第09章 雙變量回歸與相關(guān)(正式)

1雙變量回歸與相關(guān)BivariateRegression&Correlation第9章2講課內(nèi)容：

第一節(jié)直線回歸(重點(diǎn))

第二節(jié)直線相關(guān)(重點(diǎn))

第三節(jié)秩相關(guān)第六節(jié)兩條回歸直線的比較第七節(jié)曲線擬合3第2、第3、第4章介紹了單變量計(jì)量資料的統(tǒng)計(jì)描述與統(tǒng)計(jì)推斷：P.13

例2-1：計(jì)算101名成年女子血清總膽固醇的平均指標(biāo)與變異指標(biāo)。P.51

例3-7：比較阿卡波糖膠囊(試驗(yàn)組)與拜糖蘋膠囊(對(duì)照組)降低糖尿病人的空腹血糖值

有無差別。P.73例4-2：比較安慰劑組、降血脂新藥2.4g

組、降血脂新藥4.8g組、降血脂新藥7.2g組降低患者的低密度脂蛋白含量有無差別。4在醫(yī)學(xué)研究中常要分析兩變量間或多變量間的關(guān)系：年齡與血壓藥物劑量與動(dòng)物死亡率肺活量與身高、體重、胸圍和肩寬等．．．5事物間的相關(guān)關(guān)系確定性關(guān)系兩變量間的函數(shù)表達(dá)式

圓的周長(zhǎng)與半徑的關(guān)系：C＝2R

路程與速度、時(shí)間的關(guān)系：L＝ST

數(shù)學(xué)中X與Y的直線函數(shù)關(guān)系：Y＝a+bX

非確定性關(guān)系

兩變量間存在關(guān)系，但未精確到可以用函數(shù)表達(dá)式來描述。

年齡與血脂的關(guān)系；身高與體重的關(guān)系；體重與體表面積的關(guān)系。6第一節(jié)直線回歸LinearRegression7一、直線回歸的概念“回歸”是一個(gè)借用已久因而相沿成習(xí)的統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語。直線回歸是分析成對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)中兩變量間線性依存關(guān)系的方法。8生物遺傳學(xué)上的“回歸”

PearsonK(英,1857～1936)1903年搜集了1078個(gè)家庭人員的身高、前臂長(zhǎng)等指標(biāo)的記錄，發(fā)現(xiàn)兒子身高(Y,英寸)與父親身高間(X,英寸)存在線性依存關(guān)系：

=33.73+0.516X

但不少身材高的父親的兒子成年后身高比其父親矮，不少身材矮的父親的兒子成年后身高比其父親高。GaltonF(英,1822～1911)將這種現(xiàn)象稱之為子一代身高向人群平均身高的“回歸”。9Regression釋義10FrancisGaltonFrancisGalton爵士(英,1822～1911)是達(dá)爾文(CharlesDarwin)的表弟。他對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是提出“相關(guān)”與“回歸”的概念，用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)進(jìn)化論中的變異進(jìn)行研究，開創(chuàng)了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)。11KarlPearsonKarlPearson(英,1857～1936)是FrancisGalton的得意門生，他開創(chuàng)了統(tǒng)計(jì)方法學(xué)。他對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要貢獻(xiàn)：變異數(shù)據(jù)的處理、分布曲線的選配、卡方檢驗(yàn)的提出、回歸與相關(guān)的發(fā)展。12天文學(xué)上的“回歸”地球繞太陽公轉(zhuǎn)，在公轉(zhuǎn)的同時(shí)本身還自轉(zhuǎn)，在本身自轉(zhuǎn)的同時(shí)地球的假設(shè)軸心還來回?cái)[動(dòng)。由于地球軸心的來回?cái)[動(dòng)，太陽光垂直照射到地球上就有南、北兩個(gè)極限位置(南、北緯23027’)，分別稱南、北回歸線，太陽光對(duì)赤道“回歸”垂直照射到南、北回歸線的時(shí)間分別為我國農(nóng)歷的冬至與夏至。

13日常生活中的“回歸”現(xiàn)象

1歲姜二狗，7歲姜二狗同學(xué)，20歲小姜同志，30歲姜科長(zhǎng)，40歲姜處長(zhǎng)，50歲姜局長(zhǎng)，60歲姜老，70歲老姜，80歲姜二狗。

