中考二次函數(shù)問題

二次函數(shù)應(yīng)用選擇題1．(2014年四川)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)解：∵拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正確；∵對稱軸是直線x﹣1，和x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（1，0）之間，∴拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴把（﹣2，0）代入拋物線得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②錯(cuò)誤；∵把（1，0）代入拋物線得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正確；∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正確；即正確的有3個(gè)，故選B．2．(2014年天津市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實(shí)數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0B． 1 C．2D． 3解：①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，故①正確；②∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對稱軸x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正確；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0沒有實(shí)數(shù)根，∴y=ax2+bx+c和y=m沒有交點(diǎn)，由圖可得，m＞2，故③正確．故選D．第1題第2題第3題3.（2014?孝感）拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，所以①錯(cuò)誤；∵頂點(diǎn)為D（﹣1，2），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正確；∵拋物線的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正確；∵當(dāng)x=﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=1時(shí)，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．故選C．4，（2014?菏澤）如圖，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的頂點(diǎn)D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點(diǎn)不重合，設(shè)CD的長度為x，△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=x2，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，ED交AB于M，EF交AB于N，如圖，CD=x，則AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故選A．5.（2014年山東泰安，第20題3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：X﹣1013y﹣1353下列結(jié)論：(1)ac＜0；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個(gè)根；（4）當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)解：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x=1時(shí)，y=5值最大，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，a＜0；又x=0時(shí)，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x==1.5，∴當(dāng)x＞1.5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯(cuò)誤；∵x=3時(shí)，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個(gè)根，故（3）正確；∵x=﹣1時(shí)，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1時(shí)，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3時(shí)，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函數(shù)有最大值，∴當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正確．故選B．二、.解答題1.（2014?安徽省,）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．（1）請寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值．解答：（1）設(shè)頂點(diǎn)為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k，當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．∵兩個(gè)函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點(diǎn)相同，開口都向上，∴兩個(gè)函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1．∵5＞0，∴函數(shù)y2的圖象開口向上．①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，∴y2隨x的增大而減小．∴當(dāng)x=0時(shí)，y2取最大值，最大值為5（0﹣1）2=5．②當(dāng)1＜x≤3時(shí)，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，∴y2隨x的增大而增大．∴當(dāng)x=3時(shí)，y2取最大值，最大值為5（3﹣1）2=20．綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值為20．（2014?福建），已知二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）．（1）寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，試判斷點(diǎn)A′是否為該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)？解：（1）∵二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）．∴拋物線的對稱軸為直線x=1；（2）點(diǎn)A′是該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．理由如下：如圖，作A′B⊥x軸于點(diǎn)B，∵線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），∴點(diǎn)A′為拋物線y=﹣（x﹣1）2+的頂點(diǎn)．3.如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判斷：四邊形DECF一定是什么形狀？②裁剪：當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°時(shí)，請你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊：請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由．解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DECF是平行四邊形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG==12，設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x=×20，∵S=xh=x?