第十一講 圖形變換

第十一講圖形變換

1.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量、矩陣及運(yùn)算2.窗口到視區(qū)的變換3.圖形幾何變換1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矢量矢量和矢量的數(shù)乘矢量的點(diǎn)積性質(zhì)矢量的長(zhǎng)度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積

矩陣階矩陣n階方陣零矩陣行向量與列向量單位矩陣矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的逆

矩陣的含義矩陣：由m×n個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡(jiǎn)稱(chēng)m×n矩陣。A=其中，aij稱(chēng)為矩陣A的第i行第j列元素矩陣運(yùn)算加法設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣A+B=數(shù)乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n乘法設(shè)A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對(duì)角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱(chēng)為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱(chēng)A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT。(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對(duì)稱(chēng)矩陣。矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩陣乘法的結(jié)合律及分配律A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律

所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由n+1維向量表示一個(gè)n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為（hP1,hP2,

hPn,h），其中h稱(chēng)為啞坐標(biāo)。1、h可以取不同的值，所以同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。如普通坐標(biāo)系下的點(diǎn)（2,3）變換為齊次坐標(biāo)可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、

普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對(duì)多”由普通坐標(biāo)

h→齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)÷h→普通坐標(biāo)3、

當(dāng)h=1時(shí)產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱(chēng)為“規(guī)格化坐標(biāo)”，因?yàn)榍皀個(gè)坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)。齊次坐標(biāo)(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來(lái)表示。提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間上的一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。2.便于表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例如：（x

h,y

h,h)，令h等于03.齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面體。(圖形拓?fù)潢P(guān)系保持不變）4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)齊次坐標(biāo)的作用2.窗口視圖變換

用戶域和窗口區(qū)1．用戶域：程序員用來(lái)定義草圖的整個(gè)自然空間(WD)a

人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。b

用戶域是一個(gè)實(shí)數(shù)域，理論上是連續(xù)無(wú)限的。2．窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W)a窗口區(qū)W小于或等于用戶域WDb小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。c窗口可以有多種類(lèi)型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等。窗口視圖變換屏幕域和視圖區(qū)1．

屏幕域(DC)：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為1024

768→DC[0..1023]

[0..767]2．

視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域a

視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中b

窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。c

視圖區(qū)可以有多種類(lèi)型：圓形、矩形、多邊形等。d視圖區(qū)也可以嵌套。窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換設(shè)窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標(biāo)系下的點(diǎn)（即窗口內(nèi)的一點(diǎn)）(Xw,Yw)對(duì)應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點(diǎn)（Xs,Ys），其變換公式為窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化為：1)當(dāng)a

c時(shí)，即x方向的變化與y方向的變化不同時(shí)，視圖中的圖形會(huì)有伸縮變化，圖形變形。2)

當(dāng)a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。圖形變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。幾何變換，投影變換，視窗變換作用：把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來(lái)；可由簡(jiǎn)單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動(dòng)態(tài)顯示。3圖形變換二維圖形的顯示流程圖從應(yīng)用程序得到圖形的用戶坐標(biāo)對(duì)窗口區(qū)進(jìn)行裁剪窗口區(qū)到視圖區(qū)的規(guī)格化變換視圖區(qū)從規(guī)格化坐標(biāo)系到設(shè)備坐標(biāo)系的變換WCWCNDCDC在圖形設(shè)備上輸出圖形的幾何變換幾何變換：對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、放縮、錯(cuò)切等單一或復(fù)合的變換。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。簡(jiǎn)單說(shuō)明齊次坐標(biāo)的作用x*=x+Txy*=y+Ty二維圖形的幾何變換

設(shè)二維圖形變換前坐標(biāo)為(x,y,1),變換后為(x*,y*,1)

1．

二維變換矩陣注意：T2D可看作三個(gè)行向量，其中[100]：表示x軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)[010]：表示y軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)[001]：表示原點(diǎn)

二維圖形的幾何變換從變換功能上可把T2D分為四個(gè)子矩陣二維基本變換-平移變換

平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀稱(chēng)為平移變換矩陣.二維基本變換-旋轉(zhuǎn)變換注意；θ是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。

αθρ(x,y)(x′,y′)二維基本變換-比例變換以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)：恒等比例變換當(dāng)Sx=Sy>1時(shí)：沿x,y方向等比例放大。當(dāng)Sx=Sy<1時(shí)：沿x,y方向等比例縮小當(dāng)Sx

Sy時(shí)：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。二維基本變換-對(duì)稱(chēng)變換

當(dāng)Sx=-1,Sy=1時(shí)，(x*y*1)=(-x

y1)：與y軸對(duì)稱(chēng)的反射變換。當(dāng)Sx=1,Sy=-1時(shí)，(x*y*1)=(x-y1)：與x軸對(duì)稱(chēng)的反射變換。當(dāng)Sx=-1,Sy=-1時(shí)，(x*y*1)=(-x-y1)：與原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的反射變換。二維基本變換-錯(cuò)切變換1)

當(dāng)d=0時(shí)，(x*y*1)=(x+by

y1)：圖形的y坐標(biāo)不變；當(dāng)b>0：圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)b<0：圖形沿-x方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A2B2C2D2二維基本變換-錯(cuò)切變換2)當(dāng)b=0時(shí)，(x*y*1)=(x

dx+y1)圖形的x坐標(biāo)不變；當(dāng)d>0：圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。ABCD→A2B2C2D2二維基本變換-錯(cuò)切變換3)

當(dāng)b

0且d

0時(shí)，(x*y*1)=(x+by

dx+y1)：圖形沿x,y兩個(gè)方向作錯(cuò)切位移?！噱e(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。復(fù)合變換

復(fù)合變換又稱(chēng)級(jí)聯(lián)變換，指對(duì)圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個(gè)線性變換都可以分解為上述幾類(lèi)變換。

例1：復(fù)合平移求點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標(biāo)P*（x*,y*）解：設(shè)點(diǎn)P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P

(x

y

1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)∴變換矩陣為T(mén)t=Tt1?Tt2例2：多種復(fù)合組合例:對(duì)一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:設(shè)點(diǎn)(x,y)為線段上的任意一點(diǎn),點(diǎn)(x′,y′)為點(diǎn)(x,y)放大后的坐標(biāo),點(diǎn)(x′′,y′′)為點(diǎn)(x′,y′)平移后的坐標(biāo),則:

[x′,y′,1]=[x,y,1]S2(2,2)

[x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0) [x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)令：M=S2(2,2)T2(10,0)，則M即為組合變換

yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx例3：旋轉(zhuǎn)變換對(duì)參考點(diǎn)F(xf,yf)做旋轉(zhuǎn)變換。解：1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即坐標(biāo)系