2021年中考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練八：與相似三角形相關(guān)的壓軸題（附答案）

2021中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》分類訓(xùn)練八：

與相似三角形相關(guān)的壓軸題(附答案)

方法提煉：

1、求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情

況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長相似比來求點(diǎn)的坐標(biāo)。

典例引領(lǐng)：

例：如圖，直線y=-x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1,

0)三點(diǎn)。

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,0),在直線y=-x+3上有一點(diǎn)R使AAB。與AADP相似，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

解：(1)拋物線的解析式為y=x2-4x+3

(2)由題意可得：AABO為等腰三角形，

什EAOOB

右4ABO-△APiD，則麗=而

DP1=AD=4，,Pl(l,4)

若AABOSAADP2,過點(diǎn)P2作P2M_LX軸于M,AD=4,

△ABO為等腰三角形,△ADP2是等腰三角形，由三線合一可得：DM=AM=2=PzM,

即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，,P2(1,2)

跟蹤訓(xùn)練:

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,-4),BC與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)￡＞.

(1)求該拋物線的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作AEJ_AC交拋物線于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)尸在射線AE上，若求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.如圖1,已知二次函數(shù)-a(。為常數(shù)，且aWO)與x軸交于A、2,與y軸的交

點(diǎn)為C.過點(diǎn)A的直線/：y=kx+h(我,匕為常數(shù)，且ZWO)與拋物線另一交點(diǎn)為E,交

y軸于D.

(1)用含后的式子表示直線/的解析式：

(2)若“=3,k=3,點(diǎn)P為拋物線上第四象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作y軸的平行線交4。

4

于M,作PNJ_AO于N,當(dāng)△PMN面積有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若“=3,k=l,連結(jié)AC、BC,在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△/!＜：￡＞與ABCQ

相似(其中點(diǎn)。與點(diǎn)A是對應(yīng)頂點(diǎn))的。的坐標(biāo).

圖1圖2

3.如圖1,拋物線-6ar+6(aWO)與x軸交于點(diǎn)A(8,0),與y軸交于點(diǎn)B,在x

軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(w,0)(0</M<8),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)M交拋物線

于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)M.

(1)求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)的面積為S,硒的面積為S2,若51：52=36：25,求機(jī)的值;

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到0E',旋轉(zhuǎn)角為30°,

連接￡71、EB,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)。，使△AOE'?△80Q,并求出。的坐標(biāo).

4.如圖1,以點(diǎn)A(-1,2)、C(1,0)為頂點(diǎn)作RtZXABC,且NACB=90°,tanA=3,

點(diǎn)B位于第三象限

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)以A為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)C的拋物線+云+c(aWO)是否經(jīng)過點(diǎn)B,并說明理由；

(3)在(2)的條件下(如圖2),AB交x軸于點(diǎn)。，點(diǎn)E為直線48上方拋物線上一動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)E作E凡L8C于尸，直線EF分別交y軸、AB于點(diǎn)G、H,若以點(diǎn)8、G、H為

頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖1圖2

5.拋物線Ci：y=a?+bx+3與x軸交于A(-3,0)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)M(-2,

3)是拋物線上一點(diǎn).

(1)求拋物線C1的表達(dá)式.

(2)若拋物線C2關(guān)于Ci關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A、B、M關(guān)于)，軸的對稱分別為力'、"、

M'.過點(diǎn)“'作M'軸于點(diǎn)E,交直線A'C于點(diǎn)。，在x軸上是否存在點(diǎn)P,使

得以A'、D、尸為頂點(diǎn)的三角形與△48'C相似？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

5

4

3

2

1

12345

6.如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),C(0,2),點(diǎn)。為OC中點(diǎn)，連接

AC.BD,并延長50交AC于點(diǎn)￡

(1)求拋物線卬1的表達(dá)式；

(2)若拋物線卬1與拋物線卬2關(guān)于)，軸對稱，在拋物線心位于第二象限的部分上取一

點(diǎn)。，過點(diǎn)Q作軸，垂足為點(diǎn)F,是否存在這樣的F點(diǎn)，使得△QFO與ACDE

相似？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1,拋物線)=0?+法+c的對稱軸為旦，與x軸的交點(diǎn)A

