概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第6講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六講溫故隨機(jī)變量定義：設(shè)X=X(ω)是定義在樣本空間Ω上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X=X(ω)為一維隨機(jī)變量。分類：離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量定義

如果隨機(jī)變量的全部可能取的值只有有限個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。

X取各個(gè)可能值的概率，即事件的概率為（1）稱（1）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：

由概率的定義，式（1）中的應(yīng)滿足以下條件：

隨機(jī)變量X的所有取值隨機(jī)變量X的各個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率模型：一個(gè)人射擊，射中的概率為p，不中的概率為q=1-p.則X分布律為：

X01pkqp規(guī)定：常用的離散型隨機(jī)變量的分布1.兩點(diǎn)分布（0-1分布）模型：n個(gè)人向一目標(biāo)獨(dú)立射擊，射中的概率均為p，不中的概率為q=1-p，用隨機(jī)變量X表示射中目標(biāo)的人數(shù)X01…k…n……則X的分布律為：2.二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量

X

所有可能取的值為:0,1,2,…,而取各個(gè)值的概率為：3.泊松分布其中λ>0是常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為λ的泊松分布,記作X～

P(λ)。電話交換臺(tái)接到的呼叫次數(shù)；公共汽車站到達(dá)的乘車人數(shù)；一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；放射性分裂落在某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，等等

連續(xù)型隨機(jī)變量

X

所有可能取值充滿若干個(gè)區(qū)間。對(duì)這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣,指出其取各個(gè)值的概率，給出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布?！?.3

連續(xù)型隨機(jī)變量例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同。現(xiàn)測(cè)得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長(zhǎng)度(單位:mm)如下:2.3.1頻率直方圖129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。128155作頻率直方圖的步驟(1).先確定作圖區(qū)間（a,b）;a=最小數(shù)據(jù)-ε/2，b=最大數(shù)據(jù)+ε/2，ε是數(shù)據(jù)的精度。本例中

ε=1,a=127.5,b=155.5。(2).確定數(shù)據(jù)分組數(shù)m=7，組距d=(b?a)/m=28/7=4，

(3).計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測(cè)值頻數(shù)

頻率=頻數(shù)/總數(shù)子區(qū)間頻數(shù)頻率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04(4).在各組以組距為底向上作長(zhǎng)方形，使該長(zhǎng)方形的面積等于該組的頻率

，即長(zhǎng)方形的高×組距=頻率，從而“高=頻率÷組距=頻率/4”這樣的圖形稱為頻率直方圖，簡(jiǎn)稱直方圖。由于概率可以由頻率近似，因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫零件長(zhǎng)度的概率分布情況。用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多,分組越來越細(xì)時(shí),直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線,這條曲線稱為隨機(jī)變量X的概率密度曲線，可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況。2.3.2概率密度函數(shù)定義：若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),使隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間(a,b]的概率可表示成則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度。這兩條性質(zhì)是判定函數(shù)f(x)是否為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件。密度函數(shù)的性質(zhì)f(x)與

x

軸所圍面積等于1。

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則=f(x)，(3).對(duì)

f(x)的進(jìn)一步理解：故,

X的概率密度函數(shù)f(x)在x這一點(diǎn)的值,恰好是X落在區(qū)間[x,x

+△x]上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度△x之比的極限。這里,如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。需要注意的是：概率密度函數(shù)f(x)在點(diǎn)

a

處取值，不是事件{X

=a}的概率。但是，該值越大，X在

a

點(diǎn)附近取值的概率越大。(4).連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概率為0.即：a為任意給定值。這是因?yàn)椋河纱说?，◎?qū)B續(xù)型隨機(jī)變量X,有在幾何上，它表示隨機(jī)變量X落在實(shí)數(shù)x左邊的概率定義

分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，其定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)軸。2.3.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)(1).a<b,總有F(a)≤F(b)(單調(diào)非減性)；(2).

x

R，總有0≤F(x)≤1(有界性)，且證明：僅證(1)。因

{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a}，而{X≤a}

{X≤b}，所以

P{a<X≤b}=P{X≤b}-

P{X≤a}=F(b)-

F(a).又，因P{a<X≤b}≥0，故F(a)≤F(b).注意：上述證明中我們得到一個(gè)重要公式:

P{a<X≤b}=F(b)-F(a).它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b]上的概率可以通過分布函數(shù)來計(jì)算。例1-101???由概率的有限可加性分布函數(shù)為：解設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

pk=P{X=xk},k=1,2,…,

X的分布函數(shù)為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

F(x)

在X=xk(k=1,2,…)處有跳躍值

pk=P{X=xk}，如下圖所示。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。由上式，得：在f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是X的密度函數(shù)，F(xiàn)(x)是X

的分布函數(shù)，則對(duì)任意x∈R，總有例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度2.3.3常見的連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布、指數(shù)