2023-2024學(xué)年四川省達(dá)州外國(guó)語學(xué)校高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat20頁(yè)2023-2024學(xué)年四川省達(dá)州外國(guó)語學(xué)校高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點(diǎn).【詳解】點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是故選：C2．一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】通過幾何體結(jié)合三視圖的畫圖方法，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D不正確，幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確故選：B.3．如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原四邊形，由梯形面積公式求解．【詳解】如圖，作平面直角坐標(biāo)系，使與重合，在軸上，且，在軸上，且，

過作，且，連接，則直角梯形為原平面圖形，其面積為．故選：C4．如圖，G，H，M，N均是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號(hào)為（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義即可結(jié)合圖形關(guān)系求解.【詳解】在題圖②④中，直線GH，MN是異面直線；在題圖①中，由G，M均為所在棱的中點(diǎn)，易得；在題圖③中，連接GM，由G，M均為所在棱的中點(diǎn)，所以,且，易得四邊形GMNH為梯形，則GH與MN相交．

故選：D．5．下列說法正確的是（

）A．如果直線l不平行于平面α，那么平面α內(nèi)不存在與l平行的直線B．如果直線//平面α，平面//平面β，那么直線//平面βC．如果直線l與平面α相交，平面//平面β，那么直線l與平面β也相交D．如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的關(guān)系判斷A，根據(jù)線面平行、面面平行的性質(zhì)判斷B，由直線與平面相交即平面平行的性質(zhì)判斷C，根據(jù)平面垂直的性質(zhì)判斷D.【詳解】如果直線l不平行于平面α，例如，則平面α內(nèi)存在與l平行的直線，故A錯(cuò)誤；如果直線//平面α，平面//平面β，那么直線//平面β或，故B錯(cuò)誤；如果直線l與平面α相交，平面//平面β，直線l與平面β也相交，故C正確；如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：C6．已知正三棱臺(tái)的上?下底面的棱長(zhǎng)分別為3和6，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該正三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用勾股定理求出三棱臺(tái)的高，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】如圖畫出正三棱臺(tái)，連接上下底面中心，即為三棱臺(tái)的高，過作，垂足為，則，,又上下底面外接圓半徑分別，，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以正三棱臺(tái)的高為，因?yàn)檎馀_(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為3，6，所以上下底面面積分別為，，所以其體積為.故選：D.7．如圖，球面上有、、三點(diǎn)，，，球心到平面的距離是，則球的體積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出外接圓的半徑，結(jié)合已知條件可求得球的半徑，再利用球體體積公式可求得球的體積.【詳解】在中，，，則外接圓的直徑為，所以，，因此，球心到平面的距離為，所以，球的半徑為，因此，球的體積為.故選：B.8．如圖正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與所成角為B．三棱錐的體積為定值C．平面D．二面角是定值【答案】A【分析】利用線面平行和線面垂直的判定定理和棱錐的體積公式以及二面角的定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)判斷即可得到答案.【詳解】選項(xiàng)A，AC⊥BD，AC⊥BB1，且BDAC⊥面DD1B1B，即得AC⊥BE，此命題錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD1B1B距離是定值，故三棱錐A﹣BEF的體積為定值，此命題正確；選項(xiàng)C，由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個(gè)底面平行，EF在其一面上且EF與平面ABCD無公共點(diǎn)，故EF∥平面ABCD，此命題正確；選項(xiàng)D，由于E、F為線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故二面角A﹣EF﹣B的平面角大小始終是二面角A﹣B1D1﹣B的平面角大小，為定值，故正確；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查棱錐體積公式以及二面角定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．以下各角中可能為鈍角的有（

）A．異面直線所成角 B．直線和平面所成角C．二面角的平面角 D．兩個(gè)向量形成的角【答案】CD【分析】根據(jù)各類角的范圍直接判斷可得.【詳解】異面直線所成角的范圍為，A錯(cuò)誤；直線和平面所成角的范圍為，B錯(cuò)誤；二面角的平面角的范圍為，C正確；兩個(gè)向量形成的角的范圍為，C正確.故選：CD10．《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看做一個(gè)平面，墻外的道路?秋千繩?秋千板簡(jiǎn)單看做是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中（

）A．秋千繩與墻面始終平行 B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直 D．秋千板與道路始終垂直【答案】ACD【分析】根據(jù)圖中秋千繩，墻面，道路的位置關(guān)系以及相關(guān)的線面，線線垂直的判定定理、性質(zhì)定理等即可判斷．【詳解】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化.而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直．故選：ACD.11．如圖，已知分別是的中點(diǎn)，分別在上，，二面角的大小為，且平面，則以下說法正確的是（

）

A．四點(diǎn)共面B．平面C．若直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D．若的面積為6，則的面積為3【答案】ACD【分析】由題意證出即可判斷A項(xiàng)；假設(shè)B項(xiàng)正確，然后利用直線與平面平行的性質(zhì)得出，從而推出與已知條件矛盾的結(jié)論，可判斷B項(xiàng)；利用基本事實(shí)3可判斷C項(xiàng)；通過作出二面角的平面角，從而找到與的公共邊上的高之間的關(guān)系，從而求出結(jié)果，可判斷D項(xiàng).【詳解】由知EF平行且等于，又分別是的中點(diǎn)，所以GH平行且等于，∴，因此E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，A項(xiàng)正確；假設(shè)平面ADC成立，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，又G是BC的中點(diǎn)，所以F是AB的中點(diǎn)，與矛盾，B項(xiàng)不正確；因?yàn)橹本€交于點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，，所以平面，同理平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以P，A，C三點(diǎn)共線，因此C正確；在平面內(nèi)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，即，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，所以，D正確.故選：ACD.12．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面ABC，，且.若鱉臑外接球的體積為，則當(dāng)該鱉臑的體積最大時(shí)，下列說法正確的是（

