2021年中考數(shù)學(xué) 沖刺訓(xùn)練：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)沖刺訓(xùn)練：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

一、選擇題

1.某種服裝的銷售利潤y（萬元）與銷售數(shù)量M萬件）之間滿足函數(shù)解析式>=一2/

+4x+5,則利潤的（）

A.最大值為5萬元B.最大值為7萬元

C.最小值為5萬元D.最小值為7萬元

2.某廣場有一噴水池，水從地面噴出，以水平地面為X軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-f+4x（單位：

米）的一部分，則水噴出的最大高度是（）

A.4米B.3米C.2米D.1米

3.如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場ABCD,其中NC=120。.若新建

墻8C與CO總長為12m,則該梯形儲料場A8CO的最大面積是（）

A.18mB.18V3m02473m

4.如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為。，B,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，水平

直線0B為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可近似看成拋物線

2

>.=-J_（X_80）+16,橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面CO處，有ACUx軸，

400

若04=10米，則橋面離水面的高度AC為（）

A.16套米B.U米

4

C.162米D.芭米

404

5.某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線組成的.為了牢固起見，每

段防護(hù)欄需要間距04m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5

m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（）

A.50mB.100m

C.160mD.200m

6.中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋（如圖①），它由五個高度不同，跨徑也不

同的拋物線形鋼拱通過吊桿，拉索與主梁相連.最高的鋼拱如圖②所示，此鋼拱

（近似看成二次函數(shù)的圖象——拋物線）在同一豎直平面內(nèi)，與拱腳所在的水平面

相交于A,B兩點(diǎn),拱高為78米（即最高點(diǎn)。到45的距離為78米），跨徑為90

米（即AB=90米），以最高點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于的直線為光軸建立平

面直角坐標(biāo)系.則此拋物線形鋼拱的函數(shù)解析式為（）

①②

A.尸懸B.y=-^

cJ32r132

C-尸1350rD-y=~T350x

7.一位籃球運(yùn)動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運(yùn)

動，當(dāng)球運(yùn)動的水平距離為2.5m時，達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃筐

內(nèi).已知籃圈中心距離地面高度為3.05m,在如圖（示意圖）所示的平面直角坐

標(biāo)系中，下列說法正確的是（）

B.籃圈中心的坐標(biāo)是(4,3.05)

C.此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3.5,0)

D.籃球出手時離地面的高度是2m

8.如圖，將一個小球從斜坡上的點(diǎn)O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y

=4x-52刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，下列結(jié)論錯誤的是()

A.當(dāng)小球拋出高度達(dá)到75m時，小球距點(diǎn)。的水平距禺為3m

B.小球距點(diǎn)。的水平距離超過4m后呈下降趨勢

C.小球落地點(diǎn)距點(diǎn)。的水平距離為7m

D.小球距點(diǎn)0的水平距離為2.5m和5.5m時的高度相同

二、填空題

9.某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價，若每

件商品的售價為。元，則可賣出(350—10a)件.但物價部門限定每件商品加價不

能超過進(jìn)價的40%,若商店想獲得最大利潤，則每件商品的價格應(yīng)定為

元.

10.如圖，一塊矩形土地A8CO由籬笆圍著，并且由一條與CO邊平行的籬笆

分開.已知籬笆的總長為900m(籬笆的厚度忽略不計(jì))，當(dāng)m時，矩

形土地ABCD的面積最大.

4D

B'------>-----'C

11.豎直上拋的小球離地高度是它運(yùn)動時間的二次函數(shù)，小軍相隔1秒依次豎直

向上拋出兩個小球，假設(shè)兩個小球離手時離地高度相同，在各自拋出后1.1秒時

達(dá)到相同的最大離地高度，第一個小球拋出后r秒時在空中與第二個小球的離地

高度相同，則匚.