2

(-1,0)與y軸交于點(diǎn)C(0,-2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2.點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交拋物線于

點(diǎn)。(點(diǎn)。在點(diǎn)P右側(cè))，連結(jié)8Q,當(dāng)△PCQ的面積為aBCQ面積的一半時(shí)，求尸點(diǎn)

的坐標(biāo)；

(3)現(xiàn)將該拋物線沿射線AC的方向進(jìn)行平移，平移后的拋物線與直線AC的交點(diǎn)為4'、

C(點(diǎn)。在點(diǎn)A的下方)，與x軸的交點(diǎn)為B',當(dāng)與△AAE相似時(shí)，求出點(diǎn)A'

的橫坐標(biāo).

8.如圖，以。為頂點(diǎn)的拋物線y=-f+fov+c交x軸于A、8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線BC

的表達(dá)式為y=-x+3.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)請你判斷△BC。的形狀，并說明理由.

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)。，使得以4、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△BC。相似？若存

在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.如圖，已知?jiǎng)訄AA恒過定點(diǎn)5(0,-1),圓心A在拋物線＞=-2?/上運(yùn)動(dòng)，MN為0A

2

在x軸上截得的弦(點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)).

(1)當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為(圾，“)時(shí)，求a的值，并計(jì)算此時(shí)GM的半徑與弦MN的長；

(2)當(dāng)OA的圓心4運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷弦MN的長度是否發(fā)生變化？若改變，請舉例說明；

若不變，請說明理由；

(3)連接BM,BN,當(dāng)△OBM與△O8N相似時(shí)，計(jì)算點(diǎn)M的坐標(biāo).

10.如圖，已知二次函數(shù)y=-f+fev+c",c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,1),點(diǎn)C(0,

4),頂點(diǎn)為點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AB〃x軸，交y軸于點(diǎn)￡＞,交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B,連結(jié)

BC.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移〃？(加＞0)個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的

頂點(diǎn)與△ABC的外心重合，求切的取值；

(3)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，使得AACB與相似，且CM的對應(yīng)邊為4C,請

寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程).

11.如圖1,已知拋物線；Ci：y=-工（x+2）Cx-m）（w>0）與x軸交于點(diǎn)8、C（點(diǎn)B

m

在點(diǎn)C的左側(cè)），與），軸交于點(diǎn)E.

（1）求點(diǎn)3、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)△BCE的面積為6時(shí)，若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,b）,在拋物線Ci的對稱軸上是否

存在點(diǎn)”，使得△BGH的周長最小，若存在，則求點(diǎn)〃的坐標(biāo)（用含人的式子表示）；

若不存在，則請說明理由；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線Ci上是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)8、C、尸為頂點(diǎn)的三角形與

△BCE相似？若存在，求機(jī)的值；若不存在，請說明理由.

圖1備用圖

12.如圖，拋物線），=（x+2）2+機(jī)與x軸交于月，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)。在拋物線

上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，拋物線的頂點(diǎn)為例，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）.

（1）求拋物線的解析式及A,C,。的坐標(biāo)；

（2）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）若點(diǎn)P是直線8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P,C,。為頂點(diǎn)的三角形與△A3。相

似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

13.已知一次函數(shù)y=fcr+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(l,,與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)

B,二次函數(shù)y=G?+Z>x(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P,頂點(diǎn)為M,對稱軸與一次函數(shù)

的圖象相交于點(diǎn)N.

(1)求一次函數(shù)的解析式以及A點(diǎn)，8點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)在y軸上求一點(diǎn)。，使得和△PBQ相似.

14.如圖，已知拋物線yud+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A(-1,0)與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)E(l,-4)為拋物線的頂點(diǎn)，且OO=OA.

(1)求拋物線的解析式;

(2)設(shè)/￡>8c=a,NCBE=B，求sin(a-p)的值;

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與aBCE相似,

若存在，請指出點(diǎn)尸的位置，并直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

參考答案

1.解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將C(0,-4)代入得：-8a=-4,

解得：〃=工，

2

拋物線的解析式為y=y-….

如圖1所示：記拋物線的對稱軸與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)為F.

：拋物線的對稱軸為x=-旦=

2a

：.BF=OB-OF=3.

'：BO=OC=4,NBOC=90°,

.,.ZOBC=45°.

