一種多分形波動率的arfima模型及其實證研究

一種多分形波動率的arfima模型及其實證研究

0中國股票市場多分形波動特征的實證研究金融資產(chǎn)收入的波動率是現(xiàn)代金融理論的核心內(nèi)容。波動率及其動態(tài)機制的描述對資產(chǎn)價值理論的驗證、最佳資產(chǎn)組合的選擇、衍生產(chǎn)品的套期維護策略的設計以及金融風險的測量和管理具有極其重要的理論和實際意義。1999年,分形(fractal)理論之父Mandelbrot在《科學美國人》(ScientificAmerican)上撰文指出,多分形(multifractal)1理論是一種定量刻畫金融市場各種復雜波動特征的有力工具,且與一般的單分形(unifractal)描述相比,多分形理論的工具和方法在金融市場中具有更強的實用性.此后,眾多國內(nèi)外學者運用多分形理論對各種不同類型金融市場的波動現(xiàn)象進行了實證研究,取得了許多有價值的研究成果[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13].其中,文獻還實證檢驗了中國股票市場的多分形波動特征.但需要指出的是,目前絕大多數(shù)的多分形研究還停留在對市場多分形波動特征的實證檢驗層面之上.因此,如何進一步挖掘多分形波動分析中產(chǎn)生的對市場波動特征描述的有益統(tǒng)計信息,進而為更加準確的市場波動率測度和建模提供依據(jù),仍然是目前該領(lǐng)域研究中亟待解決的難點問題之一.同時,主流金融理論中的各種波動率描述方法及其模型,無論是早期的ARCH/GARCH族模型、隨機波動模型(stochasticvolatility,SV),還是最近非常流行的實現(xiàn)波動率模型(realizedvolatility,RV),都是直接利用股價或者收益率序列本身來直接描述市場的波動率大小.但是,由于金融市場的波動率本身是無法直接加以觀察的,因此,現(xiàn)有主流波動率研究中的眾多統(tǒng)計推論也許并不具有廣泛的代表性.基于上述考慮,在前期相關(guān)研究的基礎(chǔ)之上,首先利用高頻數(shù)據(jù)的多分形譜(multifractalspectrum)分析,提煉出對金融市場日波動率(dailyvolatility)描述的間接統(tǒng)計信息,顯然這些間接的定量統(tǒng)計信息,是與上面討論的主流金融學中各種對波動率的直接描述方法相異的.在此基礎(chǔ)上,本文提出了一種基于高頻股價數(shù)據(jù)多分形譜的市場波動率測度方法—多分形波動率(multifractalvolatility,MFV)測度,并相應構(gòu)造了其ARFIMA動力學模型.同時,為了驗證這種新的波動率測度方法及其模型的可靠性和實用性,還實證計算了MFV模型、RV模型、GARCH模型以及SV模型對未來市場波動率的樣本外(out-of-sample)預測值,并進一步運用HansenandLunde提出的SPA(superiorpredictiveability)檢驗法,實證對比了這些模型對市場波動率預測的精確程度.實證結(jié)果顯示,在經(jīng)異方差調(diào)整后的損失函數(shù)標準下,本文提出的多分形波動率測度及其ARFIMA模型具有比現(xiàn)有其它波動率模型更加優(yōu)越的波動率刻畫能力和預測精度.1第t天的型示數(shù)據(jù)及處理本文研究的數(shù)據(jù)樣本為上證綜指(SSEC)從1999年1月19日到2006年10月10日的每5分鐘高頻數(shù)據(jù)(共N=1849個交易日),記為It,d,t=1,2,…,N,d=0,1,2,…,48,其中It,0表示第t天的開盤價,It,48表示第t天的收盤價,數(shù)據(jù)來源于“中國經(jīng)濟研究中心(CCER)色諾芬股票市場高頻數(shù)據(jù)庫”.上海證券交易所每個交易日9∶30分開盤,到11∶30分中午休市,然后13∶00開盤,到15∶00全天收盤,每天共有4個小時(即240min)連續(xù)競價交易時間,因此,采用每5min記錄一個數(shù)據(jù)的方法每天可以產(chǎn)生48個高頻股價記錄(不包括It,0),樣本總體的高頻數(shù)據(jù)量為88752個.