基于多分形波動率的樣本外動態(tài)風險價值預測方法

基于多分形波動率的樣本外動態(tài)風險價值預測方法

1中國市場多分形研究現(xiàn)狀由于金融監(jiān)管的快速變化和極端風險，傳統(tǒng)的金融理論無法應用于這一點。無論從哪個角度來看,金融市場都是一個復雜的非線性系統(tǒng)。20世紀九十年代后,一些物理學家開始運用復雜科學豐富的非線性分析工具對金融市場的極端波動現(xiàn)象進行了大膽的探索。在這類被稱為經(jīng)濟物理學(econophysics)的研究中,學者們反復發(fā)現(xiàn),無論是成熟資本市場還是新興資本市場的價格波動都具有明顯的多分形(multifractal)特征。由于傳統(tǒng)的金融理論無法對現(xiàn)實金融市場的各種異常波動現(xiàn)象進行合理的解釋,分形理論之父Mandelbrot在一系列的重要發(fā)表中指出:分形市場分析,特別是多分形分析(multifractalanalysis)可以用簡單方法提煉出很多市場波動的重要統(tǒng)計信息,進而可以改進傳統(tǒng)研究方法對資產(chǎn)定價、風險測度以及投資組合配置的實際效果。正是由于多分形是被用來刻畫復雜對象非均勻和各向異性特征的有力工具,因此近年來,經(jīng)濟物理學的研究工作者們就開始嘗試運用多分形理論來刻畫金融市場中一系列的復雜波動行為了。比方說,很多國外學者的研究發(fā)現(xiàn),股價指數(shù)、匯率、商品市場、交易量以及石油價格等經(jīng)濟變量都具有明顯的多分形特性。近年來,在對中國市場的類似研究中,很多學者同樣證實了多分形現(xiàn)象的普遍性[7,8,9,10,11,12,13,14]。因此,正如Faruk等指出的那樣,金融市場中多分形現(xiàn)象的普遍存在,表明了現(xiàn)有主流波動率研究中的眾多統(tǒng)計推論也許并不具有廣泛的代表性。因此,上述這些已有的工作積累都為我們下一步運用多分形理論來進行金融市場的波動率測度和金融風險管理研究提供了堅實的理論和實證依據(jù)。就目前有關金融市場的多分形研究來看,學者們主要關注的是市場分形結(jié)構(gòu)和市場效率的相關檢驗。但是,如何利用多分形分析產(chǎn)生的豐富定量統(tǒng)計信息來為更加精確的市場波動率和風險測度建模,仍然鮮有創(chuàng)新。最近,魏宇提出了一種基于多分形理論的日波動率測度方法和模型。在此基礎上,魏宇進一步提出了基于這種多分形波動率(multifractalvolatility)的樣本內(nèi)(in-sample)VaR測度方法,并與5種常見的GARCH族模型(即RiskMetrics、GARCH、IGARCH、GJR和EGARCH)進行了VaR測度精度的對比后驗分析(backtesting)。他們的實證結(jié)果表明,與5種常見的GARCH族模型相比,在高風險水平上,基于多分形波動率測度的VaR模型更好的樣本內(nèi)風險測度精度。值得一提的是,為了紀念2003年諾貝爾經(jīng)濟學獎得主之一的Granger教授對時間序列預測方法所作出的杰出貢獻,JournalofEconometrics專門在2006年的第135卷作了一期該研究領域的?？?。在該期編輯的卷首語中寫到,Granger教授最重要的貢獻之一就是,他指出了對計量模型優(yōu)劣的判斷不是看其在樣本內(nèi)對數(shù)據(jù)擬合的好壞,而是要看其樣本外的預測能力。Ashely等,Lo等,Foster等的研究都表明,樣本內(nèi)(in-sample)擬合優(yōu)度的檢驗往往會受到數(shù)據(jù)挖掘偏誤(dataminingbias)的影響,而樣本外(out-of-sample)的滾動預測法則可以規(guī)避此類偏誤所造成的問題。