...△BFD為等腰直角三角形.

:.FD=FB=3.

：.D(1,-3).

(2)如圖2,過點(diǎn)E作垂足為從

VZEAB+ZBAC=90°,ZBAC+ZAC0=90°,

：.ZEAH=ZACO.

.".tanZEAH=tanZACO—

2

設(shè)EH=t,則AH=2f,

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2+2t,r).

將(-2+2t,t)代入拋物線的解析式得：—(-2+2r)2-(-2+2力-4=r,

2

解得：f=［或f=0(舍去)

2

：.E(5,—).

2

(3)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),D(

-3),

貝I：AD=3近,AB=6,AC=2泥，BC=4五

'：/\ADF<^^ABC,

.ADAF

??----------,

ABAC

.372.AF

??----------

6275

:.AF=yJ]0,

過點(diǎn)尸作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H,

122

則：AF=FH^AHf

即：10=（―x+1）2+（x+2）2,

2

解得：x=-2+2&或-2-272（舍去），

故點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2+2&,五）.

2.解：（1）??,二次函數(shù)y=o?_Q（〃為常數(shù)，且〃W0）與x軸交于A,

1

.,.y=0時(shí)，ax-a=Of

解得：XI=1,X2=-1,

.?.A（-1,0）,

???直線/：y=kx+b（匕b為常數(shù),且kWO）過點(diǎn)A,

???-k+b=O,

:.b=k,

???直線/的解析式為

(2)'：a=3,k=3,

4

二次函數(shù)解析式為y=37-3,直線/的解析式為y=3x^，

44

：.D(0,—),

4

：.OA=\,。。=旦，

4

,'MC>=VOA2-K)D2=療+/產(chǎn)-|‘

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,3?-3),則點(diǎn)MG,

.，.PM=^乂弓_(3x2_3)=-3x2普x+^，

軸，

:.NPMN=NADO.

又；NPNM=NAO￡>=90°,

:.APMNsAADO,

.SAPMN_/PM2

^AADO皿

???S/MN《X患P『=￡P(guān)M2,

???當(dāng)PM有最大值時(shí)，SMMN的面積最大，此時(shí)

8

?,-3X2-3=3X("I產(chǎn)-3=-鬻，

zl189s

??P(T

(3)△AC。與△Q3C相似,

當(dāng)〃=3,%=1時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=3/-3,直線/的解析式為y=x+l,

：.C(0,-3),B(1,0),D(0,1),

AD—5/2>CD=4,AC—yjIQ,BC—y]10,

設(shè)點(diǎn)0坐標(biāo)為(x,y)

若△ACQSAQBC,

.AC_AD_CD

"BQ=QC"Be'

.瓜卓二4

,?BQ-QC~V10’

??BQ節(jié)，CQ--—>

\1、2上225

(x-1)+y=-

,x2+(y+3)2=1，

X=1

，=J_f

解得：x~^2,5，

|y=-2|y=T

點(diǎn)的坐標(biāo)為(蔣，-2)或(1,-y)；

若△AC￡>S/\QCB,

.AC_AD_CD

"QC"BQ"BC'

.yru二衣二4

詼=VI3,

，CQ號,BQ=夸，

(x-1)2+y2=-|-

x2+j(yq+3\)2=—25

x=03

解得：1或，

y=-l

；.Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-￡）或弓，T），

綜上所述：點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（1，-2）或（1,得）或（0,或（菅，-1）?

3.解：(1)把A(8,0)代入y=o?-6or+6,得64a-48a+6=O,解得

8

二拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y='/+2x+6；

84

(2)如圖1,在y=+@x+6中，令x=O,得y=6,

84

：.B（0,6）,

設(shè)直線AB解析式為y^kx+b,則J8k+b=0，解得，k-R

1b=6b=6

直線AB解析式為y=4x+6

：PE_Lx軸，PMLAB

：?NAEN=NPMN=90°,

NANE=NPNM

.,.△ANEs^PNM

SS

.AE=EN=_MJ1=APMN^(PM)2

"PMMNPN*SAAENAE'

V5i：S2=36：25,

.PM=6

"AE"5

...迎=2即64V=5PN

PN6

,:E(w,0)(0<w<8),

:.P(ni,/■1RL2+9〃I+6),N(m,—5-/n+6)