文中的日收益率(dailyreturn)Rt利用相鄰兩個交易日的收盤價計算如下Rt=100(lnIt,48-lnIt-1,48),t=2,3,…,N(1)同理,定義第t天的(每5min)高頻收益率(high-frequencyreturn)Rt,d為Rt,d=100(lnIt,d-lnIt,d-1),d=1,2,…,48(2)2rv模型是基于高頻數(shù)據(jù)的波動率模型，mfv模型是基于數(shù)據(jù)的2.1基于高頻收益的市場真實波動率模型AndersenandBollerslev首次指出,傳統(tǒng)上用日收益率的平方(squareddailyreturn)作為日波動率(dailyvolatility)的測度將會面臨非常嚴重的測量誤差和噪聲(measurementerrorandnoise),而使用基于交易日內(nèi)高頻收益數(shù)據(jù)(intradailyhigh-frequencyreturn)的實現(xiàn)波動率(RV)作為日波動率的測度,將大大降低這些誤差和噪聲對真實潛在波動率過程(underlyingvolatilityprocess)的影響.最近,Andersen等的研究進一步指出,從根本上講,由于潛在真實的市場波動率是不可觀測的(unobservable),因此目前公認的方法是用基于高頻收益數(shù)據(jù)的實現(xiàn)波動率來作為市場真實波動率的代理變量(proxy)和測度基準(benchmark).根據(jù)AndersenandBollerslev的定義,對第t天的實現(xiàn)波動率的估計表示為第t天內(nèi)的高頻收益平方和,即RV′t=48∑d=1R2t,d(3)但最近HansenandLunde的研究又指出,由于股票市場并不象外匯市場那樣在24h連續(xù)進行交易,因此,能觀察和記錄到的高頻股價數(shù)據(jù)只能反映有交易時段的(active)市場波動狀況,而無法包含無交易時段的(inactive)市場波動信息(即股票市場從收盤到第二天開盤的所謂“close-to-open”波動率).因此為了使實現(xiàn)波動率的估計更加準確地刻畫全天的市場波動率大小,采用HansenandLunde的建議,用某種尺度參數(shù)(scaleparameter)γ來對RV′進行尺度變換,即對第t天的實現(xiàn)波動率估計為RVt=γ·RV′t(4)其中γ=Ν-1Ν∑t=1R2tΝ-1Ν∑t=1RV′t(5)Andersen等的研究又發(fā)現(xiàn),在取自然對數(shù)以后,對數(shù)實現(xiàn)波動率(以下簡記為lnRV)的波動特征可以用一種高斯動力學過程(Gaussiandynamicprocess)來描述,同時lnRV展現(xiàn)出明顯的長期記憶性(longmemory)特性.為此,Andersen等又建議采用自回歸分整移動平均過程ARFIMA來描述lnRV的上述動力學特性.考慮到不同滯后階數(shù)的ARFIMA(p,d,q)模型對lnRV的估計結(jié)果非常接近,同時結(jié)合模型估計的AIC(Akaike’sInformationCriterion)大小比較,這里采用ARFIMA(1,d,1)模型來為lnRV建模.ARFIMA(p,d,q)模型的一般形式為Φ(L)(1-L)d(Y-μ)=Θ(L)εt(6)其中Φ(L)=1-?1L-?2L2-…-?pLp,Θ(L)=1+θ1L+θ2L2+…+θqLq分別為自回歸滯后p階算子以及移動平均滯后q階算子,L為滯后算子,(1-L)d為分數(shù)差分算子,μ是Y的均值,同時這里假定εt～NID(0,σ2ε).2.2多分形譜法與2.1節(jié)中對實現(xiàn)波動率(RV)的估計方法不同,本節(jié)提出的多分形波動率測度(MFV)的構(gòu)建并非基于高頻收益率Rt,d,而是基于高頻股價數(shù)據(jù)It,d本身.