解即可.

本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4.答案：A

解析：

求得雙曲線的a=3,b=2,判斷所求雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，即可得到.

本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用方程思想.

解：雙曲線式一藝=1的a=3,b=2,

94

把雙曲線式-"=1的實(shí)軸變虛軸，虛軸變實(shí)軸，

94

22

可得所求雙曲線方程為匕一二=1.

49

故選：A.

5.答案：B

，,、(0,當(dāng)x為整數(shù)時(shí)

f(無(wú))—〈..

1(0,1),當(dāng)工不為整數(shù)時(shí)

可得：①函數(shù)/(%)的最大值不為1,不正確；

②函數(shù)/(x)的最小值為0,正確；

③函數(shù)G(x)=/(x)―：有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，正確；

④函數(shù)是周期函數(shù)，不是增函數(shù)，因此不正確.

其中正確的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

定義函數(shù)/(%)=%—［對(duì)，其圖象：/(%)二fo,當(dāng);比::為整￡數(shù)時(shí)/般.計(jì)，即可得出.

1(0,1),當(dāng)工不為整數(shù)時(shí)

本題考查了取整函數(shù)田的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

6.答案：D

解析：解：由s譏X=-：，可得％=2k71-多，或x=2kn?一'=(2/c-l)7r+HfcGZ,

2666

即％=2/OT+(—l)k+iq,k€Z,

故選：D.

由題意可得可得x=2k兀一±或X=2k7r-?=(2k-l)7r+mk&Z,從而得出結(jié)論.

666

本題主要考查三角方程的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：A

解析：解：若方程上+二±=1表示雙曲線，

m-26-m

則(m-2)(6—m)VO,即(m—2)(m—6)>0,

解得小>6或m<2,

則m<2是方程上=1表示雙曲線的充分不必要條件，

m-26-m

故選：A.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用雙曲線的定義和性質(zhì)求出皿的范圍是解決本題的關(guān)

鍵.

8.答案：C

解析：

本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)等，數(shù)量積，單位向量，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量的運(yùn)算和性質(zhì)逐項(xiàng)求解即可.

解：A選項(xiàng)：片+/=0,所以反=3='故A正確，

B選項(xiàng)：若kGR,ka=O,所以k(五一6)=0，所以k=0或五=6，故B正確，

C選項(xiàng)：a-b=0<所以方=0或b=0或五_L匕,故C錯(cuò)誤，

。選項(xiàng)：五行都是單位向量，設(shè)兩向量夾角為仇

所以N?b=|a||b|cos0=1x1-cos0=cos。<1>故。正確，

故選：C.

9.答案：B

解析：解:函數(shù)/'(x)=ax2+sinx的導(dǎo)數(shù)為/'(X)=2ax+cosx,

可得圖象在x=1處的切線斜率為a兀+cos]=an,

切線方程為y=x+b,可得a=,

故選：B.

求得“X)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由斜率相等求得a.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.

io.答案:c

解析：ft?："OA-OP=2x+3y,

22

，設(shè)z=2%+3y,得y=

VOA?加的最小值為一6,

;此時(shí)y=一：工一2,

作出y=-1x-2則y=-|x-2與x=-1相交為B時(shí),

此時(shí)B(-1,一》，此時(shí)8也在y=m(x—2)上，

則一3nl=-p得m=g,

故選：C.

根據(jù)向量數(shù)量積的公式求出瓦？?赤=2x+3y，結(jié)合瓦？?市的最小值為一6,得到y(tǒng)=-|x-2,作

出對(duì)應(yīng)的直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)量積的公式求出目標(biāo)函數(shù)的解析式，先作出目標(biāo)函數(shù)的直線，

求出交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵.

11.答案：4

解析：試題分析：先利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由題意得|5-川<1,解此

不等式求得半徑r的取值范圍.解：???圓心P(3,—5)到直線4x—3y=2的距離等于0

由|5—川<1,解得：4<r<6,則半徑r的范圍為(4,6).故答案為4

考點(diǎn)：線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，以及絕對(duì)值

不等式的解法，列出關(guān)于r的不等式是解本題的關(guān)鍵

12.答案：C

解析：解：.?.每=花扁=；一馬？

則S9=(1_}+(?》+…+弓—巳)=1一2=*

故選：C.

斯=就5=：一?，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出?