844

33m2+旦〃+6-(-J-zn+6)=2

：.EN=m+6,PN=PE-EN=-^-m+3/n

48產(chǎn)448

OE=m,AE=S-m,

???AS=VOA2-K)B2=V82+62=10

：.cosZOAB=—^—,即國

ANABAN10

：.AN=^-(8-w),

4

.?.6X互(8-m)=5X2

(-^-m+3w),解得：tn\=4,〃22=8(不符合題意，舍去),

48

Am=4；

(3)如圖2,?.?線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為30°,

AOE'=OE=4,ZAOE'=30°

V/\AOEf?△B。。,

:.返一=%ZBOQ=ZAOE'=30°,

0AOB

,-.A=PQ,即。0=3,過點(diǎn)Q作軸于”,

.?.Q//=』OQ=2,OH=

22

二當(dāng)點(diǎn)。在y軸右側(cè)時(shí)，Q\(y

當(dāng)點(diǎn)。在y軸左側(cè)時(shí)，。2(-多

綜上所述，。的坐標(biāo)為：Qi(3,昌返)，Q2(-

22

4.解：(1)過C點(diǎn)作MN垂直x軸.過A、B兩點(diǎn)分別作垂足為M,BNLMN,

垂足為N,

；N4CB=9()°,

：.ZCBN=ZACM,

:.叢CNB?叢AMC,

?BCBNCN

*'AC=CM=AM'

「A(-1,2)、C(1,0),

：.AM=2,CM=2,

又；tanA=.=3,

AC

:.BN=6,CN=6,

:?B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5,-6）.

(2)設(shè)以4(-1,2)為頂點(diǎn)的拋物線為y=a(x+1)2+2,

?.?拋物線經(jīng)過C(1,0)

：.a(1+1)2+2=0,

.1

2

...函數(shù)解析式為y=-y(x+l/+2，

當(dāng)x=-5時(shí)，y=蔣(-5+1)2+2=-6,

???以A為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)C的拋物線為y=-^(x+l)2+2經(jīng)過點(diǎn)(-5,-6).

(3),點(diǎn)A(-1,2)、C(1,0),

直線yAC=-x+1，ZACD=45°,

VEF1BC,

ZBHC=DAC,

，以點(diǎn)8、G、”為頂點(diǎn)的三角形與△4OC相似，有兩種情況：

I.如圖2（1）.NHGB=45°,VEG//AC,：.BG//CD,即BG_Ly軸，

，G坐標(biāo)為（0,-6）

?二直線yEG=-x-6,

"y=-x-6

依題意得:1o

y=-^-(x+l)+2

Xi=V15fX=-V15

解得《_（不合題意舍去），得12「，

=

yi=-Vi5-6[y2vi5-6

.,.當(dāng)/HG8=/AC￡>=45°時(shí)△”8Gs4￡）C,即：E點(diǎn)坐標(biāo)為（飛怎，41^-6）.

II.如圖2（2）.NHBG=NACD=45°時(shí)，XHBGs^ACD,

?.?過8點(diǎn)作BPJ_y軸，；.尸點(diǎn)（0,-6）

'：ZCBP=45°,

：.ZGBP^ZABC,

又：tan/GBP=空，tan/A8C=2，BP=5,

BP3

：.GP=^-,即G點(diǎn)坐標(biāo)為（0,工），

33

.,.直線yEG=-x-孕，

f13

y=-x--

依題意得：，

19

y=-^-（x+l）+2

?105°

6

即E點(diǎn)為（衛(wèi)運(yùn)，2ZJ05._6）,

33

綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（-V15-V15-6）或（XI恒,壯運(yùn)）,

33

圖2Q)

圖2(1)

5.解：（1）將點(diǎn)A、M的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：［°=9a-3b+3,解得：［a=-l

I3=4a-2b+3Ib=_2

故拋物線Ci的表達(dá)式為：y=-x2-2x+3；

(2)由題意得：點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)、M(-2,3)、B'(-1,0)、

A'(3,0),D(2,1),

則AB'=2,AC=3&,B'C=V10,A'O=&,

①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的左側(cè)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在。M'左側(cè)時(shí)，

A'、。、P為頂點(diǎn)的三角形與△A3'C相似,

則△A8'C^/\A'DP,則粵一=里’，

A'PA'D

即：C"),解得：A'P=3,

A'PV2

故點(diǎn)P(0,0),

當(dāng)點(diǎn)尸在。M'左側(cè)時(shí)，

同理可得點(diǎn)尸(P')0)；

3

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的右側(cè)時(shí)，

則△AB'C、△D4'P"不相似，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或(工，0).

