平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

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《平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算》復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)北師大版

XX交通大學(xué)其次附屬中學(xué)

劉正偉

§5.1平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算

知識(shí)與能力；過(guò)程與方法；情感、態(tài)度、價(jià)值觀；

1.把握向量加法，減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；

2.把握向量數(shù)乘向量的運(yùn)算及其幾何意義，理解向量共線(xiàn)的充要條件；

了解向量共線(xiàn)的含義，理解向量共線(xiàn)判定和性質(zhì)定理。

重點(diǎn)：理解并把握向量的線(xiàn)性運(yùn)算及向量共線(xiàn)的充要條件；難點(diǎn)：向量的線(xiàn)性運(yùn)算及向量共線(xiàn)的充要條件的應(yīng)用。

多媒體課件

啟發(fā)引導(dǎo)式；講練結(jié)合（一）．復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問(wèn)題：前面我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了的向量的有關(guān)概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？學(xué)生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么運(yùn)算

那么我們今天一起回想向量的線(xiàn)性運(yùn)算——板書(shū)課題（二）知識(shí)要點(diǎn)1.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；1

＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)(1)λ(μa)＝(λμ)a；積的運(yùn)算(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向一致；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共線(xiàn)的判定定理a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ.，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線(xiàn)．3.

1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最終一個(gè)向量終→→→——→→

點(diǎn)的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋?＋An－1An＝A1An，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．

→1→→

2．若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP＝(OA＋OB)．

2→→→

3.OA＝λOB＋μO(píng)C(λ，μ為實(shí)數(shù))，點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)?λ＋μ＝1.

題型一平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量的線(xiàn)性運(yùn)算

→→→→→

例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD＝2DC，則AD等于()21A.b＋c3321C.b－c33

52B.c－b3312D.b＋c33

→→

(2)(2023·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若BC＝3CD，則()1→4→→

A.AD＝－AB＋AC

33→4→1→

C.AD＝AB＋AC

33答案(1)A(2)A

2

→1→4→B.AD＝AB－AC

33→4→1→

D.AD＝AB－AC

33

→→→→→→解析(1)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC→→＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

→→→→→→

(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→

即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.

33題型二

根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算求參數(shù)

12→→

例2(1)設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．

→→

(2)在△ABC中，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BC＝3CD，點(diǎn)O在線(xiàn)段CD上(與點(diǎn)C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，則x的取值范圍是()10，?A.??2?1

－，0?C.??2?1

答案(1)(2)D

2

→→→1→2→

解析(1)DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

632→→

(2)設(shè)CO＝y(tǒng)BC，→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)

10，?B.??3?1

－，0?D.??3?

3

→→＝－yAB＋(1＋y)AC.

→→

∵BC＝3CD，點(diǎn)O在線(xiàn)段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，10，?，∴y∈??3?

→→→∵AO＝xAB＋(1－x)AC，1

－，0?.∴x＝－y，∴x∈??3?

思維升華平面向量線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．

(2)求已知向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．

(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行對(duì)比求參數(shù)的值．

如圖，一直線(xiàn)EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩

→2→→1→→→

點(diǎn)，且交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，則λ的值為()

52

2222

A.B.C.D.9753答案A

→2→→1→解析∵AE＝AB，AF＝AD，

52→5→→→

∴AB＝AE，AD＝2AF.

2

由向量加法的平行四邊形法則可知，→→→AC＝AB＋AD，→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)5→→AE＋2AF?＝λ??2?

4

5→→＝λAE＋2λAF，2

2

由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線(xiàn)，可得λ＝，

9應(yīng)選A.

思想方法感悟提高

1．向量的線(xiàn)性運(yùn)算要滿(mǎn)足三角形法則和平行四邊形法則，做題時(shí)，要注意三角形法則

與平行四邊形法則的要素．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)〞；

向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量〞；平行四邊形法則要素

是“起點(diǎn)重合〞．

→→

2．可以運(yùn)用向量共線(xiàn)證明線(xiàn)段平行或三點(diǎn)共線(xiàn)．如AB∥CD且AB與CD不共線(xiàn)，則

→→

AB∥CD；若AB∥BC，則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)

作業(yè)布置練出高分

1.步步高P241-242

2.預(yù)習(xí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示