目前“回歸”已成為表示變量之間數(shù)量依存關(guān)系的統(tǒng)計(jì)術(shù)語，并且衍生出“回歸方程”、“回歸系數(shù)”等統(tǒng)計(jì)學(xué)概念。14例某地方病研究所調(diào)查了8名正常兒童的尿肌酐含量(mmol/24h),試估計(jì)尿肌酐含量(Y)對(duì)其年齡(X)的回歸方程。15年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)hat16各散點(diǎn)呈直線趨勢(shì)但并非均在一條直線上根據(jù)原始數(shù)據(jù)擬合的直線方程與數(shù)理上二元一次函數(shù)方程在內(nèi)涵上有區(qū)別，稱為直線回歸方程。17二、直線回歸方程的求法最小二乘法在所有直線中最小18年齡（歲）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)(8,2.8)(12,3.3)19b的意義斜率(slope)

年齡每增加1歲,尿肌酐含量平均增加0.1392(mmol/24h)b的單位為(Y的單位/X的單位)20a截距(intercept,constant)X=0時(shí)，Y的估計(jì)值a的單位與Y值相同當(dāng)X可能取0時(shí)，a才有實(shí)際意義。a的意義21回歸直線的有關(guān)性質(zhì)直線通過均點(diǎn)各點(diǎn)到該回歸線縱向距離平方和較到其它任何直線者為小。

為來自的一個(gè)樣本對(duì)于X各個(gè)取值，相應(yīng)Y的總體均數(shù)22XY23三、直線回歸方程中的統(tǒng)計(jì)推斷（一）回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)1.方差分析（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0:β=0H1:β≠0α=0.05的分解重點(diǎn)24因變量Y總變異的分解X

Y

Y25SS總=SS回+SS殘26未引進(jìn)回歸時(shí)的總變異：

(sumofsquaresofdeviationfrommean)引進(jìn)回歸以后的剩余變異:

(sumofsquaresofresiduals)回歸的貢獻(xiàn)，回歸平方和：

(sumofsquaresduetoregression)Y的總變異分解27

(3)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值SS總=lYY=1.0462

SS回=blXY=l2XY/lXX=5.8452/42=0.8134SS殘=SS總－SS回=1.0462－0.8134=0.2328v總=v回+v剩v總=n－1,v回=1,v殘=n－228F0.01(1,6)=13.74292.t檢驗(yàn)回歸的剩余標(biāo)準(zhǔn)差扣除了X的影響后Y方面的變異;引進(jìn)回歸方程后,Y方面的變異。30（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)（3）確定P值下結(jié)論

31

（二）總體回歸系數(shù)

的可信區(qū)間此區(qū)間不包括β=0，結(jié)論為b有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。32

（三）利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)與預(yù)測(cè)1.總體均數(shù)的可信區(qū)間:給定X后對(duì)應(yīng)Y的總體均數(shù)給定X后對(duì)應(yīng)Y的樣本均數(shù)332.個(gè)體Y值的容許區(qū)間

給定X后對(duì)應(yīng)個(gè)體Y值波動(dòng)范圍34

XY(體重,kg)(體表面積,103cm2) 11.0 5.283 11.8 5.299 12.0 5.358 12.3 5.292 13.1 5.602 13.7 6.014 14.4 5.830 14.9 6.102 15.2 6.075 16.0 6.411例某地10名三歲兒童體重與體表面積351112131415164.55.05.56.06.57.0可信區(qū)間與容許區(qū)間示意

(confidenceband&toleranceband)X體重Y體表面積36第二節(jié)直線相關(guān)LinearCorrelation37生物遺傳學(xué)上的“相關(guān)”在回歸分析中，有理由認(rèn)為父親身高決定兒子身高，故把父親身高作為自變量X，兒子身高作為應(yīng)變量Y。PearsonK(英,1857～1936)在對(duì)同一家庭中兄弟與姐妹身高間關(guān)系進(jìn)行分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩者難以象父親與兒子身高間關(guān)系那樣區(qū)別自變量X與應(yīng)變量Y，也不必計(jì)算回歸方程。GaltonF(英,1822～1911)將這種現(xiàn)象稱之為“相關(guān)”。38

當(dāng)一個(gè)變量增大，另一個(gè)也隨之增大(或減少)，我們稱這種現(xiàn)象為共變，或相關(guān)。兩個(gè)變量有共變現(xiàn)象，稱為有相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系。一、直線相關(guān)的概念39相互關(guān)系示意圖r=0(h)r＝0(f)r＝-1(d)r＝1(b)0<r<1(a)-1<r<0(c)r

0(e)r

0(g)零相關(guān)正相關(guān)負(fù)相關(guān)完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)零相關(guān)零相關(guān)零相關(guān)40相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)兩變量間的線性關(guān)系密切程度與相關(guān)方向用直線相關(guān)系數(shù)r表示。－1≤r≤1r＞0為正相關(guān)r＜0為負(fù)相關(guān)r＝0為零相關(guān)或無相關(guān)41二、相關(guān)系數(shù)的意義與計(jì)算