3

6.解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y^a^+bx+c,將A(-1,0),B(2,0),C(0,2)代

入拋物線的解析式得：

a-b+c=0

,4a+2b+c=0，

c=2

a=-l

解得：＜b=l，

c=2

二拋物線W］的表達(dá)式為y=-W+x+2；

(2)?..拋物線wi與拋物線卬2關(guān)于y軸對稱，

...拋物線它的解析式丫=---x+2,

:點(diǎn)。為OC中點(diǎn)，C(0,2),

：.D(0,1),

；A(-1,0),B(2,0),

?.?-O-Cz:-O-B-1

OAOD

VZAOC=ZBOD=90°,

:.MAOCsXDOB,

：./ACO=/DBO,

C.BDLAC,

.CEOB2

??--=--=-=yn,

DEOD1

設(shè)F(a,0),Q(a,-a1-a+2),a<0,若△QFO與△€1￡>￡相似，可分兩種情況考慮:

①△QFO與s/\cED時(shí)，

QF.CE

OF-DE"2n，

.-a2-a+2

,,=2，

-a

解得：a\—~1,42=2(舍去)，

：.F(-1,0)；

②△QFOS/^OEC時(shí)，

QFDE1

OF'CE

?-a^-a+21

??---------=一，

-a2

14

解得：a二a-733(舍去)，

14z4

：.F(二0).

4

綜合以上可得尸點(diǎn)的坐標(biāo)為尸(-1,0)或尸(士返，0).

4

7.解：(1)由對稱性可知8(4,0)

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-4)

將(0,-2)代入得

2

.?.產(chǎn)工/-&-2.

22

(2)由平行線間距離處處相等可知，當(dāng)△PCQ的面積為△BC。面積的一半時(shí)，PQ-

BC

VC(0,-2),B(4,0)

：.BC=2A/5

:.PQ=A

???PQ』(XQ-Xp)2+(yQ-yp)2=5

:直線BC的解析式為-2,PQ//BC

???設(shè)直線PQ的解析式為y^^x+b

則yp=^LXp+b,yQ=y=-^xQ+b

(1

y=yx+bu

聯(lián)立：°得

_123

|y?x亍-2

7-4x-4-2b=0

則XP+XQ=4

2XX2+2=5

,"?^C=(Q-P)(yQ-yp)

?,號(XQ-Xp)2=5，XQ-xp—2

點(diǎn)尸(1,-3)

(3)由點(diǎn)A(-1,0),C(0,-2)得直線AC的解析式為y=-2x-2

設(shè)點(diǎn)4坐標(biāo)為(a,-2a-2),由平移的性質(zhì)，可知AC=4C=旄

平移距離為AA'=J^(a+1)

AAC=V5(。+2)

當(dāng)△ABC與△AAE相似時(shí)，只有當(dāng)△AbC's4b

：.AB'2=AA'XAC=5(a+1)(a+2)

過點(diǎn)B作/VV的平行線，交原拋物線于點(diǎn)。，連接A。，

由平移知四邊形ADB7T為平行四邊形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2a+2

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為"?，則點(diǎn)B,坐標(biāo)為(機(jī)+a+l,0)

：.AB'2^(m+a+2)2=5(a+1)(a+2),①

將點(diǎn)。(m,2a+2)代入y=L?一3工-2得

-22

■^-m2_"^'n'2=2a+2,②

2

聯(lián)立①②，解得：典二囪坦，

4

62-9m+15=0,

..=如叵，或〃二殳恒(舍)

22

.,_m2-3m-8_6m-23_3721+4

??Czl----------------------

444

二點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為3屈十%

4

8.解：(1)把尤=0代入y=-工+3,得：y=3,

：.C(0,3)

把y=0代入y=-x+3,得：x=3,

：.B(3,0)

-=

將C(0,3)、B(3,0)代入y=-7+Z?x+c得:f9+3b+c0

Ic=3

解得仆=2

Ic=3

拋物線的解析式為y=-/+2x+3；

(2)△BCD是直角三角形，理由如下：

由y--x^+2x+3--(x-1)2+4,

：.D(1,4)

又：C(0,3)、B(3,0)、D(1,4),

???8=d(4-3)2+12=&，8c=^7^=3圾，—=山2+⑶i)2=2旄

(V2)2+(3&)2=20,(275)2=20,

/.CD2+BC2^BD2,

：.ZBCD^90°.即△BCD是直角三角形；

(3)如圖，連接AC,把y=0代入y=-，+2x+3,

解得：x=-1或x=3,

???A(-1,0),

：.OA=\f

.0A_1

??，

0C3

..CD_V2-1

?前勾75’

?0ACD

0CBC

又；N4OC=￡>CB=90°,

:.XAOSXDCB.

...當(dāng)。的坐標(biāo)為(0,0)時(shí)，XAQCs/XOCB、

過點(diǎn)C作CQLAC,交x軸與點(diǎn)Q.

:△ACQ為直角三角形，COVAQ,

.?.△ACQs&oc.

又；△AOCS^DCB,

：./XACQ^/XDCB,

.CDACV2715

??=?即BI17==-=--，

BDAQ2V5AQ

解得：AQ=\O.

：.Q（9,0）.

綜上所述，當(dāng)。的坐標(biāo)為（0,0）或（9,0）時(shí)，以A、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△BCD

相似.

9.解：（1）把點(diǎn)A（V2>a）代入丫=總*2得,

-yX2=-l>

'：B（0,-1）,

軸，

GM的半徑為J5，

如圖1,過點(diǎn)A作AE_LMN于點(diǎn)E,連接

圖1

則AM—AB—y[2<

A/W￡=VAM2-AE2=V(V2)2-l2=1,

由垂徑定理，MN=2ME=2X}=2.

故此時(shí)OA的半徑為我,弦MN的長為2；

(2)MN不變.如圖2,理由如下：

2

設(shè)點(diǎn)ACm,n),則4解=力2+(n+i),

在RtZ\4ME中，ME2=AM2-AE2=/;z2+(〃+1)2-n2=m2+2n+l,

???點(diǎn)A在拋物線y=-尹上，

--n^—n,

2

將n--代入MEr—nr+ln+X得，

ME2=I,

ME=l,

由垂徑定理得，MN=2ME=2Xl=2(是定值，不變)；

(3)由(2)知MN=2,

設(shè)M(x,0),則N(x+2,0).

當(dāng)AOB例與△08N相似，有以下情況:

①M(fèi)、N在y軸同側(cè)，

■:AOBM與AOBN相似，

.OBON

,?而同，

即OB2=OM?ON,

x(x+2)=1,

整理得，/+2r-1=0,

解得：x|=-I+A/2'x2=-l-V2,

.?.當(dāng)M、N在y軸右側(cè)時(shí)，M(-1+J5，0),

當(dāng)M、N在y軸左側(cè)時(shí)，M(-1-V2-0),

②M、N在y軸兩側(cè)時(shí)，

,?△OBM與△OBN相似，

?.?-O--B----0-N--,

ON0B

即O型=OM,ON,

-x(x+2)=1,

整理得，/+2x+l=0,

解得x=-1,

此時(shí)△O8M與△OBN全等，M(-1,0),

綜合以上可得，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1+如，0)或(-1-我，0)或(-1,0).

10.解：(1)C(0,4),則c=4,拋物線表達(dá)式為：y--x^+bx+4,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b=2,

