復(fù)習(xí)2 2函數(shù)與調(diào)關(guān)系

§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，定義且滿足拉普拉斯

(

Laplace

)

方程：

P36定義

2.3

同理證明由解析，有

P36定理

2.3

二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及均為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，定義函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)解析的充要定理?xiàng)l件是：在區(qū)域D內(nèi)，v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。注意

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)

u

是

v

的共軛調(diào)和函數(shù)。

且滿足

C

-

R

方程：

P37定義

2.4

P37定理

2.4

三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實(shí)部u，求虛部v

(或者已知虛部v，求實(shí)部u

)，使解析，且滿足指定的條件。注意

必須首先檢驗(yàn)

u

或

v

是否為調(diào)和函數(shù)。方法

偏積分法

全微分法構(gòu)造解析函數(shù)的依據(jù)：依據(jù)

(1)u

和

v

本身必須都是調(diào)和函數(shù)；

(2)u

和

v

之間必須滿足

C

-

R

方程。（高數(shù)中第二類曲線積分部分講解）方法1偏積分法(

不妨僅考慮已知實(shí)部

u

的情形

)第1步；由

u

及

C

-

R

方程第2步：將

(A)

式的兩邊對(duì)變量y

進(jìn)行(偏)積分得：其中，已知，而待定。第3步：將

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函數(shù)得到待定函數(shù)

v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：(A)(B

)(C

)C方法2全微分法(

不妨僅考慮已知實(shí)部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函數(shù)

v

的全微分：(2)利用第二類曲線積分(與路徑無關(guān))

得到原函數(shù)：C0C1C2其中，或P39

或直接湊全微分得到。故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)P38例2.6修改

由由(2)求虛部。

方法1：

偏積分法由方法2：

全微分法C1C2

或直接湊全微分（分項(xiàng)組合）(3)求常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部▲P40例2.8

由由(2)求虛部。

方法1：

偏積分法由方法2：

全微分法(利用第