×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中點(diǎn)處剪四邊形DECF，能使它的面積最大．第一步，沿∠ABC的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對折，使DA1⊥BB1．理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．4.2014?廣西）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A（1，）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2；（2）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=x2上，∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直線y=﹣1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x軸，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（﹣2，3）．5.（2014?廣西玉林）給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax2+bx+1．（1）當(dāng)b=1時(shí)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中A為C的頂點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a的值；（2）若把直線l向上平移k2+1個(gè)單位長度得到直線r，則無論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．①求此拋物線的解析式；②若P是此拋物線上任一點(diǎn)，過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求證：OP=PQ．解：（1）∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，當(dāng)b=1時(shí)有A，B兩交點(diǎn)，∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0．∵B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴0=xA+xB=，∴k=1．∵y=ax2+x+1=a（x+）2+1﹣，∴頂點(diǎn)（﹣，1﹣）在y=x上，∴﹣=1﹣，解得a=﹣．（2）①解：∵無論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)，∴k=1時(shí)，k=2時(shí)，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)k=1時(shí)，r：y=x+2，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣1）x﹣1=0，∵△==0，∴（b﹣1）2+4a=0，當(dāng)k=2時(shí)，r：y=2x+5，∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b﹣2）x﹣4=0，∵△==0，∴（b﹣2）2+16a=0，∴聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組，解得或．∵r：y=kx+k2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0，∴△=．當(dāng)時(shí)，△===0，故無論k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，△==，顯然雖k值的變化，△不恒為0，所以不合題意舍去．∴C：y=﹣x2+1．②證明：根據(jù)題意，畫出圖象如圖1，由P在拋物線y=﹣x2+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，﹣x2+1），連接OP，過P作PQ⊥直線y=2于Q，作PD⊥x軸于D，∵PD=|﹣x2+1|，OD=|x|，∴OP====，PQ=2﹣yP=2﹣（﹣x2+1）=，∴OP=PQ．6．(2014年四川資陽)某商家計(jì)劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)的采購單價(jià)y1（元/臺）與采購數(shù)量x1（臺）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；冰箱的采購單價(jià)y2（元/臺）與采購數(shù)量x2（臺）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）．（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價(jià)不低于1200元，問該商家共有幾種進(jìn)貨方案？（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺時(shí)總利潤最大？并求最大利潤．解：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺，由題意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式組的解集是11≤x≤15，∵x為正整數(shù)，∴x可取的值為11、12、13、14、15，所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案；（2）設(shè)總利潤為W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000=30（x﹣9）2+9570，當(dāng)x＞9時(shí)，W隨x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴當(dāng)x=15時(shí)，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），如圖，拋物線y=﹣x2+2x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，過頂點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)F，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）求△EMF與△BNE的面積之比．解：（1）由題意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)M（1，4）；∵A（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．8．（2014年廣東）如圖，已知拋物線y=x2﹣x﹣3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．當(dāng)x=0，y=﹣3．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴對稱軸為直線x==1．∵AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，∴當(dāng)△MAD的面積與△CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：①點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線對稱性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）；②點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3．當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）．綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）結(jié)論：存在．如圖所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：①若BC∥AP1，此時(shí)梯形為ABCP1．由點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為B，可知BC∥x軸，則P1與D點(diǎn)重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四邊形ABCP1為梯形；②若AB∥CP2，此時(shí)梯形為ABCP2．∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，∴可設(shè)直線CP2的解析式為y=x+n，將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直線CP2的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)P2在拋物線y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化簡得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四邊形ABCP2為梯形．9.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為A（﹣1，﹣1），與x軸交點(diǎn)M（1，0）．C為x軸上一點(diǎn)，且∠CAO=90°，線段AC的延長線交拋物線于B點(diǎn)，另有點(diǎn)F（﹣1，0）（1）求拋物線的解析式（2）求直線Ac的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)B做x軸的垂線，交x軸于Q點(diǎn)，交過點(diǎn)D（0，﹣2）且垂直于y軸的直線于E點(diǎn)，若P是△BEF的邊EF上的任意一點(diǎn)，是否存在BP⊥EF？若存在，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+1）2﹣1，將（1，0）代入得：0=a（1+1）2﹣1，解得；a=，∴拋物線的解析式為：y=（x+1）2﹣1；（2）∵A（﹣1，﹣1），∴∠COA=45°，∵∠CAO=90°，∴△CAO是等腰直角三角形，∴AC=AO，∴C（﹣2，0），設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，將A，C點(diǎn)代入得出：，解得：，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，將y=（x+1）2﹣1和y=﹣x﹣2聯(lián)立得：，解得：，，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣2，B點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣5，3）（3）過點(diǎn)B作BP⊥EF于點(diǎn)P，由題意可得出：E（﹣5，﹣2），設(shè)直線EF的解析式為：y=dx+c，則，解得：，∴直線EF的解析式為：y=x+，∵直線BP⊥EF，∴設(shè)直線BP的解析式為：y=﹣2x+e，將B（﹣5，3）代入得出：3=﹣2×（﹣5）+e，解得：e=﹣7，∴直線BP的解析式為：y=﹣2x﹣7，∴將y=﹣2x﹣7和y=x+聯(lián)立得：，解得：，∴P（﹣3，﹣1），故存在P點(diǎn)使得BP⊥EF，此時(shí)P（﹣3，﹣1）．10.（2014?武漢）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表：時(shí)間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價(jià)（元/件）x+4090每天銷量（件）200﹣2x已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果．解：（1）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+200，當(dāng)50≤x≤90時(shí)y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，綜上所述：y=；（2）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，二次函數(shù)開口下，二次函數(shù)對稱軸為x=45，當(dāng)x=45時(shí)，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=50時(shí)，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）當(dāng)20≤x≤60時(shí)，每天銷售利潤不低于4800元．11.（2014?武漢，）如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)（4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4）；拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4．（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？解（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，解得a=﹣1．故拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）依題意有：OC=3，OE=4，∴CE===5，當(dāng)∠QPC=90°時(shí)，∵cos∠QPC==，∴=，解得t=；當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，∵cos∠QCP==，∴=，解得t=．∴當(dāng)t=或t=時(shí)，△PCQ為直角三角形；（3）∵A（1，4），C（3，0），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得．故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，將x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣，∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQ?AG+FQ?DG=FQ（AG+DG）=FQ?AD=×2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1，∴當(dāng)t=2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1．故答案為：（1，4），y=﹣（x﹣1）2+4．12.（14?孝感）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；（2）試說明x1＜0，x2＜0；（3）若拋物線y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OA?OB﹣3，求k的值．解：（1）由題意可知：△=【﹣（2k﹣3）】2﹣4（k2+1）＞0，即﹣12k+5＞0∴．（2）∵，∴x1＜0，x2＜0．（3）依題意，不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）．∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），OA?OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，∵OA+OB=2OA?OB﹣3，∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，解得k1=1，k2=﹣2．∵，∴k=﹣2．（2014?邵陽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）若m=2，n=1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣1），求∠ACB大??；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．解（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），∴x=m或x=n時(shí)，y都為0，∵m＞n，且點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，∴A（m，0），B（n，0）．∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）．（2）∵拋物線y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）過C（0，﹣1），∴﹣1=mn，∴n=﹣，∵B（n，0），∴B（﹣，0）．∵AO=m，BO=﹣，CO=1∴AC==，BC==，AB=AO+BO=m﹣，∵（m﹣）2=（）2+（）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，∴AC==，BC==|n|，AB=xA﹣xB=2﹣n．