因此,Ashely等指出,僅僅依靠樣本內(nèi)擬合的結(jié)果來推斷計量模型優(yōu)劣的作法是很危險的,那些沒有經(jīng)過樣本外預測驗證的樣本內(nèi)檢驗結(jié)論往往是虛假的(spurious)。因此,在判斷計量模型的優(yōu)劣時,一個有根據(jù)和自然的作法就是依據(jù)其樣本外的預測能力表現(xiàn)。因此,魏宇提出的樣本內(nèi)VaR測度方法并不能給出多分形方法優(yōu)越性的充分證據(jù)?；谝陨险J識,本文在以下三方面進行了有益的擴展:首先,我們運用了更長時間段的數(shù)據(jù)來檢驗多分形VaR模型的穩(wěn)健性;其次,與魏宇采用的樣本內(nèi)VaR測度不同,本文進行的是樣本外的動態(tài)VaR預測分析。因此,本文提出的基于多分形波動率的樣本外VaR預測模型具有更好的實際應用可能性;最后,我們擴大了與多分形模型進行對比的GARCH族模型范圍。具體來講,本文增加了三種能夠描述金融市場波動長記憶(longmemory)特征的GARCH族模型(FIGARCH、FIAPARCH和HYGARCH),而魏宇中采用的各種GARCH模型都無法描述波動的長記憶特征。因此,總的來說,本文擴展并進一步驗證了魏宇的研究方法和結(jié)論,并且提出了基于多分形理論的更具實用性的樣本外VaR預測方法,可以為金融風險管理提供一種新的研究視角。論文結(jié)構(gòu)安排如下:第1部分是對實證研究的高頻數(shù)據(jù)樣本進行說明;第2部分是對上證綜指的多分形譜分析以及多分形波動率測度方法的運用和建模;第3部分介紹了文中用于對比檢驗的幾種線性和非線性GARCH族模型;第4部分是各類波動率模型的VaR計算方法及其后驗分析(backtesting)過程;第5部分是我們的實證結(jié)果;最后是論文的主要結(jié)論和進一步的研究方向。2第t天的貶值本文研究的數(shù)據(jù)樣本為上證綜指(SSEC)從1999年1月19日到2009年4月14日的每5分鐘高頻數(shù)據(jù)(共N=2465個交易日),記為It,d,t=1,2,…,N,d=1,2,…,48,其中It,48表示第t天的收盤價,數(shù)據(jù)來源于“北京大學中國經(jīng)濟研究中心(CCER)股票市場高頻數(shù)據(jù)庫”。上海證券交易所每個交易日9:30分開盤,到11:30分中午休市,然后13:00開盤,到15:00全天收盤,每天共有4個小時(即240分鐘)連續(xù)競價交易時間,因此,采用每5分鐘記錄一個數(shù)據(jù)的方法,每天可以產(chǎn)生48個高頻股價記錄,樣本總體的高頻數(shù)據(jù)量為118,320個。文中第t天的日收益率(dailyreturn)Rt則用相鄰兩個交易日的收盤價計算如下:3時間序列的描述與主流的實現(xiàn)波動率(realizedvolatility)測度不同的是,多分形波動率測度(multifractalvolatility,MFV)的構(gòu)建并非基于高頻收益數(shù)據(jù),而是基于高頻股價數(shù)據(jù)It,d本身。即首先通過一天當中的高頻股價數(shù)據(jù)來計算當天的市場波動多分形譜(multifractalspectrum,記為f(α)),再從多分形譜f(α)中計算MFV,限于篇幅,具體計算過程參見魏宇的描述。圖1是根據(jù)魏宇定義計算得到的從1999年1月19日到2009年4月14日(共N=2465個交易日)的上證綜指日收益率序列Rt、收益率平方序列Rt2以及對應的多分形波動率測度序列MFVt的時序圖。表1則是對上述3個序列的描述性統(tǒng)計結(jié)果。從表1中可以看到,收益率平方序列Rt2以及對應的MFVt序列都表現(xiàn)出顯著的“有偏”(skewed)和“尖峰”(leptokurtic)形態(tài),且在滯后5、10和20天的時間范圍之內(nèi),都具有明顯的自相關特征。