）

A． B．C．該鱉臑體積的最大值為 D．該鱉臑的表面積為【答案】ABD【分析】根據(jù)鱉臑的幾何特征，分別根據(jù)外接球半徑求出邊長(zhǎng)判斷A,B選項(xiàng)，根據(jù)體積及表面積公式計(jì)算判斷C,D選項(xiàng)即可.【詳解】在鱉臑中，四個(gè)面都為直角三角形，可知PC的中點(diǎn)O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，所以點(diǎn)O是鱉臑外接球的球心，由外接球的體積為，得外接球半徑，所以.設(shè)，，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值,A,B選項(xiàng)正確，C錯(cuò)誤；此時(shí)，所以鱉臑的表面積，D選項(xiàng)正確.故選:ABD.三、填空題13．已知向量，，若與垂直，則.【答案】【分析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.14．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則直線和平面所成角的正切值為.【答案】【分析】作出直線和平面所成角，由此求得所成角的正切值.【詳解】是的中點(diǎn)，所以，在直三棱柱中，，由于，所以平面.過作，垂足為，則，由于，所以平面，所以是直線和平面所成角，.所以直線和平面所成角的正切值為.故答案為：15．如圖三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為菱形，∠，交于點(diǎn)，側(cè)面，且為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】過點(diǎn)作平面，連接，則，由此可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為菱形，∠，交于點(diǎn)，側(cè)面，且為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，過作平面，垂足是，連接，，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為:.16．在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)平面平面，據(jù)此可求外接球的半徑，從而可求表面積.【詳解】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)平面平面，如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則，設(shè)分別為外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且，且，平面，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，故平面，故，同理，，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫?，平面，故，故四邊形矩形，故，而，故外接球半徑，故外接球的表面積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求幾何體的外接球的半徑，關(guān)鍵是確定球心的位置，一般通過過不同面的外接圓的圓心且垂直于該面的直線的交點(diǎn)來確定.四、解答題17．如圖，某幾何體的下部分是長(zhǎng)?寬均為8，高為3的長(zhǎng)方體，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）按照公式求出長(zhǎng)方體和四棱錐的體積，求和即可；（2）先找到四棱錐側(cè)面的高，然后可求出四棱錐的側(cè)面積，繼而求長(zhǎng)方體的表面積，求和即可.【詳解】連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，（1）∴（2）∵，∴【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求棱錐的表面積時(shí)要注意高為面的高，而不是棱錐的高.18．如圖所示，已知圓柱的側(cè)面展開圖的面積為，底面直徑，為底面上異于，的點(diǎn)，且求：(1)二面角的余弦值(2)點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，證明平面，即可得到，則為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；（2）在平面中，作于，即可證明平面，即為點(diǎn)到平面的距離，在中，利用等面積法求出，即可得解．【詳解】（1）是底面的直徑，為底面上異于，的點(diǎn)，，又平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，為二面角的平面角．因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖的面積為，底面直徑，所以，，在中，，所以，在中，，所以，所以二面角的余弦值為；（2）在平面中，作于，由（1）知，平面，又平面，則，，，平面，所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離，在中，，即點(diǎn)到平面的距離為.

19．如圖所示，底面為正方形的四棱錐中，，，，與相交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)上是否存在點(diǎn)F，使平面平面．若存在，請(qǐng)指出并給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，證明見解析【分析】（1）利用線面平行的判斷定理，判斷，即可證明線面平行；（2）根據(jù)面面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為判斷線線平行，即可確定點(diǎn)的位置，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面；（2）存在，點(diǎn)是的中點(diǎn)，此時(shí)，連結(jié)

因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，且，且平面，所以平面平面，所以上存在中點(diǎn)，使平面平面.20．在四棱錐中，底面是正方形，若，，．

(1)求證：平面平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到平面平面.（2）連接，由可得與所成的角為異面直線與所成角，再求得，從而可得，即可得到答案.【詳解】（1）

取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）

因?yàn)?，連接，則與所成的角為異面直線與所成角，所以或它的補(bǔ)角為所求的角，由題意可得，，所以，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.21．如圖，在直三棱柱中，.

(1)求證：；(2)求與平面所成的角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)和各棱長(zhǎng)可知，連接，利用線面垂直的判定定理可得平面，易知四邊形為菱形，可得平面，由線面垂直的性質(zhì)即可得；（2）取的中點(diǎn)，連接，可證明是與平面所成角的平面角，在中，易知，，即與平面所成的角的大小為.【詳解】（1）連接與相交于點(diǎn)，如下圖所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四邊形為菱形，即又，且平面，平面，又平面，.（2）取的中點(diǎn)，連接.如下圖所示；

，又平面平面，又，且平面，平面，是在面內(nèi)的射影，是與平面所成角的平面角.在中，易知，，即與平面所成的角的大小為.22．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE＝2，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．