三角恒等變換講義

《三角恒等變換》廣州卓越教育集團教育學院2011級第三期數(shù)學班沈榮春開心哈哈三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割。制勝裝備和與差的三角函數(shù)公式會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式；能利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式；能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他們的內(nèi)在聯(lián)系；簡單的三角恒等變換能運用上述公式進行簡單的恒等變換；戰(zhàn)前動員失之毫厘，謬以千里1967年8月23日在電視上，觀眾們看到了宇航員科馬洛夫鎮(zhèn)定自若的形象。他面帶微笑叮囑女兒說：“你學習時，要認真對待每一個小數(shù)點。聯(lián)盟一號今天發(fā)生的一切，就是因為地面檢查時忽略了一個小數(shù)點……”即使是一個小數(shù)點的錯誤，也會導致永遠無法彌補的悲壯告別。古羅馬的愷撒大帝有句名言：“在戰(zhàn)爭中，重大事件常常就是小事所造成的后果?！睋Q成我們中國的警句大概就是“失之毫厘，謬以千里”吧。戰(zhàn)況分析重點導出兩角和差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎(chǔ)；難點兩角差的余弦公式的探索與證明?？键c兩角和與差的三角函數(shù)；二倍角的三角函數(shù)在求值、化簡中的應用；化一公式的使用。易錯點用方程的思想把求多項式取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求變量取值范圍問題是擴大了自變量的取值范圍。掃清障礙1．兩角和與差的三角函數(shù)；；。2．二倍角公式；；。3．半角公式（）4．三角函數(shù)式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；；。（）（2）輔助角公式，。5．三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。6．三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。小試牛刀1.已知sin=,且∈，那么的值等于.2.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan2=.3.設(shè)∈（0，），若sin=，則cos（+）=.4.（2008·山東理）已知cos+sin=,則sin的值是.5.函數(shù)y=cosx(sinx+cosx)的最小正周期為. 6.若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值.卓越兵法【兵法案例】【作戰(zhàn)策略】（1）（2）解析：【適用兵法】在利用判別式進行三角函數(shù)運算時，不要忽視對判別式△≥0的情況；沙場點兵1.y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值分別為.2.（2009·徐州六縣一區(qū)聯(lián)考）設(shè)sin=(＜＜),tan(-)=,則tan(-)的值等于.3.cos(+)=,sin=,,∈，那么cos的值為.4.若cos(+)=,cos(-)=,則tan·tan=.5.已知∈,∈且sin(+)=,cos=-.求sin.6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角、，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為，.（1）求tan(+)的值；（2）求+2的值.7.已知cos()=-,sin(-)=,且＜＜π，0＜＜，求cos的值.錦旗飄揚已知tan、tan是方程x2-4x-2=0的兩個實根，求:cos2(+)+2sin(+)cos(+)-3sin2(+)的值.課后小結(jié)在學習中要切實掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，把我哥哥公式的結(jié)構(gòu)特征，要善于變通，體現(xiàn)一個活字，明確各個公式的適用范圍；在解三角問題時，我們常常根據(jù)具體問題運用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)或方程來解題。掌握各個公式的推導過程，是理解和運用公式的首要環(huán)節(jié)，熟練地運用公式進行“升冪”和“降冪”；三角函數(shù)的化簡與求值的難點在于眾多三角公式的靈活運用和解題突破口的合理選擇，認真分析所求式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個三角函數(shù)及角的相互關(guān)系式靈活選用公式的基礎(chǔ)，是恰當尋找解題思路起點的關(guān)鍵所在；求值常用的方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法、“1”的代換法等；要掌握求值問題的解題規(guī)律和途徑，尋求角之間關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，正確選用公式，靈活地掌握各個公式的正用、逆用、變形用。小試牛刀答案：1、；2、-；3、4、5、6、解∵A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜,＜B＜,∴＜A+B＜2②，由①②知，A+B=沙場點兵答案：1.,2-2.-3.4.5.解∵∈，cos=-,∴sin=，又∵0＜＜,＜＜,∴＜+＜,又sin(+)=,∴＜+＜,cos(+)=-=-=-,∴sin=sin［(+)-］=sin(+)cos-cos(+)sin=·-·=.6.解由條件得cos=,cos=.∵,為銳角,∴sin==,sin==.因此tan==7,tan==.(1)tan(+)===-3.(2)∵tan2===,∴tan(+2)===-1.∵,為銳角,∴0＜+2＜,∴+2=.7.解