即首先通過高頻股價數(shù)據(jù)來計算一天當中的市場波動多分形譜(multifractalspectrum,記為f(α)),再從多分形譜f(α)中計算MFV,具體計算過程如下:步驟1參照文獻的方法,即用“數(shù)盒子”(box-counting)的方法來計算每天市場波動的多分形譜.假定整個交易日的時間長度為標準化的1,則無重復均勻覆蓋這48個高頻股價數(shù)據(jù)的“盒子長度”(δ<1)可以分別取1/48,1/24,1/16,1/12,1/8,1/6,1/4,1/3,1/2和1.舉例來說,當取無重復覆蓋的盒子長度為1/8時,就表明可以用8個這樣的盒子無重復的覆蓋住每天產(chǎn)生的這48個交易數(shù)據(jù),其中每個盒子中的數(shù)據(jù)個數(shù)為48/8=6個.步驟2當取盒子長度為δ時,假定覆蓋每天48個高頻股價數(shù)據(jù)需要m個盒子(這里為了公式表述的清晰,另記一天當中的高頻股價數(shù)據(jù)為I(t),t=1,2,…,48),且每個盒子內(nèi)有n個數(shù)據(jù)記錄,那么定義在第i個盒子上的指數(shù)概率測度為Ρi(δ)=n∑j=1Ι(ij)48∑t=1Ι(t),i=1,2,?,m(7)其中,I(ij)表示第i個盒子中的第j個指數(shù).根據(jù)文獻中的相關(guān)定義,則有以下的冪律關(guān)系(power-law)存在Pi(δ)～δα(8)Nα(δ)～δ-f(α)(9)其中,Nα(δ)表示具有相同H?lder指數(shù)α的長度為δ的盒子個數(shù).然后,通過以下的“分割函數(shù)”-Sq(δ)來計算多分形譜f(α),其中Sq(δ)=m∑i=1pqi(δ)(10)同樣,根據(jù)文獻中的相關(guān)結(jié)論,Sq(δ)同樣滿足以下形式的冪律關(guān)系Sq(δ)～δτ(q)(11)可以看到,當q取正數(shù)時,q越大,則Sq(δ)將主要反映的是那些具有大的概率測度的盒子的信息;反之,當q取負數(shù)時,q越小,則Sq(δ)將主要反映的是那些具有小的概率測度的盒子的信息.在實際計算時,q的取值范圍大小以α和f(α)達到飽和值為準.τ(q)的值可以通過求取在雙對數(shù)坐標軸lnSq(δ)-lnδ上的直線斜率得出,并且通過Legendre變換可以得到α=dτ(q)dq(12)f(α)=αq-τ(q)(13)運用上面的方法,以2004年2月4日和2004年2月5日的連續(xù)兩個交易日的上證綜指為例,計算了其對應的價格波動多分形譜,如圖1所示.其中,圖1的(a)、(b)兩圖分別表示的是兩天當中的上證綜指的高頻價格走勢,而(c)、(d)兩圖分別是兩天的上證綜指的多分形譜f(α),其分布的H?lder指數(shù)α的最大和最小值分別用αmax和αmin表示.圖1中多分形譜表現(xiàn)出的顯著弓形表明,上證綜指的價格波動確實展現(xiàn)出明顯的多分形特征.同時,可以看到,不同的高頻價格波動形式和波動幅度對應著不同的多分形譜形狀和大小.因為每個指數(shù)價格盒子的概率測度Pi(δ)～δα,所以這個概率測度的大小反映的就是盒子當中指數(shù)價格的高低水平.同時注意到δ<1,所以αmax和αmin分別代表最小概率測度和最大概率測度盒子的測度值.顯然,αmax表示的是一天當中市場價格波動的相對最低位,而αmin則表示的是一天當中市場價格波動的相對最高位.因此,Δα=αmax-αmin越大(即多分形譜的寬度越大),則表明當天價格走勢的分布越不均勻,即當天價格波動的幅度越大,波動越劇烈,即Δα是一種能夠測度市場日波動率大小的定量描述指標.同樣,根據(jù)2.1節(jié)的討論,為了使多分形波動率MFV的估計更加準確地刻畫全天的市場波動率大小,這里仍然采用如公式(5)所定義的尺度參數(shù)(scaleparameter)γ來對第t天的多分形波動率測度進行尺度變換,不同的是將公式(5)中的分母變換為Δα的平均值.下面,正式定義第t天的多分形波動率(multifractalvolatility)為MFVt=γ·Δαt(14)圖2是樣本區(qū)間內(nèi)的日收益率Rt、實現(xiàn)波動率估計RV以及多分形波動率MFV的分布狀況.