因此,可以認為傳統(tǒng)研究中被用作日波動率測度方法之一的Rt2以及我們提出的多分形波動率測度(MFVt)序列中都存在著非常顯著的長記憶(longmemory)特征。另外,表中根據(jù)最小AIC準則確定最優(yōu)檢驗滯后階數(shù)的AugmentedDickeyFuller單位根檢驗以及Phillips-Perron單位根檢驗結(jié)果表明,各序列都顯著拒絕了存在單位根的原假設。因此,我們認為各個序列都是平穩(wěn)(stationary)時間序列,進而可以直接作下一步的分析和計量建模。進一步來說,Andersen等的研究指出,用普通的自回歸移動平均模型(ARMA)將無法準確地描述具有長記憶性(longmemory)的時間序列特征。因此,他們建議采用“自回歸分整移動平均(ARFIMA)模型”來刻畫這類具有長期記憶性時序的動力學特征。同時,考慮到不同滯后階數(shù)的ARFIMA(p,d,q)模型對時間序列的估計結(jié)果非常接近,在后面的實證研究中,我們采用和魏宇相同的ARFIMA(1,d,1)模型來為MFVt序列建模,以下簡記為ARFIMA-MFV。這里,ARFIMA(p,d,q)模型的一般形式為:其中,Yt是待建模的時間序列(文中指MFVt序列),分別為自回歸滯后p階算子以及移動平均滯后q階算子,L為滯后算子,(1-L)d為分數(shù)差分算子,μ是Yt的均值,同時假定εt~NID(0,σε2)。4在金融計量研究中常見的非線性garch族模型GARCH族模型是目前金融計量研究當中運用最為廣泛的波動率模型之一,該模型假定金融資產(chǎn)的(日)收益率滿足以下的離散形式:其中μt是收益波動的條件均值(conditionalmean),σt2是條件方差(conditionalvariance),而假定新生量(innovation)zt滿足:zt~NID(0,1)(限于篇幅,我們這里只討論了假定新生量zt服從正態(tài)分布的情況,當然還可以推廣到假定其服從具有胖尾特征的學生t分布或者廣義誤差分布GED等的情況)。同時由于收益率的條件均值一般很小,因此在我們的實證研究當中假定其為零。GARCH族模型假定日收益率波動的條件方差σt2是可以直接觀測到的(observable),其中最常見的GARCH(1,1)模型則假定條件方差滿足以下形式:隨后為了將金融市場的其它很多典型事實(stylizedfacts)納入GARCH模型的理論框架(如波動的非對稱杠桿效應等),一些學者又發(fā)展出了許多其它類型的非線性GARCH族模型。下面是本文所要考察的其它幾種在金融計量研究中常見的非線性GARCH族模型:其中,I(.)是一個指示函數(shù)(Indicatorfunction),即當()中的條件成立時,其取值為1,否則取值為0。EGARCH(1,1):APARCH(1,1):FIGARCH(1,d,1):FIAPARCH(1,d,1):HYGARCH(1,d,1):上述模型中的ω、α、β、γ、δ、ue788以及d都是未知參數(shù),需要通過極大似然方法對其進行估計和相應的檢驗。限于篇幅,這些參數(shù)的具體經(jīng)濟學含義可以參見Hansen等、龔銳等和其它相關金融計量教科書的討論。另外,在金融風險管理實務界也經(jīng)常采用RiskMetrics模型對條件方差進行建模,其定義為σt2=0.06ε2t-1+0.94σ2t-1。綜上,本文總共要考察8種常見的線性和非線性GARCH族模型(即RiskMetrics、GARCH、GJR、EGARCH、APARCH、FIGARCH、FIAPARCH和HYGARCH),并用它們來與我們前面提出的ARFIMA-MFV模型進行對比檢驗。