Pearson相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差4243三、相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷（一）相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)蚣◆颗c年齡之間無直線相關(guān)關(guān)系44附表2附表1345（二）總體相關(guān)系數(shù)的可信區(qū)間相關(guān)系數(shù)的抽樣分布在≠0時(shí)呈偏態(tài)分布Z的1-α可信區(qū)間：變換后r的1-α可信區(qū)間：Z變換后服從正態(tài)分布46相關(guān)系數(shù)的抽樣分布

(||=0.8，n=100，1000次抽樣)-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0

00.20.40.60.81.00100200300

=-0.8

=0.847R.A.Fisher(1921)的z變換

z近似服從均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。

48相關(guān)系數(shù)的z變換值的抽樣分布(=-0.8)00.51.01.52.0050100150200-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0變換前變換后49相關(guān)系數(shù)的z變換值的抽樣分布(=0.8)

01234050100150200

00.20.40.60.81.00100200300變換前變換后50相關(guān)系數(shù)的可信區(qū)間估計(jì)1.將r變換為z。2.根據(jù)z服從正態(tài)分布，估計(jì)z的可信區(qū)間。3.再將z變換回r。51求得8名健康成人血清總膽固醇與低密度脂蛋白膽固醇含量間的r=0.974，試求總體相關(guān)系數(shù)ρ的95%可信區(qū)間?？傮w相關(guān)系數(shù)ρ的95%可信區(qū)間：（0.85870.9954）z的95%可信區(qū)間：

52四、決定系數(shù)0﹤R2﹤1

Y的總變異中回歸關(guān)系所能解釋的百分比年齡可解釋尿肌酐含量變異性的77.75%53五、直線回歸與直線相關(guān)的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別

r沒有單位，b有單位；相關(guān)表示相互關(guān)系，沒有依存關(guān)系；回歸有依存關(guān)系；對(duì)資料的要求不同：

當(dāng)X和Y都是隨機(jī)的，可以進(jìn)行相關(guān)和回歸分析；

當(dāng)Y是隨機(jī)變量，X是控制變量時(shí)，理論上只能作回歸而不能作相關(guān)分析；54

區(qū)別

I型回歸：Y是隨機(jī)變量，X是控制變量；

II型回歸：Y與X均是隨機(jī)變量。同一資料中由X推算Y與由Y推算X的回歸方程不同：55

聯(lián)系均表示線性關(guān)系符號(hào)相同：共變方向一致假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果相同：tr=tb

可以互相換算：

56六、直線回歸與相關(guān)應(yīng)用的注意事項(xiàng)相關(guān)：X與Y沒有主次，為雙向?；貧w：Y依X變化而變化，為單向。自變量的選擇：原因、容易測(cè)量、變異小要有實(shí)際意義。1.根據(jù)分析目的選擇變量及統(tǒng)計(jì)方法57孩子的身高與小樹的高度間顯示出顯著的相關(guān)性58有無異常點(diǎn)，謹(jǐn)慎剔除。2.進(jìn)行相關(guān)、回歸分析前要繪制散點(diǎn)圖，進(jìn)行判斷59離群值對(duì)相關(guān)的影響60樣本的間雜性對(duì)相關(guān)性的誤導(dǎo)613.用殘差圖考察數(shù)據(jù)是否符合模型假設(shè)條件Y與X為線形關(guān)系誤差服從均數(shù)為0的正態(tài)分布方差相等各觀察單位獨(dú)立回歸模型應(yīng)用前提條件：62e0630000eeee離群值缺乏二次項(xiàng)方差不齊不獨(dú)立64P值越小越有理由認(rèn)為變量間直線關(guān)系存在，不能說關(guān)系越密切。直線回歸關(guān)系可以內(nèi)插，不宜外延。當(dāng)樣本含量較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)的作用減弱。r0.05/2,100=0.1954.結(jié)果的解釋及正確應(yīng)用65第三節(jié)秩相關(guān)RankCorrelation一、Spearman秩相關(guān)66應(yīng)用條件：1.不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析；2.總體分布類型未知；3.原始數(shù)據(jù)用等級(jí)表示。67死因類別死因構(gòu)成(%)WYPLL構(gòu)成(%)(1)X(2)Y(4)10.030.0520.140.3430.200.9340.430.6950.440.3860.450.7970.471.1980.654.7490.952.31100.965.95112.441.11122.693.53133.073.48147.785.65159.8233.951618.9317.161722.598.421827.969.33合計(jì)——WYPLL:workyearsofpotentiallifelost表9-3某省1995年到1999年居民死因構(gòu)成與WYPLL構(gòu)成68死因類別死因構(gòu)成(%)W