本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

13.答案：6

解析：解一.急=亮=就

b_c__2__473

sinBsinC叵3

2

???△48c的周長(zhǎng)1=a+b+c

4V34V3

2H---sinB+---sinC

33

4V32兀

=2+—[sinB+sin(--B)]

4V33V3

=2+—(-sinB+-cosB)

=2+4sin(BH—),

6

故當(dāng)B=C=W時(shí)，△ABC周長(zhǎng)有最大值6.

故答案為：6.

由正弦定理可得-二=三=2,從而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用表示出I=a+b+c=2+

勺，從而正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

4sin(B+O

本題考查了解三角形的應(yīng)用及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.

n

14.答案:

n+1

解析:

本題主要考查等差數(shù)列的定義，等比數(shù)列的定義，裂項(xiàng)相消求和；解答本題的關(guān)鍵是將

況一~變形，得據(jù)此的出是公比為的等比數(shù)列，然后求

4H1=4Ml-4=4—4-，｛4—1

出｛，-4_力的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出然后利用裂項(xiàng)相消法求和?

解：,??-=況-44,

?%一，=，一』,

..組馬=1,

???.一.=1,

.?,[4—是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，

?，-j=l,

??.MJ是公差為1的等差數(shù)列，

?atl=n,

1111

???-------------——―-----,

n?+1

???｛」一｝的前n項(xiàng)和為：1--+--i+—=1--=—

223nn+1H+1n+1

15.答案：

解析：本題考查球的表面積公式。PA，PB,PC兩兩垂直，且P4=PB=PC=1m，所以三棱錐

P-4BC是球內(nèi)接正方體的一個(gè)拐角，

球的直徑

2R=712+12+12=a.Jt=—,S=4M2=3左

2

16.答案：(0,-|)

解析：

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)一步得到拋物線/=-2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,一鄉(xiāng)，即可求出其

焦點(diǎn)坐標(biāo).

解：???拋物線y=O即/=—6y,拋物線開(kāi)口向下，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，

0P3

.??p=3,-

產(chǎn)22

???焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-|),

故答案為：(0,—|).

17.答案：解：(1)丁acosC+>/3asinC—b—c=0,

:，sinAcosC+y/SsinAsinC-sinB-sinC=0,

:.sinAcosC+yj3sinAsinC=sinB+sinC

=sin(>4+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,

vsinCH0,

???yJZsinA-cosA=1，

???sin(4-30°)=i,

??.4-30。=30。，

???A=60°；

222

(2)由余弦定理得,a=h+c-2bccosAf

則4=b2+c2—be,

???(b+c)2—3bc=4,

vbe=2,

??.b+c=V10.

解析：(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得sinAcosC+\/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+

C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,整理可求4

(2)通過(guò)余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關(guān)系求出b+c的范圍.

本題綜合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、基本不等式的綜合應(yīng)用，誘導(dǎo)公式與輔助角公

式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用是求解的基礎(chǔ)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式.

18.答案：解：(1)身高2170c機(jī)的人數(shù)有80x^=34人，所以可得到下列列聯(lián)表:

>170cm<170cm總計(jì)

男生身高301040

女生身高43640

總計(jì)344680

(2)依據(jù)K2公式,得

火=笑粽離。3458>10.828,

???能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為身高與性別有關(guān);

(3)在170?175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有4人,

按照分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人,

設(shè)男生為4,A2,A3,A4,女生為B,

從5人中任意選3人，有

(Ai'4'A)'(々Mi，44)、(出>力i‘B)

(A‘Ai'B)、(A2，A3，A4)

(Az.4'B)、(/，人小B)、(^A3,A4,B)

(A3,A1,A4')

共10種情形,

3人中恰有一名女生的有:

(/2，4I，B)、(4Mi，8)、(4,A1,8)

(Az'4’B)、(42,”4,8)、(i43,A4,

共6種可能，

根據(jù)古典概型，得

63

PD=w=?

3人中恰好有一名女生的概率:

解析：(1)根據(jù)列聯(lián)表的組成進(jìn)行填空；

(2)直接根據(jù)K2公式，進(jìn)行計(jì)算；

(3)首先，根據(jù)分層抽樣進(jìn)行抽取，然后，按照古典概型公式求解.

本題重點(diǎn)考查了K2公式，古典概型等知識(shí)，屬于中檔題.

19.答案：(1)先證平面富寤確平面.螭燧，再證平面.驟切.梯平面率覿，從而可證結(jié)論;

(2)先證EFlAC,盔&1“理，從而證明EF1平面點(diǎn)睇，進(jìn)而可證結(jié)論；

⑶知產(chǎn)

解析：試題分析：⑴???耀虜潦:分別是電磁j事的中點(diǎn)，

/彝,5^游.瀛勒^，

二平面屬波平面翻零，

又???螂盛豌%喀蕊幽,豳詭，領(lǐng)，

二平面購(gòu)樽簫平面，魂曬，

二平面四時(shí)覿〃平面就跑……4分

(2)???EF//BD,4BC。為正方形

???BD1AC,即EF1AC,

又???正方體中用1.面ABC。，EF：?二面4BCD,??.留J.L理，

???冬，4C：二面滴般，；.EFL平面期窿，

又：E尸屬于面EFG,???平面闔解，平面EFG…….8分(3)在正方體中顯然有建呼邨：，

所以心胸!即為異面直線ZC與所成的角；

顯然盛敏歐為正三角形，

所以Z巍歐=蒯嚴(yán)，即異面直線AC與所成的角為醐叫......12分

考點(diǎn)：本小題主要考查面面平行、線面垂直的證明和線面角的求解。

點(diǎn)評(píng)：立體幾何問(wèn)題，主要考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，要緊扣相應(yīng)的判定定理和性

質(zhì)定理，定理中要求的條件要一一列舉出來(lái)，缺一不可.求角時(shí)，要先證后求，并注意角的取值范圍.

20.答案：解：(1)由題意向=匕?，七=勺，代入七/2=。可得；二一=a,

x—4x+4x2—16

喔-卷=3("°，

①當(dāng)a>0,表示雙曲線，去掉(—4,0),(4,0)兩點(diǎn).

②當(dāng)一1VQV0,表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓.

③當(dāng)a=-l,表示圓.

④當(dāng)a<一1,表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓；

(口)當(dāng)。=一:時(shí)，由(I)可得應(yīng)+"=1,

4164

存在直線I,使以CD為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)B,過(guò)定點(diǎn)(2,0)的直線I不與坐標(biāo)軸重合,

設(shè)直線的斜率為k,k大0,

則直線1的方程為y=k(x-2)

設(shè)CQi，%),D(x2,y2y

y=k(x—2)

聯(lián)立％2y2_

—I—=1

1164

化為(1+4k2)%2_16k2X+16k2-16=0,

△=256/c4-4(1+4/c2)(16fc2-16)>0,

16k216〃2-16

~?Xi=

???Xr+x2=l+4k21/l+4fc2

22

???7172=卜(%-2)-kg-2)=kxrx2-2k2(/+x2)+4/c=1f4k2

.-.'BC-BD=01-4,%)?(x2-4/2)=(%1-4)(*2-4)+yty2=xtx2-4(/+x2)+16+

16k2-1664k2-12k2

=---------T-Z+16+----r-

1+4/c21+4/c21+4/c2

解得k=0(舍去),

故k的值不存在

解析：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的

關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

(1)用刈y表示的和心，=*建立關(guān)于x,y的方程并進(jìn)行化簡(jiǎn)，討論a的取值范圍，確定軌

跡所代表的曲線.

(口)存在直線I,使以CD為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)B,過(guò)定點(diǎn)(2,0)的直線/不與坐標(biāo)軸重合.設(shè)C(xi，yi),

。(%2〃2)?直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得(1+4k2鏟一16k2%+16k2_16=0,△>0.可得根與系數(shù)

的關(guān)系和向量的數(shù)量積可得就-BD=(%i-4,yD?(不一4,力)=0?代入解出即可.

21.答案：解：(1)由題設(shè)知/(x)=lnx,g(x)=lnx+1，

x

?r-1

g'(x)=——，令g'(x)=0,得x=1.

X

當(dāng)％6(0,1)時(shí)，g'(x)<0,故(0,1)是g(%)的單調(diào)減區(qū)間，

當(dāng)算6(1,+8)時(shí),g'(x)>0,故(1,+8)是g(%)的單調(diào)增區(qū)間.

因此，x=1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn).所以最小值為g(l)=l.

(2)g(1)=Tnx+x.

x

設(shè)〃(x)=g(x)-g(-)=21nx-x+L