從圖中不難看出,直觀上來講,無論是實現(xiàn)波動率RV還是多分形波動率MFV,都很好地刻畫了日收益率的波動狀況,并且提出的MFV與作為波動率測度基準的RV具有非常相似的波動率刻畫.進一步的考慮,由于ARFIMA(p,d,q)對不同類型時間序列的動力學特征都具有很強的刻畫能力,同時很多常見的時間序列模型如自回歸模型AR(p)、自回歸移動平均模型ARMA(p,q)以及自回歸單整移動平均模型ARIMA(p,d,q)等都可以視為ARFIMA(p,d,q)模型的特例,因此,與對數(shù)實現(xiàn)波動率(lnRV)的建模一樣,假定多分形波動率的對數(shù)形式(以下簡記為lnMFV)仍然服從一個ARFIMA(1,d,1)過程,具體形式如2.1節(jié)中的公式(6)所示.3基于廣義自回歸條件異方差異波動的率模型在金融計量研究當中,除了2.1節(jié)介紹的實現(xiàn)波動率模型以外,還有2類普遍使用的市場波動率模型,即Bollerslev的廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)以及Taylor的隨機波動模型(stochasticvolatilitymodel,SV).這兩類波動率模型的構(gòu)建并不依賴于高頻數(shù)據(jù),而主要是基于日收益數(shù)據(jù),下面分別簡要介紹之:3.1隨機波動模型GARCH模型是目前金融計量研究當中運用最為廣泛的波動率模型之一,該模型假定金融資產(chǎn)的(日)收益率滿足以下的離散形式Rt=μt+εt=μt+σtzt(15)其中μt是收益波動的條件均值(conditionalmean),σ2t是條件方差(conditionalvariance),而假定新生量(innovation)zt滿足:zt～NID(0,1)2.3.2隨機波動模型(SV)Taylor在1986年提出了著名的隨機波動模型(SV),與3.1節(jié)討論的GARCH模型不同的是,SV模型假定金融收益的條件方差σ2t是不可觀測的(unobservable),且其服從以下的隨機過程σ2t=σ*2exp(ht)(17)其中,不可觀測的對數(shù)波動率(log-volatility)ht則滿足ht=?ht-1+σηηt-1(18)且假定ηt～NID(0,1),h1～NID(0,σ2η/(1-?2)).由于在SV模型當中,條件方差是一個不可觀測的變量,很難計算出其精確的似然函數(shù),因此對SV模型進行參數(shù)估計存在著較大困難.近年來,眾多學者提出了很多不同類型的估計方法,逐步克服了SV模型參數(shù)估計的困難,使得SV模型逐漸成為了一種與GARCH模型一樣被廣泛使用的波動率模型.有關(guān)SV模型及其多變量形式擴展的技術(shù)細節(jié)可以參見Shephard的深入研究,另外,對SV模型的實證估計方法中涉及的模擬極大似然估計以及Kalman濾波等技術(shù)可以參見SandmannandKoopman的研究.4預測波動率的方法和參數(shù)測試4.1重新估計,實現(xiàn)市場波動率預測在本文的實證研究當中,對上面討論的4種波動率模型進行了所謂的“樣本外預測能力檢驗”(testsforout-of-samplepredictingability).預測方法具體如下:步驟1將數(shù)據(jù)樣本總體(t=1,2,…,N=1849)劃分為“估計樣本”(Sampleforestimation)和“預測樣本”(Sampleforforecasting)兩部分.其中,估計樣本包含H=1666個交易日的數(shù)據(jù)(1999年1月19日至2005年12月30日),而預測樣本包含最后183個交易日的數(shù)據(jù)(2006年1月4日至2006年10月10日,即t=H+1,H+2,…,H+M,其中M=183).步驟2選取t=1,2,…,H的數(shù)據(jù)作為第一次的估計樣本,分別對上述各種波動率模型的參數(shù)進行估計,然后在此估計基礎(chǔ)之上,運用遞推法獲得未來1天的波動率預測,記為?