北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 （直角三角形）三角形的證明課件(第1課時(shí))

第一章

三角形的證明直角三角形第1課時(shí)

知識(shí)回顧①直角三角形的兩個(gè)銳角互余.問題1直角三角形的定義是什么？問題2三角形內(nèi)角和的性質(zhì)是什么？有一個(gè)是直角的三角形叫直角三角形.三角形內(nèi)角和等于180°.問題3前面我們探究過直角三角形的哪些性質(zhì)？②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.③在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.你能證明這兩個(gè)結(jié)論嗎？獲取新知知識(shí)點(diǎn)一：直角三角形中的角的關(guān)系想一想(1) 直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系？為什么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？為什么？定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)：三角形內(nèi)角和，你能行的你來給出完整的證明過程吧，試一試?yán)}講解例1

如圖，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE為∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．解：由題意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.∵AE為∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.知識(shí)點(diǎn)二：直角三角形的邊的關(guān)系獲取新知勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.ACB關(guān)于勾股定理的證明，可以欣賞“16頁的讀一讀”，并可以上網(wǎng)搜索，諸如美國第二十任總統(tǒng)的證法、趙爽弦圖法等如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．勾股定理反過來，怎么敘述呢？這個(gè)命題是真命題嗎？為什么？已知：如圖，在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.證明：如圖(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,則A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′

(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因此，△ABC是直角三角形.例題講解例2

已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC邊上的中線AD＝12cm.求證：AB＝AC.解：如圖，因?yàn)锳D是BC邊上的中線，所以BD＝

BC＝×10＝5(cm)．在△ABD中，∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB2＝AD2＋BD2.∴△ABD為直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.獲取新知知識(shí)點(diǎn)三：逆命題與逆定理議一議：觀察上面第一個(gè)定理和第二個(gè)定理，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系？第三個(gè)定理和第四個(gè)定理呢？定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.條件和結(jié)論互換了位置

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.

如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題.命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的條件和結(jié)論為：條件為：兩直線平行.結(jié)論為：內(nèi)錯(cuò)角相等．因此它的逆命題為：原命題都存在逆命題，但是互逆命題的真假無法保證

如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.注意1：逆命題、互逆命題不一定是真命題，但逆定理、互逆定理，一定是真命題.注意2：不是所有的定理都有逆定理.定理“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”逆定理：“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”例題講解例3

指出下列命題的條件和結(jié)論，并說出它們的逆命題.(1)一個(gè)三角形中相等的邊所對(duì)的角相等；(2)等邊三角形的每個(gè)角都等于60°；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.解：(1)條件：一個(gè)三角形有兩條邊是相等的結(jié)論：這兩條邊所對(duì)的角也是相等的.

逆命題：一個(gè)三角形中相等的角所對(duì)的邊相等.(2)條件：一個(gè)三角形是等邊三角形.結(jié)論：它的每個(gè)角都等于60°.

逆命題：如果一個(gè)三角形的每個(gè)角都等于60°，那么這個(gè)三角形是等邊三角形.(3)條件：兩個(gè)三角形是全等三角形.結(jié)論：它們的對(duì)應(yīng)角相等

逆命題：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等.隨堂演練1.在一個(gè)直角三角形中,有一個(gè)銳角等于35°,則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(

)A.75° B.65° C.55° D.45°B2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,點(diǎn)D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=，則BC的長為()D3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是(

)A.∠A+∠B=∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3C.a2=c2-b2D.a∶b∶c=3∶4∶6D4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB,垂足為E,則∠ADE的度數(shù)是

.5.直角三角形的兩邊長為4和5,則第三邊長為

.60°6.如圖所示,在△ABC中,AD是BC邊上的高,BE是一條角平分線,AD,BE相交于點(diǎn)P,已知∠EPD=125°,求∠BAD的度數(shù).解:∵AD是BC邊上的高,∠EPD=125°,∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°.∵BE是一條角平分線,∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°.在Rt△ABD中,∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.7.如圖是一個(gè)機(jī)器零件的示意圖,∠ACD=90°是衡量這個(gè)零件合格的一項(xiàng)指標(biāo).現(xiàn)測得AB=4

cm,BC=3

cm,AD=13

cm,CD=12

cm,∠ABC=90°,根據(jù)這些條件,能否得出∠ACD等于90°?請說明理由.解:能.理由:在Rt△ABC中,∵AB=4cm,BC=3cm,∠ABC=90°,∴AC==5(cm).在△ACD中,∵AD=13cm,CD=12cm,AC=5cm,∴AD2=169,CD2+AC