12.在廣安市中考體考前，某初三學(xué)生對自己某次實(shí)心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，

發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為曠=二/+芍+3,由此可

1233

知該生此次實(shí)心球訓(xùn)練的成績?yōu)槊?

13.某大學(xué)生利用業(yè)余時間銷售一種進(jìn)價為60元/件的文化衫，前期了解并整理

了銷售這種文化衫的相關(guān)信息如下：

⑴月銷量y（件）與售價x（元/件）的關(guān)系滿足尸-2x+400；

（2）工商部門限制售價x滿足70S爛150（計(jì)算月利潤時不考慮其他成本）.

給出下列結(jié)論：

①這種文化衫的月銷量最小為100件；

②這種文化衫的月銷量最大為260件；

③銷售這種文化衫的月利潤最小為2600元；

④銷售這種文化衫的月利潤最大為9000元.

其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號都填上）

14.如圖所示是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面寬為12m時，橋拱頂部離水面4m,

以水平方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系.若選取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時的拋物線解

析式為y=-1（x-6）2+4,則選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時的拋物線解析式為

15.如圖，小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千.拴

繩子的地方距地面高度都是2.5m,繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1m的小明距較近的那

棵樹0.5m時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)到地面的距離為m.

16.如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)與水平橋面相交于A,B

兩點(diǎn)，橋拱最高點(diǎn)C1到A8的距離為9m,48=36m,D,E為橋拱底部的兩點(diǎn),

且點(diǎn)￡到直線4?的距離為7m,則0E的長為m.

三、解答題

17.某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的周銷售量M件）是售價式元

/件）的一次函數(shù)，其售價、周銷售量、周銷售利潤同元）的三組對應(yīng)值如下表：

售價式元/件）506080

周銷售量武件）1008040

周銷售利潤

100016001600

w（元）

注:周銷售利潤=周銷售量x（售價-進(jìn)價）

⑴①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

②該商品進(jìn)價是元/件;當(dāng)售價是元/件時，周銷售利潤最大，最

大利潤是元；

⑵由于某種原因，該商品進(jìn)價提高了m元/件（機(jī)＞0）,物價部門規(guī)定該商品售價

不得超過65元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足（1）中的函

數(shù)關(guān)系.若周銷售最大利潤是1400元，求機(jī)的值.

18.如圖，人工噴泉有一個豎直的噴水槍A8,噴水口A距地面2.25m,噴出水流

的運(yùn)動路線是拋物線的一部分.水流的最高點(diǎn)P到噴水槍AB所在直線的距離為

1m,且到地面的距離為3m.求水流的落地點(diǎn)C到水槍底部3的距離.

19.已知某商品的進(jìn)價為每件40元，現(xiàn)售價為每件60元，每星期可賣出300件,

經(jīng)市場調(diào)查反映，每件每漲價1元，每星期可少賣出10件.

(1)要想每星期獲得6090元的利潤，該商品每件的價格應(yīng)定為多少元？

⑵每星期能否獲利7000元？試說明理由.

(3)該商品每件的價格定為多少元時，每星期獲利最大，最大利潤是多少？

20.某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)房的價格為200元時，每天入住的房間數(shù)為

60間，經(jīng)市場調(diào)查表明，該賓館每間標(biāo)準(zhǔn)房的價格在170~240元之間(含170元,

240元)浮動時，每天入住的房間數(shù)M間)與每間標(biāo)準(zhǔn)房的價格N元)的數(shù)據(jù)如下表:

式元)…190200210220...

>(間)...65605550...

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，并畫出圖象.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)設(shè)客房的日營業(yè)額為.(元)，若不考慮其他因素，問賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價格定為多

少元時，客房的日營業(yè)額最大?最大為多少元？

21.如圖所示，在矩形ABC。中，AB=18cm,AD=4cm,點(diǎn)尸，。分別從點(diǎn)A,

8同時出發(fā)，點(diǎn)P在邊A3上沿A8方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動，點(diǎn)。在

邊上沿方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動.當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)均停

止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為xs,△的面積為yen?.