σ2Η+1.也就是說,?σ2Η+1是在前面1666個樣本數(shù)據(jù)的模型估計基礎(chǔ)上對第1667天的市場波動率預測.步驟3保持估計樣本的時間區(qū)間長度不變(H=1666),將估計樣本時間區(qū)間向后平行移動1天,即第2次選取的是t=2,3,…,H+1的數(shù)據(jù)樣本作為新的估計樣本,然后重新估計上述各類波動率模型的參數(shù),并在此新的估計模型基礎(chǔ)上獲得未來1天的市場波動率預測,記為?σ2Η+2.步驟4同理,不斷重復步驟3,可以得到?σ2Η+3,?σ2Η+4,?σ2Η+5,?直到最后一次的估計樣本區(qū)間為t=M,M+1,…,H+M-1,以獲得對最后一天,即第t=N=H+M=1849d的市場波動率預測?σ2Η+Μ.簡言之,對前面討論的每一種波動率模型,分別重復進行了183次的模型估計,從而得到了每個模型的183個未來1天的市場波動率預測值,記為?σ2m?m=Η+1,Η+2,?,Η+Μ.同時,記預測樣本區(qū)間的實現(xiàn)波動率估計為RVm,m=H+1,H+2,…,H+M.這里對RVm的估計方法來自于2.1節(jié)的說明,并以此作為真實市場波動率的代理(proxy),用以衡量各類波動率模型的預測精度.4.2將低風險波動率模型作為檢驗標準的基礎(chǔ)模型有了以上所討論的4類波動率模型及其對市場波動率的預測?σ2m以后,就可以比較這些預測值與真實市場波動率估計基準——RVm的偏差(或損失)究竟有多大了.然而需要說明的是,到目前為止,學術(shù)界還不清楚用哪一種損失函數(shù)(lossfunction)作為衡量預測偏差的標準最為合理.因此,HansenandLunde建議,可以盡可能多地采用不同形式的損失函數(shù)來作為預測模型精度的判斷標準.基于這樣的考慮,在實證研究當中,采用了6種不同的損失函數(shù)來分別作為各類波動率模型預測精度的評判標準.這6種損失函數(shù)分別標記為Li,i=1,2,…,6,其中L1和L2分別稱為平均誤差平方(meansquarederror,MSE)和平均絕對誤差(Meanabsoluteerror,MAE),它們是此類判斷中最常用的兩類損失函數(shù)形式.L3和L4分別是經(jīng)異方差調(diào)整的MSE和MAE(heteroskedasticadjustedMSEandMAE),而限于篇幅,對L5和L6的具體含義討論可以參考HansenandLunde的深入討論.各損失函數(shù)的具體定義為L1∶ΜSE=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1(RVm-?σ2m)2(19)L2∶ΜAE=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1|RVm-?σ2m|(20)L3∶ΗΜSE=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1(1-RVm/?σ2m)2(21)L4∶ΗΜAE=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1|1-RVm/?σ2m|(22)L5∶QLΙΚE=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1(ln(?σ2m)+RVm/?σ2m)(23)L6∶R2LΟG=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1[ln(RVm/?σ2m)]2(24)需要指出的是,如果在一次實證研究中發(fā)現(xiàn):采用某種Li作為判斷標準,得到了模型甲比模型乙的預測損失值小的話,那么我們只能判斷:“在這樣一個特定的數(shù)據(jù)樣本中,采用這一特定的損失函數(shù)Li時,模型甲比模型乙的預測精確度高”.很明顯,這一判斷是不穩(wěn)健的,且無法推廣到其它類似的數(shù)據(jù)樣本或者其它的損失函數(shù)判斷標準3.