①當(dāng)AC=BC時(shí)，=|n|，解得n=2（A、B兩點(diǎn)重合，舍去）或n=﹣2；②當(dāng)AC=AB時(shí)，=2﹣n，解得n=0（B、C兩點(diǎn)重合，舍去）或n=﹣；③當(dāng)BC=AB時(shí)，|n|=2﹣n，當(dāng)n＞0時(shí)，n=2﹣n，解得n=，當(dāng)n＜0時(shí)，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．綜上所述，n=﹣2，﹣，﹣，時(shí)，△ABC是等腰三角形．已知函數(shù)y=ax2+bx+c圖象過A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+1，并寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．解（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象過A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5），∴，∴a=，b=﹣，c=﹣1，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x﹣1；（2）當(dāng)y=0時(shí)，得x2﹣x﹣1=0；解得x1=2，x2=﹣1，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0）；（3）圖象如圖，當(dāng)一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)值時(shí)，x取值范圍是﹣1＜x＜4．15．（2014?四川）如圖，已知拋物線y=ax2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線y=x﹣2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線y=x﹣2與y軸的交點(diǎn)，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：△ABC為直角三角形；（3）△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由解：（1）∵直線y=x﹣2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，∴B（4，0），C（0，﹣2），∵y=ax2﹣x+c過B、C兩點(diǎn)，∴，解得，∴y=x2﹣x﹣2．（2）證明：如圖1，連接AC，∵y=x2﹣x﹣2與x負(fù)半軸交于A點(diǎn)，∴A（﹣1，0），在Rt△AOC中，∵AO=1，OC=2，∴AC=，在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴BC=2，∵AB=AO+BO=1+4=5，∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC為直角三角形．（3）解：△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為，理由如下：①一點(diǎn)為C，AB、AC、BC邊上各有一點(diǎn)，如圖2，此時(shí)△AGF∽△ACB∽△FEB．設(shè)GC=x，AG=﹣x，∵，∴，∴GF=2﹣2x，∴S=GC?GF=x?（2）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+，即當(dāng)x=時(shí)，S最大，為．②AB邊上有兩點(diǎn)，AC、BC邊上各有一點(diǎn)，如圖3，此△CDE∽△CAB∽△GAD，設(shè)GD=x，∵，∴，∴AD=x，∴CD=CA﹣AD=﹣x，∵，∴，∴DE=5﹣x，∴S=GD?DE=x?（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣[（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，即x=1時(shí)，S最大，為．綜上所述，△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG，面積為．16．（2014?浙江）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4）①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）①∵AC∥x軸，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，4）．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）把A、C代入y═﹣x2+bx+c得，得，解得；②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由①得拋物線的解析式為y═﹣x2﹣4x+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，8），過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，∴四邊形AOBD是平行四邊形．（2）存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，∴OC=c，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c），∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c，∵將A點(diǎn)代入可得c=﹣+c?c+c，∴橫坐標(biāo)為±c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）或者（﹣2，2）．．17（2014?湘潭）△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值；（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan∠EDF=，求此圓直徑．解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD?DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE?EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，最大值為3．∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為3．（3）如圖2，∵A、D、F、E四點(diǎn)共圓，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圓的直徑．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．設(shè)EC=x，則EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=a．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圓直徑長為．18.（2014?益陽，）如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A、B，并與X軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．解（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∴A（1，0），B（0，3）．又∵拋物線拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（0，3），∴，解得，故a，k的值分別為1，﹣1；（2）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3﹣m）2，∴m=2，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；（3）當(dāng)點(diǎn)N在對稱軸上時(shí)，NC與AC不垂直，所以AC應(yīng)為正方形的對角線．又∵對稱軸x=2是AC的中垂線，∴M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（2，﹣1）重合，點(diǎn)N和P關(guān)于x軸對稱，其坐標(biāo)為（2，1）．此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四邊形AMCN為正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形的邊長為．19（14?