經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模2課件

第三章金融應(yīng)用模型

第一節(jié)利率模型

資金是有時間價值的，無論進(jìn)行了什么樣的經(jīng)濟(jì)活動，都必須認(rèn)真考慮資金時間價值，千方百計縮短資金使用周期，加速資金周轉(zhuǎn)，節(jié)省資金占用數(shù)量和時間，提高資金的經(jīng)濟(jì)效益。一、單利模型設(shè)年利率為r,初始資金量為S0,n年后資金量為Sn若年利率和本金都是常數(shù)，n年后的本利和為二、復(fù)利模型（利滾利）1、離散型復(fù)利模型每年結(jié)算一次，n年后的本利和為每年結(jié)算m次，n年后的本利和為2、連續(xù)型復(fù)利模型連續(xù)結(jié)算（瞬時結(jié)算），n年后的本利和為已知初始資金S0，用單利或復(fù)利計算n年后資金Sn的計算式稱為終值模型；反之，已知n年后的終值Sn，求按年利率r折算到現(xiàn)在時間段的資金S0的模型稱為現(xiàn)值模型。三、現(xiàn)值模型在現(xiàn)值模型中，將年利率r也稱為折現(xiàn)率1、單利現(xiàn)值模型若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為2、復(fù)利現(xiàn)值模型每年折現(xiàn)一次，若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為每年折現(xiàn)m次，若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為連續(xù)折現(xiàn),若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為

流出系統(tǒng)的資金稱現(xiàn)金流出，流入系統(tǒng)的資金稱現(xiàn)金流入，現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出之差稱凈現(xiàn)金流量。

在財務(wù)分析中，把研究的項目視為一個系統(tǒng)，投入的資金、花費的成本、獲得的收益，可以看成是以資金形式體現(xiàn)的該系統(tǒng)的資金流出或流入。在項目整個壽命期內(nèi)各時點上實際發(fā)生的資金流出或流入稱為現(xiàn)金流量。四、資金流的現(xiàn)值與終值模型現(xiàn)金流量圖

若在相同時間段資金量不是固定值，而是隨時間段變化，用Ai表示第i階段末的資金量(i=1,2,…n),r表示階段的利率，則n個階段全部資金量的終值S為

資金終值公式現(xiàn)金流量圖An-1A3A2A1Ans若Ai表示凈現(xiàn)金流,稱S0為凈現(xiàn)值，記為NPV則n個階段全部資金量的現(xiàn)值S為若考慮現(xiàn)值，第i階段資金的現(xiàn)值為Ai(1+r)-iA1A2A3An-1AnS0資金現(xiàn)值公式現(xiàn)金流量圖若每個相同時間段資金數(shù)額相同都為A，即Ai=A，稱A為年金。根據(jù)資金產(chǎn)生時間分為普通年金：從第一期開始每期期末收款、付款的年金。

ＡＡＡＡ０１２３４預(yù)付年金：從第一期開始每期期初收款、付款的年金。

ＡＡＡＡ０１２３４五、年金

ＡＡＡＡ……

A０１２３４……

∞遞延年金：在若干期以后收付的年金。永續(xù)年金：無限期的普通年金。

ＡＡＡＡA０１２３４567普通年金現(xiàn)值為普通年金終值（復(fù)利）為例假設(shè)以8%的利率借款500萬元，投資于某個壽命期為12年的新技術(shù)，每年至少要收回多少現(xiàn)金才是有利的？

解得A為因此，每年至少要收回663500元，才能還清貸款本利。A=5000000×0.1327=663500（元）

設(shè)每年回收A元，據(jù)普通年金現(xiàn)值計算公式先付年金終值（復(fù)利）為先付年金的現(xiàn)值為

永續(xù)年金無終值（∞），其現(xiàn)值為3.2連續(xù)資金流的終值與現(xiàn)值若各階段資金量是時間t的連續(xù)函數(shù)f(t)，也稱為連續(xù)資金流，若f(t)在（0，T)連續(xù)，則在時間段（t,t+△t)內(nèi)資金的近似值為f(t)△t,若按連續(xù)復(fù)利計算，這些資金在期末的終值為由定積分思想，總收入的終值為

若求現(xiàn)值，設(shè)連續(xù)折現(xiàn),記其對應(yīng)的現(xiàn)值為S0,T年資金流量的總現(xiàn)值S0是特別，當(dāng)f(t)=A時，有

例某企業(yè)想購買一臺設(shè)備，設(shè)備成本為5000元，t年后該設(shè)備的報廢價值為使用該設(shè)備在t年時可使企業(yè)增加收入850－40t元，若年利率為5%，計算連續(xù)復(fù)利，企業(yè)應(yīng)在什么時候報廢這臺設(shè)備？此時，總利潤的現(xiàn)值是多少？解T年后總收入的現(xiàn)值為T年后設(shè)備殘值的現(xiàn)值為T年后總利潤的現(xiàn)值為為求最大值，對T求導(dǎo)得令得T=10當(dāng)T=10時，總利潤的現(xiàn)值最大，故應(yīng)在使用10年后報廢這臺機器，此時，企業(yè)所得利潤的現(xiàn)值為T=10為唯一極大值點，就是最大值點。又3.3簡單的投資決策模型