(1)求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出光的取值范圍；

(2)求^PBQ的面積的最大值.

DC

4fpB

22.春節(jié)期間某水庫養(yǎng)殖場為適應(yīng)市場需求，連續(xù)用20天時間，采用每天降低水

位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進(jìn)行捕撈、銷售.

九(1)班數(shù)學(xué)建模興趣小組根據(jù)調(diào)查，整理出第x天(1WXW20且x為整數(shù))的捕撈

與銷售的相關(guān)信息如下：

鮮魚銷售單價(元伙g)20

單位捕撈成本(元/依)5-5

捕撈量(依)950-1Ox

(1)在此期間該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比是如何變化的？

(2)假定該養(yǎng)殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當(dāng)天全部售出.求第九

天的收入y(元)與x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式；(當(dāng)天收入=日銷售額一日捕撈成本)

(3)試說明(2)中的函數(shù)y隨x的變化情況，并指出在第幾天y取得最大值，最大

值是多少？

23.宏興企業(yè)接到一批產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，按要求必須在14天內(nèi)完成.已知每件產(chǎn)

品的出廠價為60元.工人甲第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為)，件,>與x滿足如下關(guān)系:

7.5x(0<x<4)，

y=*

,l5x+10(4<A<14).

⑴工人甲第幾天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為70件？

(2)設(shè)第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品成本為P元/件，P與x之間的函數(shù)圖象如圖.工人甲第x

天創(chuàng)造的利潤為W元，求W與尤之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時，工人甲

所創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是多少.

24.(2019?紹興)有一塊形狀如圖的五邊形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,

NA=ZB=90。，ZC=135°,Z￡>90°.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其

中一邊在AE上，并使所截矩形的面積盡可能大.

(1)若所截矩形材料的一條邊是8c或AE,求矩形材料的面積；

(2)能否截出比(1)中面積更大的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最

大值，如果不能，請說明理由.

2021中考數(shù)學(xué)沖刺訓(xùn)練：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

-答案

一、選擇題

1.【答案】B

2.【答案】A［解析］y=一父一4x+4)+4=—(x—2尸+4,二水噴出的最大高度

是4米.

3.【答案】C［解析］如圖I,過點(diǎn)。作CELA3于E,設(shè)CD=x,

則四邊形ADCE為矩形，CO=AE=x,NDCE=NCEB=90。,ZBCE=ZBCD-Z

DCE=3Q°,BC=\2-x.

在中，VZCEB=90°,：.BE=-BC=6--x,

22

/.AD=CE=\^3BE=6yJ3—日x,AB=AE+BE=x+6-^x=^x+6,

???梯形ABCD的面積

W(CO+A8).CE=；(x+*6).(6百—*)=-娛2+3晝+18后苧x-4y+24日，

...當(dāng)x=4時，S城大=24日，即CD長為4m時，使梯形儲料場ABCD的面積最大,

最大面積為24舊n?,故選C

4.【答案】B［解析「.NC_Lx軸,04=10米，

.?.點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-10.

當(dāng)x=-10時，y=--^-(X-80)2+16=-(-10-80)+16=—,

.?.c(；0,考，

橋面離水面的高度AC為V米.

4

故選B.

5.【答案】C［解析］以2m長線段所在直線為x軸，以其垂直平分線為y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式，再求出不銹鋼支柱的長度.

6.【答案】B［解析］設(shè)二次函數(shù)的解析式為丫=2*2.由題可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一

45,-78),代入解析式可得一78=a(—45尸，解得a=一建，.?.二次函數(shù)解析式

為y=一建x?.故選B.

7.【答案】A［解析］..?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3.5),

???可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+3.5.

?.?籃圈中心(1.5，3.05)在拋物線上，3.05=ax1.52+3.5.解得a=-1..\y=-1x2

+3.5.可見選項(xiàng)A正確.