株洲）已知拋物線y=x2﹣（k+2）x+和直線y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，求x1?x2?x3的最大值；（3）如果拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，直線AD交直線CE于點(diǎn)G（如圖），且CA?GE=CG?AB，求拋物線的解析式．解：（1）證明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，∵（k﹣）2≥0，∴△＞0，∴無論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）解：∵拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，∴x1?x2=，令0=（k+1）x+（k+1）2，解得：x=﹣（k+1），即x3=﹣（k+1），∴x1?x2?x3=﹣（k+1）?=﹣（k+）2+，∴x1?x2?x3的最大值為：；（3）解：∵CA?GE=CG?AB，∴，∵∠ACG=∠BCE，∴△CAG∽△CBE，∴∠CAG=∠CBE，∵∠AOD=∠BOE，∴△OAD∽△OBE，∴，∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，∴OA?OB=，OD=，OE=（k+1）2，∴OA?OB=OD，∴，∴OB2=OE，∴OB=k+1，∴點(diǎn)B（k+1，0），將點(diǎn)B代入拋物線y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，解得：k=2，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3．20.（2014年江蘇）已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？．（1）證明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0沒有實(shí)數(shù)解，即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；（2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函數(shù)y=（x﹣m）2+3的圖象延y軸向下平移3個(gè)單位長度后，得到函數(shù)y=（x﹣m）2的圖象，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），因此，這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，把函數(shù)y=x2﹣2mx+m2+3的圖象延y軸向下平移3個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．21.（2014?泰州）某研究所將某種材料加熱到1000℃時(shí)停止加熱，并立即將材料分為A、B兩組，采用不同工藝做降溫對比實(shí)驗(yàn)，設(shè)降溫開始后經(jīng)過xmin時(shí)，A、B兩組材料的溫度分別為yA℃、yB℃，yA、yB與x的函數(shù)關(guān)系式分別為yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分圖象如圖所示），當(dāng)x=40時(shí)，兩組材料的溫度相同．（1）分別求yA、yB關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)A組材料的溫度降至120℃時(shí)，B組材料的溫度是多少？（3）在0＜x＜40的什么時(shí)刻，兩組材料溫差最大？解：（1）由題意可得出：yB=（x﹣60）2+m經(jīng)過（0，1000），則1000=（0﹣60）2+m，解得：m=100，∴yB=（x﹣60）2+100，當(dāng)x=40時(shí)，yB=×（40﹣60）2+100，解得：yB=200，yA=kx+b，經(jīng)過（0，1000），（40，200），則，解得：，∴yA=﹣20x+1000；（2）當(dāng)A組材料的溫度降至120℃時(shí)，120=﹣20x+1000，解得：x=44，當(dāng)x=44，yB=（44﹣60）2+100=164（℃），∴B組材料的溫度是164℃；當(dāng)0＜x＜40時(shí)，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴當(dāng)x=20時(shí)，兩組材料溫差最大為100℃．22.（2014?揚(yáng)州）某店因?yàn)榻?jīng)營不善欠下38400元的無息貸款的債務(wù)，想轉(zhuǎn)行經(jīng)營服裝專賣店又缺少資金．“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經(jīng)營的利潤償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計(jì)利息）．已知該店代理的品牌服裝的進(jìn)價(jià)為每件40元，該品牌服裝日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系可用圖中的一條折線（實(shí)線）來表示．該店應(yīng)支付員工的工資為每人每天82元，每天還應(yīng)支付其它費(fèi)用為106元（不包含債務(wù)）．（1）求日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該店暫不考慮償還債務(wù)，當(dāng)某天的銷售價(jià)為48元/件時(shí)，當(dāng)天正好收支平衡（收人=支出），求該店員工的人數(shù)；（3）若該店只有2名員工，則該店最早需要多少天能還清所有債務(wù)，此時(shí)每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為多少元？解：（1）當(dāng)40≤x≤58時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=k1x+b1，由圖象可得，解得．∴y=2x+140．當(dāng)58＜x≤71時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=k2x+b2，由圖象得，解得，∴y=﹣x+82，綜上所述：y=；（2）設(shè)人數(shù)為a，當(dāng)x=48時(shí)，y=﹣2×48+140=44，∴（48﹣40）×44=106+82a，解得a=3；（3）設(shè)需要b天，該店還清所有債務(wù)，則：b[（x﹣40）?y﹣82×2﹣106]≥68400，∴b≥，當(dāng)40≤x≤58時(shí)，∴b≥=，x=﹣時(shí)，﹣2x2+220x﹣5870的最大值為180，∴b，即b≥380；當(dāng)58＜x≤71時(shí)，b=，當(dāng)x=﹣=61時(shí)，﹣x2+122x﹣3550的最大值為171，∴b，即b≥400．綜合兩種情形得b≥380，即該店最早需要380天能還清所有債務(wù)，此時(shí)每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為55元．23.（2014?濱州）已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而變化的情況；（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及△ABC的面積．解答：解：（1）y=x2﹣4xx+3=x2﹣4x+4﹣4+3=（x﹣2）2﹣1，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣1），當(dāng)x≤2時(shí)，y隨x的增大而減少；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；（2）解方程x2﹣4x+3=0得：x1=3，x2=1，即A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），過C作CD⊥AB于D，∵AB=2，CD=1，∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．232424.（2014?德州，）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+x，則，解得：，則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP2，AC交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．∴P2N∥x軸，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），則n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC