新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量初步6.2向量基本定理與向量的坐標6.2.1向量基本定理課件新人教B版必修第二冊

第六章6.2.1向量基本定理基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.掌握共線向量基本定理,并會簡單應(yīng)用.2.理解平面向量基本定理,會用基底表示平面內(nèi)任一向量.3.能夠靈活應(yīng)用向量基本定理解決平面幾何問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

共線向量基本定理1.共線向量基本定理如果a≠0且b∥a,則存在

的實數(shù)λ,使得

.

在共線向量基本定理中:(1)b=λa時,通常稱為b能用a表示.(2)其中的“唯一”指的是,如果還有b=μa,則有λ=μ.這是因為:由λa=μa可知(λ-μ)a=0,如果λ-μ≠0,則a=0,與已知矛盾,所以λ-μ=0,即λ=μ.唯一

b=λa名師點睛對共線向量基本定理的理解(1)共線向量基本定理中條件“a≠0”必不可少,這是因為如果a=0,則一定有b與a共線(零向量與任意向量共線),此時b有兩種情況:①b=0;②b≠0.若b=0,此時b=λa中的λ有無數(shù)個;若b≠0,此時不存在λ使得b=λa成立.這兩種情況違背λ“存在且唯一”的特點.(2)由共線向量基本定理還能得到一個重要的結(jié)論:若兩個向量a,b不共線,而λa=μb,則說明λ=μ=0.2.三點共線的充要條件如果A,B,C是三個不同的點,則它們共線的充要條件是:存在實數(shù)λ,使得過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若向量b與a共線,則存在唯一的實數(shù)λ使b=λa.(

)(2)若b=λa,則a與b共線(其中λ為實數(shù)).(

)2.若|a|=5,b與a方向相反,且|b|=7,則a=

b.

×√3.[人教A版教材習(xí)題]判斷下列各小題中的向量a與b是否共線:(1)a=-2e,b=2e;(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2.解

(1)因為a=-b,所以a與b共線.(2)因為b=-2a,所以a與b共線.知識點2

平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b

,則對該平面內(nèi)任意一個向量c,存在

的實數(shù)對(x,y),使得c=xa+yb.

不共線唯一名師點睛對平面向量基本定理的理解(1)由共線向量基本定理可知,任意向量都可以用一個與它共線的非零向量線性表示,而且這種表示是唯一的.因此,平面向量基本定理是共線向量基本定理從一維到二維的推廣.(2)平面向量基本定理包括兩個方面的內(nèi)容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.2.基底平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成的集合{a,b},常稱為該平面上向量的一組基底,此時如果c=xa+yb,則稱xa+yb為c在基底{a,b}下的分解式.名師點睛對基底的理解(1)由平面向量基本定理知,平面內(nèi)的任一向量都可用基底表示出來.因而可以“統(tǒng)一”各向量,便于研究向量問題.(2)基底不唯一,同一平面可以有不同的基底,且組成基底的向量不能共線(零向量不可以作為基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.過關(guān)自診1.若{e1,e2}是平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量能作為平面向量的基底的是(

)A.{e1-e2,e2-e1}C.{2e2-3e1,6e1-4e2}D.{e1+e2,e1-e2}D解析

e1+e2與e1-e2不共線,可以作為平面向量的基底,另外三組向量都共線,不能作為基底.2.[北師大版教材習(xí)題]已知基底{a,b},實數(shù)x,y滿足:3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,求x,y的值.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一向量共線問題【例1】

已知非零向量e1,e2不共線,欲使ke1+e2和

e1+ke2共線,試確定實數(shù)k的值.規(guī)律方法

利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.變式訓(xùn)練1[2023廣西高一]已知非零向量e1和e2不共線.欲使向量ke1+e2與e1+ke2平行,試確定實數(shù)k的值.解

因為ke1+e2與e1+ke2平行,且兩向量都為非零向量,所以存在實數(shù)λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立,即(k-λ)e1=(kλ-1)e2.探究點二用基底表示向量規(guī)律方法

用基底來表示向量主要有以下兩種類型:(1)直接利用基底,結(jié)合向量的線性運算,靈活應(yīng)用三角形法則與平行四邊形法則求解.(2)若直接利用基底表示比較困難,可采用方程思想求解.探究點三平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】

如圖所示,在平行四邊形ABCD中,F是CD的中點,AF與BD交于點E.求證:E為線段BD的一個三等分點.規(guī)律方法

用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個平面向量作為基底;(2)將相關(guān)的向量用基底表示,將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(3)利用向量知識進行向量運算,得到向量問題的解;(4)將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解.變式訓(xùn)練3設(shè)平面內(nèi)不在同一條直線上的三個點為O,A,B,求證:當p,q滿足成果驗收·課堂達標檢測1234C12342.(多選題)如圖所示,已知P,Q,R分別是△ABC三邊AB,BC,CA的四等分點,如果,以下向量表示正確的是(

)BC123412343.在△ABC中,E為AB邊的中點,F為AC邊的中點,BF交CE于點G.若