由圖示知，籃圈中心的坐標(biāo)是(1.5,3.05),可見選項(xiàng)B錯誤.

由圖示知，此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3.5),可見選項(xiàng)C錯誤.

將x=-2.5代入拋物線的解析式，得y=—gx(—2.5)2+3.5=2.25,.?.這次跳投

時，球出手處離地面2.25m可見選項(xiàng)D錯誤.

故選A.

8.【答案】A［解析］令y=7.5,得4x—%2=7.5.解得xi=3,x?=5.可見選項(xiàng)A

錯誤.

由y=4x—gx2得y=一；(x—4)2+8,對稱軸為直線x=4,當(dāng)x>4時，y

隨x的增大而減小，選項(xiàng)B正確.

'x=7,

J1fx=0,

聯(lián)立y=4x-臥-與y=^x,解得jy_0或7.??拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

y=2.

(0,0),4,可見選項(xiàng)C正確.

由對稱性可知選項(xiàng)D正確.

綜上所述，只有選項(xiàng)A中的結(jié)論是錯誤的，故選A.

二、填空題

9.【答案】28［解析］設(shè)商店所獲利潤為y元.根據(jù)題意，得

y=(a-21)(350-10a)=-10a2+560a-7350=-10(a-28)2+490,

即當(dāng)a=28時,可獲得最大利潤.

X21x(1+40%)=21xl.4=29.4,而28<29.4,所以a=28符合要求.

故商店應(yīng)把每件商品的價格定為28元，此時可獲得最大利潤.

10.【答案】150［解析］設(shè)A8=xm,矩形土地ABC。的面積為yn?,由題意，得

尸?空絲S=-%-150)2+33750,V--<0,.?.該函數(shù)圖象開口向下,當(dāng)x=150時,該

222

函數(shù)有最大值.即A3=150m時，矩形土地ABC。的面積最大.

11.【答案】1.6［解析］設(shè)各自拋出后1.1秒時達(dá)到相同的最大離地高度h,則第

一個小球的離地高度y=a(t-1.1尸+人(存0),

由題意a(f-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+/?,

解得r=L6.

故第一個小球拋出后L6秒時在空中與第二個小球的離地高度相同.

12.【答案】10［解析］當(dāng)產(chǎn)。時，親+河=0,解得，%=-2(舍去)或x=解故答

案為10.

13.【答案】①②③［解析］由題意知，當(dāng)70SXS150時，y=-2x+400,

2V0,，y隨x的增大而減小，

...當(dāng)x=150時，y取得最小值，最小值為100,故①正確；

當(dāng)x=70時，y取得最大值，最大值為260,故②正確；

設(shè)銷售這種文化衫的月利潤為W元，

貝UW=(x-60)(-2x+400)=-2(X-130)2+9800,

V70<x<150,

.?.當(dāng)x=70時，W取得最小值，最小值為一2(70—130y+9800=2600,故③正

確；

當(dāng)x=130時，W取得最大值，最大值為9800,故④錯誤.

故答案為①②③.

1

14.【答案】y=—§(x+96)-+4

15.【答案】0.5［解析］以拋物線的對稱軸為縱軸，向上為正，以對稱軸與地面的交點(diǎn)為坐

標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的解析式可設(shè)為y=ax?+h.由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,2.5)

和(一0.5,1),于是求得a=2,h=0.5.

16.【答案】48［解析］建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)

H.

VAB=36m,，AH=BH=18m.

由題可知：0H=7m,CH=9m,

?,.OC=9+7=16(m).

設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+k.

?.?拋物線的頂點(diǎn)為C(0,16),

，拋物線的解析式為y=ax2+16.

把(18,7)代入解析式,得7=18xl8a+16,

，7=324a+16,

._±

,?a—=36，

y=-+16.

當(dāng)y=0時，0=一表x2+16,

—^x2=—16>解得x=±24,

，E(24,0),D(-24,0),

.,.OE=OD=24m,

.,.DE=OD+OE=24+24=48(m).