5預測示例外動態(tài)瓦的模擬方法及其最終測試說明5.1市場風險估計的最優(yōu)估計模型這里首先運用滾動時間窗(rollingtimewindows)的樣本外(out-of-sample)預測法,利用上述各種波動率模型來預測收益率的樣本外條件波動率(σt),進而得到其樣本外的動態(tài)VaR預測,具體步驟如下:(1)將樣本總體(t=1,2,…,N=2465)劃分為“估計樣本”(sampleforestimation)和“預測樣本”(sampleforpredicting)兩部分。其中,本文選取的預測樣本區(qū)間為2006年9月1日~2009年4月14日,即總體樣本的最后635個交易日數(shù)據(jù)。而估計樣本固定包含其緊前的1830個交易日數(shù)據(jù);(2)第一步,選取t=1,2,…,1830的數(shù)據(jù)作為第一個估計樣本,分別對上述各種波動模型進行參數(shù)估計。在此估計基礎之上,獲得樣本外未來1天的條件波動率估計σt,進而得到未來1天的動態(tài)VaR預測。也就是說,第1個樣本外的VaR預測值是在緊前1830個數(shù)據(jù)的基礎上對第1831天的市場風險估計;(3)第二步,保持估計樣本的時間長度不變(1830天),將估計樣本區(qū)間向后平行移動1天,即第2次我們選取的是t=2,3,…,1831的數(shù)據(jù)作為新的估計樣本,然后重新估計各類波動率模型的參數(shù),并在此新的估計基礎上獲得未來1天的VaR預測,即第1832天的市場風險估計;(4)同理,不斷重復步驟(3),我們可以得到從第1833,1834,…直到預測區(qū)間最后1天的動態(tài)VaR預測值。簡言之,對前面討論的9種波動率模型(即RiskMetrics、GARCH、GJR、EGARCH、APARCH、FIGARCH、FIAPARCH、HYGARCH以及ARFI-MA-MFV),在某一分位數(shù)水平上,我們都重復進行了共635×9=5715次不同的模型估計,從而每個模型都獲得了635個未來1天的樣本外VaR預測。我們進一步的考慮是,由于實際金融市場的波動一般都有非對稱性,因此金融資產(chǎn)的多頭頭寸(longposition)和空頭頭寸(shortposition)將會面臨顯著不同的風險狀況。有鑒于此,文中定義多頭頭寸的動態(tài)VaR為(即考察收益分布的左尾風險狀況):同理,定義空頭頭寸的動態(tài)VaR為(即考察收益分布的右尾風險狀況):其中對條件均值μt和條件波動率σt的說明與公式(3)相同,而zp和z1-p分別是某一分布假定下的左尾和右尾p分位數(shù)(限于篇幅,我們這里只考慮了正態(tài)分布的情況,當然還可以推廣到假定其服從具有胖尾特征的學生t分布或者廣義誤差分布GED等的情況)。同時,為了增強研究結(jié)論的可靠性,在后面的Backtesting檢驗中,我們分別考察了5%、2.5%、1%、0.5%和0.25%這5個不同p分位數(shù)上的VaR預測精度。5.2bernauli分布的預測精度為了檢驗上述各類波動率模型的樣本外動態(tài)VaR預測精度,Kupiec提出了一種VaR失敗率(failurerate)的似然比(LR)檢驗法。舉例來說,如果我們計算得到了在5%分位數(shù)水平上的1000個動態(tài)VaR預測值,那么我們將預期:在這段時間當中,實際收益率超過所計算的VaR的次數(shù)應該大約是1000×5%=50次左右。如果實際收益率超過VaR的次數(shù)遠大于或者遠小于50次的話,則都說明用于計算該VaR的波動率模型是不準確的。以多頭VaR為例,為了進行其KupiecLR檢驗,首先需要定義以下的“碰撞序列”(hitsequence)Hitt:它表示的是,如果t時刻的實際收益率超出所估計的t時刻的VaR的話,那么該序列t時刻的取值為1,否則為0。