故拋物線的表達(dá)式為：＞=-，+2%+4,

則點(diǎn)M(1,5)；

(2)點(diǎn)A(3,1)函數(shù)的對稱軸為：x=l,則點(diǎn)8(-1,1),點(diǎn)C(0,4),

直線8c的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(-」，$),

22

則線段的中垂線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-』x+Z,

33

當(dāng)x=l時(shí)，y=2,即外心坐標(biāo)為(1,2),

則二次函數(shù)圖象向下平移了5-2=3個(gè)單位；

(3)ZSACB與△MCP相似，且CM的對應(yīng)邊為AC,存在△ACBs^cMP或△CABs4

CMP,

點(diǎn)A、B、C、M的坐標(biāo)分別為：(3,1)、(-1,1)、(0,4)、(1,5),

則AB=4,BC=7I5，AC=3后，CM=&,

①當(dāng)△ACBsaCMP時(shí)，如下圖左側(cè)圖，

貝匹墨4,即四百』，

CMPMPCV2PMPC

解得：PM=^^-,PC=—,

33

設(shè)點(diǎn)P(r,s'),

則J+(.v-4)2=—,(r-1)2+(s-5)2=—,

99

解得：r——,s=4或r=0,s=-^

33

故點(diǎn)P,4)或(0,西)；

33

②當(dāng)△CABs/^CMP時(shí)，如上圖右側(cè)圖，

則點(diǎn)P在直線C4上，直線4c的表達(dá)式為：y=-x+4,

同理可得：

3

設(shè)點(diǎn)P(",-”+4),則川+(4-〃-4)

9

解得：”=1或-2，

3

故點(diǎn)P(1,—)或(-上，5)；

33

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(―,4)或(0,—)或(1,—)或(-工，5).

3333

11.解：(l)y=-2(x+2)(x-/H)(m>0),令y=0,貝iJx=-2或”?，

m

故點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為：(-2,0)、(m,0)；

(2)存在，理由：

)，=-』(x+2)(%-/?),令x=0,則y=2,故點(diǎn)E(0,2),

m

△BCE■的面積=工XBCX。E=工x（w+2）X2=6,解得：m=4,

22

則拋物線的對稱軸為：X——(-2+4)=1,

2

點(diǎn)8關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C(〃?，0),連接CG交對稱軸于點(diǎn)”，則點(diǎn)H為所

求，

將點(diǎn)C、G的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線CG的表達(dá)式為：y=-^bx+b,當(dāng)x=1時(shí)，y=^-b,

4-4

故點(diǎn)4(1,3/>)；

4

(3)，：OE=OB=2,故/E8O=45°,

過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)7;

①當(dāng)△BECs/XBC尸時(shí),

則BC2=BE-BF,NFBO=EBO=45°,

則直線8尸的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x-2,故點(diǎn)尸（x,-x-2）；

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：-x-2--1（x+2）（X-/77）,

m

解得：x=-2（舍去）或2，"，

故點(diǎn)F(2m,-2nz-2),

貝ij8尸=2&(%+1),BE=2貶,

'：BC2=BE*BF,

則5+2)2=2&(>77+1),解得：m=2±2M(舍去負(fù)值),

故，”=2+2加；

②當(dāng)△BECs/XFCB時(shí)，

則BC2=BF,EC,ZCBF=ZECO,

則△BFT's/xcOE,

貝喘懸4則點(diǎn)取一小2］，

91

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:--(x+2)=-—(x+2)(x-tn),

mm

解得：X--2（舍去）或加+2；

則點(diǎn)F[/n+2,-2(加+4)]

m

22

BC=BF'EC,貝Ij(〃?+2)=77不丫(m+2+2)2+(2(74)

化簡得：)/+4機(jī)2+4僧=A/i3+4/??2+4/n+16,

此方程無解;

綜上，，"=2+2&.

12.解：(1)把8(-1,0)代入拋物線解析式得，

(-1+2)，m=0,

解得m=-1,

，拋物線的解析式為y=(x+2)2-1,

當(dāng)y=0時(shí)，(x+2)2-1=0,解得x\--I,xi--3,

(-3,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=(x+2)2-1=3,

：.C(0,3)

；拋物線對稱軸是直線x=-2,C,力兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱,

：.D(-4,3)；

(2)△ABM是等腰直角三角形；

證明：：拋物線＞=(x+2)2-1的頂點(diǎn)是

：.M(-2,-1),

作MNVx軸于N,則N(-2,0).

圖1

:.AN=BN=MN=\,

tanZMAN=tanZMBN=1,

:./MAN=/MBN=45°,

???NAMB=180°-/MAN?NMBN=90°,

...△ABM是等腰直角三角形；

(3)存在，理由:

①當(dāng)時(shí),

過點(diǎn)戶分別作x、y軸的垂線交于點(diǎn)M、N,

則加=返/>。=返乂色但=_1=￡>M,