三'解答題

17.【答案】

解:⑴①設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,依題意，有/°“+b=1°°，解得

l60fc+b=80,

ffc=-2,

lb=200,

與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x+200..

②設(shè)進(jìn)價為，元/件，由題意，1000=100x(50”)，解得/=40,.?.進(jìn)價為40元/件；

周銷售利潤vv=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,故當(dāng)售價是70元/件時，

周銷售利潤最大，最大利潤是1800元.故答案為40,70,1800.

⑵依題意有，

w=(-2x+200)(x-40-m)+(2,”+280)x-8000-200加=-2G-m^40)2+^m2-60m+1800.

?，”>0,二對稱軸x=S竺>70,

2

???-2<0,.?.拋物線開口向下，

,爛65,，川隨x的增大而增大，

當(dāng)x=65時，w有最大值(-2x65+200)(65-40-^),

A(-2x65+200)(65-40-???)=1400,

18.【答案】

解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立

平面直角坐標(biāo)系.

根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3),

二設(shè)拋物線的解析式為y=a(x—1猿+3.

把A(0,2.25)代入，得2.25=a(0—l)2+3,

解得a=-0.75,

/.y=-0.75(x—1)2+3.

令y=0,

得一0.75(X—1)2+3=0,

解得XI=3,X2=—1(舍去)，

?**BC=3m.

答：水流的落地點(diǎn)C到水槍底部B的距離為3m.

19.【答案】

解：設(shè)該商品每件漲價X元時，每星期獲得的總利潤為y元.

(1)由題意，得(60+x—40)(300—1Ox)=6090,

整理得X2—10X+9=0,

解得XI=1,X2=9.

60+1=61(元)，60+9=69(元).

答：要想每星期獲得6090元的利潤，該商品每件的價格應(yīng)定為61元或69元.

(2)不能.理由:列方程，W(60+x-40)(300-10x)=7000,

整理得x2-10x+100=0.

VA=(-10)2-4xlxl00<0,

此方程無實(shí)數(shù)解，

銷售該商品每星期不能獲利7000元.

(3)y=(60+x-40)(300—1Ox)=-1Ox2+100x+6000=一10(x—+6250,

當(dāng)x=5時，y最大=6250,60+x=65.

答：該商品每件的價格定為65元時，每星期獲利最大，最大利潤為6250元.

20.【答案】

解：(1)如圖所示.

少(間)

(2)設(shè)):依+方(原0),把(200,60)和(220,50)代入，

得產(chǎn)i=6。，解得「7

,220k+h=50,(h=160

.?.)=-$+]60(I70<A<240).

(3)w=x-y=*(-：X+160)=-、，l60x.

函數(shù)VV=--X2+160X圖象的對稱軸為直線X=-」H=160,

22X(-]

V--<0,

2

.?.在170M240范圍內(nèi)，墳隨x的增大而減小.

故當(dāng)x=170時，w有最大值，最大值為12750元.

21.【答案】

［解析］先運(yùn)用三角形的面積公式求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，然后運(yùn)用公式法

或配方法把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，再根據(jù)x的取值范圍求所得函數(shù)的最大值，

進(jìn)而解決問題.

解：PBQ=gpB.BQ,PB=AB—AP=(18—2x)cm,BQ=xcm,

.■.y=^(18—2x)-x,

即y=-x2+9x(0<x<4).

9

當(dāng)x<］時，y隨x的增大而增大，而0<x<4,當(dāng)x=4時，y最大值=20,即^PBQ

的面積的最大值是20cm2.

22.［答案］

腦：(1)該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比每天減少了10必.

(2)由題意，得

>=20(950—1Ox)-(5-1)(950-1Ox)=-2?+40x+14250.(7分)

(3)V-2<0,y=-2?+40x+14250=~2(x-10)2+14450,(9分)