如果用于計算p分位數(shù)水平VaR的波動模型是足夠準確的話,則該“碰撞序列”應該服從概率為p的貝努利(Bernoulli)分布,即可以定義如下的零假設:H0:Hitt~Bernoulli(p)(14)依據(jù)概率論知識,我們可以寫出一個Bernoulli(p)分布的似然函數(shù)L(p):其中T為碰撞序列總長度,T1是序列當中取值為1的發(fā)生個數(shù)總和,T0是序列當中取值為0的發(fā)生個數(shù)總和。Kupiec表明,如果(14)式所示的零假設是正確的話,則可以證明以下的似然函數(shù)比(LR)滿足:這也就是說,在分位數(shù)水平p上,如果所計算的LR檢驗值大于該水平上自由度為1的χ2分布的臨界值的話,則我們應該拒絕原假設H0;反之,則應該接受原假設,即認為所采用的波動率模型是足夠準確的。進一步來講,為了定量比較不同波動模型對VaR的預測精度,我們在考慮拒絕還是接受原假設H0時,所采用的定量判斷標準是對比相應KupiecLR檢驗的P值(P-value,這里采用大寫、粗體的P-value表示,主要是為了與分位數(shù)水平p相區(qū)別)。也就是說,如果某一波動率模型得到的KupiecLR檢驗的P值越大,則說明我們越不能拒絕原假設H0,即表明該波動率模型的VaR預測精度越高。最近,Engle等的研究進一步指出,在檢驗VaR的預測精度時,除了要考察VaR的失敗率(即上面的KupiecLR檢驗)以外,還應該聯(lián)合考察發(fā)生VaR失敗的觀測值之間是否具有相關性。如果VaR失敗觀測值之間具有明顯的相關性,那么對金融機構(gòu)來講,就很有可能會發(fā)生連續(xù)超過VaR的金融損失沖擊,這顯然是我們不愿意看到的。因此,合適的波動率模型所計算的VaR失敗觀測值之間還應該不具有明顯的相關性。為了同時進行VaR失敗率檢驗和不具有相關性檢驗的聯(lián)合假設檢驗(jointtest),Engle等提出了一種名為動態(tài)分位數(shù)回歸(dynamicquantileregression)的檢驗方法,即:首先進行以下的人造回歸(artificialregression):Hitt=Xλ+εt,其中X是一個T×K矩陣,其第1列是一個所有元素為1的列向量,隨后的q列分別是取值為Hitt-1,Hitt-2,…,Hitt-q的列向量,最后的K-q-1列是附加的解釋變量(包括所預測的VaR序列本身)。Engle等證明了,要進行碰撞序列Hitt同時符合失敗率準確和不具有相關性的零假設聯(lián)合檢驗的話,則動態(tài)分位數(shù)檢驗統(tǒng)計量(dynamicquantileteststatistic)應該滿足:,即該檢驗統(tǒng)計服從自由度為K的χ2分布。在后面的實證研究中,我們選擇q=5和K=7,作為動態(tài)分位數(shù)回歸檢驗參數(shù)選擇的標準,即取q等于5個交易日(1個交易周)的時間來作為相關性檢驗的期限。6評估結(jié)果表明6.1殘差序列的相關診斷檢驗表2是在全樣本區(qū)間上(1999年1月19日到2009年4月14日)的各類波動率模型估計結(jié)果。由于RiskMetrics模型的參數(shù)是事前固定的,因此表中沒有報告。同時,表中下半部分是對模型估計殘差序列的相關診斷檢驗(diagnostictest)結(jié)果:從表2上半部分報告的標準差可以看出,幾乎所有波動模型的參數(shù)估計都統(tǒng)計顯著。同時診斷檢驗結(jié)果顯示,各類模型對數(shù)據(jù)的擬合能力并無顯著差異,各類模型都較好地刻畫了條件波動的異方差性(Q2(20)以及ARCH(20)無法拒絕無異方差性的原假設),但原始殘差序列中仍然存在較為顯著的自相關性(Q(20)檢驗顯著拒絕無自相關性的原假設)。但這里需要強調(diào)的是,由于本文探討的是各類模型的樣本外預測能力,因此這里展示的全樣本估計結(jié)果只能提供一些模型擬合優(yōu)劣的粗略判斷,其分析結(jié)論并非本文的關鍵問題所在。