數形結合教學中的形象思維和抽象思維

數形結合教學中的形象思維和抽象思維

在數學教學中，研究數學和形狀之間的關系非常重要。通過把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,“以形助數”或“以數解形”可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化,從而達到優(yōu)化教學的目的。其“數”與“形”結合,相互滲透,把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合,使代數問題、幾何問題相互轉化,使抽象思維和形象思維有機結合.應用數形結合思想,就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系,既分析其代數意義又揭示其幾何意義,將數量關系和空間形式巧妙結合,來尋找解題思路,使問題得到解決。本文將結合例題淺析數形結合思想的應用。一、數形結合模型函數的圖像可以形象的反映函數的性質,通過觀察圖形可能確定圖像的變化趨勢,對稱性、分布情況等,數形結合,借助于圖像與函數的對應關系,研究函數的性質。例1:f(x)是定義在R是的偶函數,其圖像關于直線x=2對稱,且當x∈(-2,2)時f(x)=-x2+1,則當xx∈(-6,-2)時,求f(x)的表達式。分析:當x∈(-2,2)時,f(x)=-x2+1的函數圖像已知,因為f(x)的圖像關于直線x=2對稱和函數是偶函數,圖像關于y軸對稱,所以可以畫出x∈(-6,-2)的圖像,如圖所示,由圖像可知x∈(-6,-2)的圖像與x∈(-2,2)的圖像一樣,只不過是所在位置不同而已,只要把x∈(-2,2)的圖像向左平移4個單位,就得到x∈(-6,-2)的圖像,由平移性質可得:x∈(-6,-2)時,f(x)=-(x+4)2+1例2:設對于任意實數x∈[-2,2],函數f(x)=1g(3a-ax-x2)總有意義,求實數a的取值范圍。解法1:函數f(x)有意義,則3a-ax-x2>0,即x2+ax-3a<0在x∈[-6,-2)x∈[-2,2]上總成立。設g(x)=x2+ax-3a,即當x∈[-2,2]時,g(x)<0總成立。∴依拋物線y=g(x)的特征,將其定位,有,如圖1所示。解法2:對于不等式3a-ax-x2>0,因為x∈[-2,2],所以3-xε-,不等式可化成∴只要的最大值即可。設t=3-x,x∈,的圖像如圖2所示,可知6+h(x)的最大值為10,故h(x)最大值為4,則a>4。解法1抓住了拋物線的特征,由實數a的不等式組,將拋物線定位,再求解范圍。另外,由于涉及到一元二次方程根的分布,所以又提供了一次數形結合的機會。解法2將實數a從不等式中分離出來,對后邊函數中3-x換元后,利用典型函數圖像直觀地求其最大值,求得a的范圍,體現(xiàn)數形結合的思想,不失為好辦法。例2:設A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且x∈A},C={z|z=x2,且x∈A},若,求實數a的取值范圍。分析:解決本題的關鍵是依靠一元二次函數在區(qū)間上的值域求法確定集合C.進而將用不等式這一數學語言加以轉化.考生在確定z=x2,x∈[2,a]的值域時易出錯,不能分類而論.巧妙觀察圖像將是上策.不能漏掉a<-2這一種特殊情形。解決集合問題首先看清元素究竟是什么,然后再把集合語言“翻譯”為一般的數學語言,進而分析條件與結論特點,再將其轉化為圖形語言,利用數形結合的思想來解決。解:∵y=2x+3在[-2,a]上是增函數∴-1≤y≤2a+3,即B={y|-1≤y≤2a+3}作出z=x2的圖像,該函數定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下:1.當-2≤a≤0時,a2≤z≤4即C{z|z2≤z≤4}要使必須且只須2a+3≥4得與-2≤a<0矛盾;2.當0≤a≤2時,0≤z≤4即C={z|0≤z≤4},要使,由圖可知:必須且只需3.當a>2時,0≤z≤a2,即C={z|0≤z≤a2},要使必須且只需解得2<a≤3;4.當a<-2時,成立。綜上所述,a的取值范圍是二、xx=0的根數學課堂教學中,許多代數問題也可以通過數形結合來解決。如方程f(x)=0的根實際上就是曲線y=f(x)與x軸的交點的橫坐標,方程f(x)-g(x)=0的根實際上就是曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的交點的橫坐標。又如例題:討論1gx=sinx的根的個數＿＿＿＿。設y1=1gx,y2=sinx通過畫出函數圖像,分析有幾個交點,便能很好地解決。平面向量教學中,一個向量可用有向線段來表示,而這樣的有向線段可分解為直角坐標系中x軸、y軸方向上的有向線段之和,而每個方向上的有向線段又都可以用一個數來表示,這樣,向量的運算就可以轉化為坐標的運算,過程更直觀,更簡單,很快計算出結果。如:三、數形結合的運用復數教學中,復數的向量表示三角形的運算,把復數與形進一步結合起來,使復數成為研究幾何、代數的有力工具。用數形結合的方法解題,能最直接提示總是的本質,直觀地看到問題的結果,只需稍加計算或推導,就得得到確切的答案。如:若復數Z滿足|z+i|+|z-i|=2,則|z+i+1|的最小值是()。分析可知,由于|z+i|和|z-i|分別表示復數Z在復平面上的對應點到i和-i之間的距離且有|z+i|+|z-i|=2,所以表示復數Z的點的集合虛軸上點i至-i之間的線段(含端點)。另外,|z+i+1|=|z-(-1-i)|為復數Z在復平面上的對應點到-1-i的距離,通過畫圖可以看出,當Z=-i時,|z+i+1|的最小值是1。此題的常規(guī)解法,雖有可遵循的操作程序,但對解題過程中出現(xiàn)的情況難以預料,對可能發(fā)生的疏漏不易察覺,且解程冗長。而用數形結合的方法,開赴救出問題的本質面貌,只要思考正確,形象清晰,往往很快能看到問題的結果。教學中,數學教師要做好這種“數”與“形”的關系提示與轉化,引導學生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式,以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題