為了解決這一問題,HansenandLunde提出了一種所謂的“高級預測能力檢驗法”(superiorpredictiveability,SPA).他們的研究證明,因為采用了所謂的“自舉法”(bootstrap),SPA檢驗比類似的White提出的realitycheck(RC)檢驗法具有更加優(yōu)異的模型判別能力,且SPA檢驗的結(jié)論具有更好的穩(wěn)健性(robustness).也就是說,與基于一個單一樣本的其它檢驗法相比,SPA得到的檢驗結(jié)論更加可靠,且其得到的結(jié)論可以推廣到其它類似的數(shù)據(jù)樣本當中去.SPA檢驗的實現(xiàn)過程如下:首先,假定有J+1種不同的波動率模型,記為Mk,k=0,1,…,J.每種波動率模型Mk得到的未來1天的波動率預測記為?σ2m,k,其中m=H+1,H+2,…,H+M.對每一個預測值,都可以計算公式(19)—(24)所定義的6種損失函數(shù)值,記為Li,m,k,其中i=1,2,…,6.下面,用M0表示作為SPA檢驗的基礎(chǔ)模型(basemodel,即用該模型作為與其它模型的預測表現(xiàn)進行對比檢驗的基礎(chǔ)),因此,對于其它的k=1,2,…,J種波動率模型,可以計算其相對于基礎(chǔ)模型M0的“相對損失函數(shù)值”(relativelossfunction),記為Xk,m=Li,0,m-Li,k,m(25)現(xiàn)在感興趣的問題是:是否在k=1,2,…,J的模型Mk當中有比基礎(chǔ)模型(M0)表現(xiàn)更加優(yōu)異的模型呢?為了得到這一問題的答案,首先可以定義這樣的零假設H0:“與其它模型Mk相比,基礎(chǔ)模型M0是表現(xiàn)最好的預測模型.”這一零假設可以用數(shù)學表達式表示為maxλk=E(Xk,m)≤0;k=1,2,…,J(26)HansenandLunde證明了這一假設檢驗的檢驗統(tǒng)計量可以表示為Τ=max√ΜˉXk?ωkk;k=1,2,…,J(27)其中ˉXk=Μ-1Η+Μ∑m=Η+1Xk,m,?ω2kk=var(√ΜˉXk)(28)為了獲得公式(27)的T檢驗量的分布狀況及其p值,HansenandLunde建議可以采用一種所謂的“自舉法”(Bootstrapprocedure)來取得.首先,需要獲得一個長度為M的Xk,m新樣本.要獲得這樣一個樣本,則先要從{Xk,m}的集合當中隨機抽取一個新的子樣本(Newsubsample),而該子樣本的長度則來自一個服從均值為q的幾何分布(geometricdistribution)的隨機數(shù),同時控制這些子樣本的組合長度為所要求的M.重復這樣的bootstrap過程B次,可以獲得B個長度為M的Xk,m新樣本,記為Xik,m,i=1,2,…,B.在后面的實證研究當中,選取q=0.5和B=1000次作為這一bootstrap過程的控制參數(shù).對每一個bootstrap樣本的均值表示為ˉXik=Μ-1Μ∑m=1Xik,m;i=1,2,…,B(29)而所有B個bootstrap樣本均值的方差估計表示為?ωkk=B-1B∑i=1(ˉXik-ˉˉXk)2;Xˉˉk=B-1∑i=1BXˉki(30)其次,定義Ζˉki為Ζˉki=(Xˉki-Xˉˉk)×Ι{Xˉˉk>-Ak}(31)其中Ak=14Μ-4ω^kk(32)而I(·)是一個指示函數(shù)(indicatorfunction),即當{}中的條件成立時,其取值為1,否則取值為0.最后,可以得到如下的實證統(tǒng)計量Τi=maxΜΖˉkiω^kk;i=1,2,…,B(33)HansenandLunde的研究表明,在式(26)所示的零假設條件下,公式(33)所示的實證統(tǒng)計量收斂于公式(27)所定義的統(tǒng)計檢驗T.因此,該統(tǒng)計檢驗T的p值可以直接從下式得出:p=B-1∑i=1BΙ{Τi>Τ}(34)SPA檢驗的p值越大(越接近于1),則表明越不能拒絕公式(26)所定義的零假設H0:“與其它模型Mk相比,基礎(chǔ)模型M0是表現(xiàn)最優(yōu)的預測模型.”