2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題 (五)

2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題

1..如圖，拋物線>=工乂2必應(yīng)X-6與X軸交于4B（點A在點8的左側(cè)）與y軸交于

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點C,連接AC、BC.過點A作AQ〃BC交拋物線于點￡>（8我，10）,點P為線段BC下

方拋物線上的任意一點，過點P作PE//y軸交線段AD于點E.

（1）如圖1.當(dāng)PE+AE最大時，分別取線段AE,AC上動點G,H,使GH=5,若點M為

G”的中點，點N為線段C8上一動點，連接EN、MN,求EN+MN的最小值；

（2）如圖2,點尸在線段AO上，且4F：。尸=7：3,連接C凡點Q,R分別是PE與線

段CF,BC的交點，以RQ為邊,在R。的右側(cè)作矩形RQTS,其中RS=2,作NACB的角

平分線CK交于點K,將AACK繞點C順時針旋轉(zhuǎn)75°得到△△'CK',當(dāng)矩形RQ7S

與△/!'CK'重疊部分（面積不為0）為軸對稱圖形時，請直接寫出點P橫坐標(biāo)的取值范圍.

【分析】（1）先通過二次函數(shù)解析式求出點A,8的坐標(biāo)，再求出AC,AB,CB的長度，用

勾股定理逆定理證直角三角形，求出直線A。的解析式，用含相同字母的代數(shù)式分別表示E,

Q,。的坐標(biāo)，并表示出EP長度，求出4E長度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出EA+EP最大值

時點E的坐標(biāo).最后作出點E關(guān)于CB的對稱點，利用兩點之間線段最短可求出結(jié)果；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形CA'K與三角形CAK全等,且為等腰直角三角形，求出A',

K'的坐標(biāo)，求出直線4'K'及CB的解析式，求出交點坐標(biāo)，通過圖象觀察出尸的橫坐

標(biāo)的取值范圍.

【解答】解：（1）在拋物線丫=工2-漢￡-6中，

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當(dāng)y=0時，兌=-2?,m=6?,

當(dāng)x=0時，y=-6,

?..拋物線-空導(dǎo)”6與x軸交于A,8（點A在點3左側(cè)），與），軸交于點C,

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AA(-2。0),B(6?,0),C(0,-6),

；.4B=8近,ACf(26)2+62=W§,BC=7(6V3)2+62=12)

在△ABC中,

AC^+BC2^^,AB2=192,

.,.△ABC是直角三角形，且/AC8=90°,

,JAD//BC,

：.ZCAD=90°,

過點。作OLLx軸于點心

在RtAADZ,中，

DL=\0,AL=l0yf3<

tanZDAL=^-=^/^-,

AL3

AZDAB=30°,

把點A(-2“，0),D(8A/3-10)代入直線解析式，

得「2?k+b=0,

I8V3k+b=10

解得％=返，h=2,

3

.".yAD=^-x+2,

3

設(shè)點E的橫坐標(biāo)為“，EPLy軸于點Q,

則EQ,返a+2),Q(a,0),P(a,^cr-組-6),

363

.,@=返。+2,EP=?a+2-(12_區(qū)3-6)=」/+后+8,

33636

.?.在Rt/VLEB中，

AE=2EQ=2ea+4,

3

：.PE+AE^^Aa+4+(」/+仿+8)

36

=-Xa2^Ha+12

63

=-A(a-5加)2+堂

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???根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)。=5b時，PE+4E有最大值，

，此時E(5加，7),

過點E作EFVCB交CB的延長線于點F,

則/EAC=/AC8=NACF=90°,

...四邊形ACFE是矩形，

作點E關(guān)于CB的對稱點E,

在矩形ACFE中，由矩形的性質(zhì)及平移規(guī)律知，

XF-XE=XC-yE-yF=yA-yc，

「A(-2A/3-0),C(0,-6),E(5依，7),

?■?XF-5A/3=0-(-2亞，7-yF=0-(-6),

xp—1yr—1?

：.F(7?,1),

?.?尸是EE'的中點，

.XE+XE/yE+yEz

2=XF，2=yF'

'-XE'=9?,yE'=-5，

：.E(9A/3，-5),

連接交8C于點N,則當(dāng)GH的中點M在E'4上時，EN+MN有最小值,

■,-AE，=V(llV3)2+52=

M是RtAAGH斜邊中點，

：.AM=^GH=^~,

22

:.EN+MN=E'41=2797-1-)

/.EN+MN的最小值是2西-1-

（2）在RtZXARC中,

；tan/ACO=^=返，

AC3

，/AOC=30°,

：KE平分/AC8,

ZACK=ZBCK=45°,

由旋轉(zhuǎn)知，l\CNK'會△CAK,ZACA'=75°,

：.ZOCA'=75°-ZACO=45°,ZAC1K'=45°,

OCK'=90°,

：.K'CJ_y軸，△C4K'是等腰直角三角形，

"C=AC=4b，

.?.研=華^=2加，劃，=2后6,

V2

.,.A,（2胡，2胡-6）,

：.K'（4加，-6）,

將A'（2加，2遍-6）,K'（4灰，-6）,代入一次函數(shù)解析式,

xH（2j^k+b=2，^-6

4v6k+b=-6

解得k=-1,b=4y[^-6,

，刻，K=-x+4捉-6,

?:CB"M）,

將點C(0,-6),B(6?,0)代入一次函數(shù)解析式,

fb=-6

得

|6V3k+b=0

解得k=^3-,b=-6,

3

?'?ycB=^^-x~6,

3_

聯(lián)立）＞A'K=-x+4捉-6和ycB=&6,

3

得-x+4加-6=^Xx-6,

3

，x=6加-6-721

直線C8與A'K'的交點橫坐標(biāo)是6胡-6J],

?.?當(dāng)EP經(jīng)過A'時，點P的橫坐標(biāo)是2五，

①如圖2-1,當(dāng)QR=QS=2時，即必&_=2,

__15

.?.當(dāng)x=2旦時符合題意；

4

②如圖2-2,當(dāng)x=2捉-1時符合題意;

③如圖2-3,圖2-4,當(dāng)PE經(jīng)過4時，R(2加，2近-6),

而此時4R=2近-2點＞2,設(shè)S(x+2,也-6),