投資決策分析對企業(yè)獲利能力、資金結(jié)構(gòu)、償債能力及長遠(yuǎn)發(fā)展都有重要影響，投資決策方法非常多，最簡單的技術(shù)方法可以分為非貼現(xiàn)法和貼現(xiàn)法兩類,它們的區(qū)別在于前者不考慮貨幣的時間價值，計算簡便；后者則考慮貨幣的時間價值，更科學(xué)、合理。非貼現(xiàn)法主要有回收期法和年平均報酬率法兩種。貼現(xiàn)法主要有凈現(xiàn)值法、內(nèi)部收益率法和獲利能力指數(shù)法三種。以貼現(xiàn)法為例分析。

式中PT——動態(tài)投資回收期；

CI——第t年的現(xiàn)金流入量；

CO——第t年的現(xiàn)金流出量；

ic——基準(zhǔn)收益率。一、投資回收期(動態(tài))動態(tài)投資回收期是指在給定的基準(zhǔn)收益率下，用方案各年資金凈流量的現(xiàn)值來回收全部投資的現(xiàn)值所需的時間。公式：例年01234項目A的現(xiàn)金流量-1000400400400400現(xiàn)值系數(shù)（10%）10.90910.82640.75130.6830折現(xiàn)的現(xiàn)金流量-1000363.64330.56300.52273.2累計折現(xiàn)現(xiàn)金流量-1000-636.36-305.8-5.28267.92項目A的折現(xiàn)現(xiàn)金流量項目A的動態(tài)投資回收期=累計凈現(xiàn)金流量折現(xiàn)值開始出現(xiàn)正值的年份-1+=4-1+5.28/273.2=3.02(年)項目投資回收期在一定程度上顯示了資本的周轉(zhuǎn)速度。資本周轉(zhuǎn)速度愈快，回收期愈短，風(fēng)險愈小，盈利愈多。

不足的是，投資回收期沒有全面地考慮投資方案整個計算期內(nèi)的現(xiàn)金流量，即忽略在投資回收期以后發(fā)生的數(shù)據(jù),對總收入沒有做考慮。只考慮回收之前的效果，不能反映投資回收之后的情況，無法準(zhǔn)確衡量方案在整個計算期內(nèi)的經(jīng)濟(jì)效果。投資回收期作為方案選擇和項目排隊的評價準(zhǔn)則是不可靠的，它只能作為輔助評價指標(biāo)。二、凈現(xiàn)值（NPV）

凈現(xiàn)值是指方案在壽命期內(nèi)各年的凈現(xiàn)金流量按照設(shè)定的折現(xiàn)率折現(xiàn)到期初時的現(xiàn)值之和，反映了方案獲利能力。其表達(dá)式為：式中：NPV——凈現(xiàn)值；

CI——第t年的現(xiàn)金流入量；CO——第t年的現(xiàn)金流出量；

n——該方案的計算期；

ic——設(shè)定的折現(xiàn)率。

對單一方案而言，若NPV≥0，則認(rèn)為項目可行，若NPV<0，則予以拒絕。對多方案比選時，凈現(xiàn)值越大，方案越優(yōu)。

凈現(xiàn)值的大小既取決于資金流量，也取決于所用的貼現(xiàn)率。對于同一項投資方案來講，貼現(xiàn)率越小，凈現(xiàn)值越大；反之，凈現(xiàn)值越小。原理通俗易懂，適用于任何均勻的資金流量(年金的現(xiàn)值)或不規(guī)則的資金流量，充分考慮了投資方案發(fā)生資金流量的先后時間以及整個壽命期間內(nèi)的收益，體現(xiàn)了貨幣的時間價值。因而它是一種較為廣泛使用的長期投資決策方法。

主要缺點是在投資額不相等的若干方案之間進(jìn)行比較時，單純看凈現(xiàn)值的絕對額并不能做出正確的評價。因為在這種情況下，不同方案的凈現(xiàn)值是不可比的。凈現(xiàn)值的優(yōu)缺點例年現(xiàn)金流量①現(xiàn)值系數(shù)（10%）②現(xiàn)值=①×②0-10001-100015000.9091454.5524000.8264330.5633000.7513225.3941000.683068.30NPV78.80項目的凈現(xiàn)值單位：萬元三、獲利能力指數(shù)

獲利能力指數(shù)是項目投產(chǎn)后現(xiàn)金流量的現(xiàn)值之和與初始投資現(xiàn)值之和的比，表明項目單位投資的獲利能力，記為PI。表達(dá)式為：

獲利能力指數(shù)顯然和凈現(xiàn)值很相似，但它反映了單位投資額的效益。與凈現(xiàn)值指標(biāo)相比，更便于投資額不等的多個項目之間的比較和排序。PI=投產(chǎn)后現(xiàn)金流量的總現(xiàn)值/初始投資總現(xiàn)值

如果投資方案獲利指數(shù)大于或等于1，為可行方案；如果獲利指數(shù)小于1，則方案不可行；如果幾個方案的獲利指數(shù)均大于1，那么獲利指數(shù)越大，投資方案越好。PI決策的標(biāo)準(zhǔn)是

內(nèi)部收益率（IRR）指能使項目的凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率。（四）內(nèi)部收益率IRR的決策標(biāo)準(zhǔn)：1、將方案的內(nèi)部收益率與行業(yè)基準(zhǔn)收益率對比，如果方案的IRR大于等于行業(yè)基準(zhǔn)收益率，則方案可行，否則不可行；

2、在可行的方案中，IRR最大的方案為最優(yōu)方案；可以直接反映投資項目的實際收益水平，可以直接與行業(yè)基準(zhǔn)收益率比較。計算過程不受基