即說明該基礎(chǔ)模型的預測精度越高.5評估結(jié)果表明5.1mfv序列的描述性統(tǒng)計分析表1是對日收益率Rt、收益率平方Rt2、實現(xiàn)波動率估計RV、對數(shù)RV(lnRV)以及多分形波動率MFV和對數(shù)MFV(lnMFV)序列的描述性統(tǒng)計結(jié)果.從表1中可以看到,無論是收益率序列本身,還是各種波動率的測度及其對數(shù)序列,都表現(xiàn)出較為明顯的“有偏”(skewed)和“尖峰胖尾”(leptokurticandfat-tailed)形態(tài),它們的分布都顯著拒絕正態(tài)分布假設,且在滯后20期的范圍之內(nèi),都具有明顯的自相關(guān)特征.5.2lnnfv的動力學模型表2是在樣本總體基礎(chǔ)上(1999年1月19日—2006年10月10日)的各類波動率模型參數(shù)估計結(jié)果.其中,ARFIMA模型的定義如第2節(jié)所示,標準GARCH模型的定義如3.1節(jié)所示,而隨機波動模型(SV)的定義如3.2節(jié)所示.從不同模型估計的lnL、AIC和Q(20)檢驗結(jié)果的比較中,可以清楚地看到,論文采用的ARFIMA(1,d,1)模型,對lnMFV的波動特征具有較好的刻畫能力,這也證明了在2.2節(jié)中對lnMFV的動力學模型假定是合理的.5.3市場波動率基準rv的估計結(jié)果各類波動率模型對未來1天的市場波動率預測方法如4.1節(jié)所示.圖3表示了各種波動模型在預測樣本區(qū)間內(nèi)(m=1,2,…,183)的波動率預測結(jié)果.其中,圖3的(a)圖表示的是ARFIMA-lnRV模型和ARFIMA-lnMFV模型的預測結(jié)果(分別用實線和虛線表示),而對實際市場波動率基準RV的估計則用實心的小方塊表示.類似地,圖3的(b)圖表示的是SV以及GARCH模型的預測結(jié)果.表3是一般的單一樣本預測檢驗結(jié)果,其中6種損失函數(shù)Li的定義如4.2節(jié)所示.表中用粗體加下劃線表示的是在某一損失函數(shù)Li的判斷準則下,得到的最小損失函數(shù)值.從表3的實證結(jié)果可以看到,對所考察的這個單一樣本來說,ARFIMA-lnRV和本文提出的ARFIMA-lnMFV模型是較為合適的波動率模型選擇.具體來講,在6種損失函數(shù)標準下,ARFIMA-lnRV模型有4種獲得了最小損失函數(shù)值,而ARFIMA-lnMFV也有2種得到了最好的預測精度(即HMSE和HMAE:經(jīng)異方差調(diào)整的MSE和MAE).但是正如在4.2節(jié)中所討論的那樣,如果要得到更加穩(wěn)健和適用范圍更廣的結(jié)論,則必須對這一預測結(jié)果進行進一步的SPA檢驗.5.4模型p值的分析表4是SPA檢驗結(jié)果4,表4的第1列表示的是6種損失函數(shù)Li,第2列是被選作基礎(chǔ)模型(Basemodel,M0)的模型名稱,表中數(shù)字為SPA檢驗的p值.p值越大(越接近于1),則表明越不能拒絕公式(26)所定義的零假設H0:“與其它模型Mk相比,基礎(chǔ)模型M0是表現(xiàn)最優(yōu)的預測模型.”這也就是說,在某一損失函數(shù)Li判斷標準下,如果基礎(chǔ)模型M0相對于其它模型的SPA檢驗p值越大,則表明該模型的預測精度越高.反之,如果p值很小(一般為小于10%),則有理由相信,基礎(chǔ)模型M0的表現(xiàn)要劣于所考察的對比模型Mk.從表中的實證結(jié)果可以看出:1)以上證綜指為例,總體來說,基于高頻收益數(shù)據(jù)的ARFIMA-lnRV模型是一種預測精度相當高的波動率模型,但在HMSE和HMAE這兩種經(jīng)過異方差調(diào)整的損失函數(shù)標準下,提出的基于高頻價格數(shù)據(jù)的多分形波動率模型-ARFIMA-lnMFV卻是預測精度最高的波動率模型.具體表現(xiàn)為,在這兩種損失函數(shù)標準下,