6.2var預測精度分析為了清晰起見,圖3展示了其中兩種波動率模型的前200個滾動時間窗的樣本外VaR預測結(jié)果(多頭VaR,分位數(shù)水平取為5%)。它們分別是GARCH(1,1)模型(圖中用實線表示)和ARFIMA-MFV模型(圖中用虛線表示),而收益率的負值則用帶點頭的豎線表示。表3和表4分別是相關模型VaR預測精度的KupiecLR檢驗和動態(tài)分位數(shù)回歸檢驗結(jié)果。表中結(jié)果顯示:(1)從兩種檢驗結(jié)果的第1~8行可以看出,與國內(nèi)大多數(shù)研究的樣本內(nèi)(in-the-sample)VaR檢驗結(jié)果不同,我們的研究發(fā)現(xiàn),總體來講各類線性和非線性GARCH族模型,并未表現(xiàn)出良好的樣本外預測能力。特別是對多頭VaR而言,各種GARCH模型的樣本外預測精度都差強人意(大多數(shù)多頭VaR檢驗的P值都接近或等于0)。因此這一發(fā)現(xiàn)提示我們,即使在樣本內(nèi)表現(xiàn)優(yōu)異,但在進行樣本外的波動率和風險預測時,對上述常用的各類GARCH族模型仍需仔細檢查,謹慎使用。(2)進一步在GARCH族模型內(nèi)部的比較可以發(fā)現(xiàn),各組檢驗1~8行的P值大小顯示:普通的GARCH(1,1)模型在大多數(shù)情況下也獲得了較好的樣本外VaR預測精度。特別是在表3的總共10個分位數(shù)水平上,普通的GARCH(1,1)模型獲得了2個最優(yōu)的預測精度(空頭5%和2.5%水平)。這一現(xiàn)象在表4的動態(tài)分位數(shù)回歸檢驗中同樣有所體現(xiàn)(如表4空頭VaR的各分位數(shù)水平所示)。這一發(fā)現(xiàn)也提示我們,在進行樣本外的風險預測時,與復雜的非線性GARCH模型相比,簡單的線性GARCH模型應該也是一個足夠精確的選擇。然而,需要指出的是,國內(nèi)外學者在對比不同GARCH類模型的波動率以及風險預測精度領域也開展了不少的相關研究。但是,究竟是簡單的線性GARCH模型還是復雜的非線性GARCH類模型更好,并沒有得到統(tǒng)一的結(jié)論。舉例來說,在波動率預測領域,Hansen等以德國馬克對美元匯率以及IBM公司股票收益為樣本,對比了330種不同GARCH類模型的樣本外波動率預測精度。他們的研究表明,簡單的GARCH(1,1)模型具有更好的預測效果。相反的是,Kang等探討了原油市場的GARCH類模型波動率預測效果。他們的研究確發(fā)現(xiàn)非線性的CGARCH和FIGARCH模型具有更好的波動率預測精度。最近,Wei等同樣對原油市場的波動率模型進行了考察。他們的研究發(fā)現(xiàn),沒有哪一種GARCH類模型能在不同的損失函數(shù)和預測區(qū)間上取得一致的最優(yōu)預測效果。各種GARCH類模型在不同的市場、不同的損失函數(shù)和不同的預測區(qū)間上,具有不同的預測精度。另一方面,在VaR預測領域,Angelidis等以5個股價指數(shù)為樣本,探討了多種GARCH類模型對未來一天的VaR預測精度。他們的研究發(fā)現(xiàn),沒有哪一種GARCH類模型能在不同的指數(shù)組合或者單個指數(shù)VaR預測上取得一致的最優(yōu)結(jié)果。So等對15個股價指數(shù)和6個匯率價格的VaR預測研究也得到了與Angelidis等類似的結(jié)論。因此,在我們研究的上證綜指樣本中,雖然發(fā)現(xiàn)簡單的線性GARCH模型具有比復雜的非線性GARCH模型更好的VaR預測精度,但這一結(jié)論僅限于本文的研究對象。對不同的市場和數(shù)據(jù),這一結(jié)論并不具有外部有效性。(3)從兩種檢驗表的第9行結(jié)果可以看出:我們提出的基于多分形理論的ARFIMA-MFV模型獲得了比各類GARCH族模型顯