2021年中考數(shù)學(xué)綜合題沖刺31 四邊形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）（含答案及解析）

專題31四邊形綜合練習(xí)(基礎(chǔ))

1.如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么成這個(gè)三角形為“好玩三角形”.

(1)如圖1,在Rb^ABC中，NC=90°,tanA=亨，求證：△ABC是“好玩三角形”;

(2)如圖2,在正方形A8CQ中，點(diǎn)P、Q為BC、C￡>上的點(diǎn)，且8P=￡>0,當(dāng)三角形APQ為好玩三

Bp

角形，且P。等于PQ邊上的中線時(shí)，求而.

【分析】(1)取AC的中點(diǎn)￡>,連接8Q,設(shè)BC=gx,,根據(jù)條件可以求出AC=2x；由三角函數(shù)可以求

出BD=2x,從而得出AC=BD,從而得出結(jié)論;

(2)如圖2中，首先證明AE芳△APQ的中線，設(shè)PE=2E=x,則AE=PQ=2x,延出AC^AE+CE^

3x,AB=BC=4|=竽；PC=V2x,BP=B、PC=苧x,由此即可解決而題.’

.BCV3

??1--—-一，

AC2

.,.設(shè)BC=VIr,則AC=2x,

??,￡)是AC的中二點(diǎn),

CD=~AC=x

2222

BD=>JBC+CD=4-%=2xf

：.AC=BD

...△A8C是“好玩三角形”;

(2)如圖2中，連接4c.

：.AB=AD=BC=CD,ZB=ZD=90°\..

?菱J?.P)J7/?7??

,:PB=DQ,

工△ABPg△A'￡>0.PC=CQ，

：.AP=AQf////

，AC垂直平分線段PQ,

；.AE是△AP。的中線，易知△/>€■￡,△CEQ,AACB都是等腰直角三角形，^

????

?"設(shè)PE=QE=x,?則并E=PQ=2x,

：.AC=AE+CE^3x,

AB=BC=PC=V2x,BP=BC-PC彳專x,'f,

yi2

BPYX1

布=填=3

?2???

【點(diǎn)評(píng)】本題四邊形綜合去用的試題，考查了相似二縮形的判定及性質(zhì)的迄用J勾股定理的運(yùn)用；等腰

直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，，等腰三;角形的屜質(zhì)的運(yùn)用;■銳角5角形函瘋苴的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)向二角

函數(shù)值建立方力求解房解答的關(guān)鍵.，，^,

2.在菱形ABCD中，/4=60°,點(diǎn)E從A出發(fā)沿AB方向在射線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從。出發(fā)沿D4方向

在射線D4上運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)速度相同

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在邊AB,D4上時(shí)，連接FE,若EFLA。，AF=2,求DE的長(zhǎng)

(2)如圖1,點(diǎn)E,F分別在邊AB,D4上運(yùn)動(dòng)，BF,OE相交于點(diǎn)G,連接CG,求證：CG=BG+DG

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別在邊AB,D4延長(zhǎng)線上時(shí)，DE與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,試探究線段8G,

CG與。G的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）解蒿城三角形得到4￡=2A尸=4,、EF=V5A尸=2百，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出△AT>8是等近三

角形，得到A￡>=8￡>,ZA=ZADB=60a,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到Df=AE±4,由勾股定理即可

得到結(jié)論；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NA0E=1L>3凡根據(jù)菱形的性質(zhì)得藥△8CQ是等邊三角形,.由等邊三

'鉗形的性質(zhì)得到NC￡>8=2C8L>=60°,推出8；G,D,C四點(diǎn)共圓，.根據(jù)圓周角定理得到/BGCH

BDC=60°,在CG上截取G4=8G,由旁邊三角形的性質(zhì)得到NG8H=6（）°,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得卸CH=CG,于是得到結(jié)論；/；.一

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NAEZXNF,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到/8GO=NB。，得到B,

G,C,O四點(diǎn)共圓，于是得到NCGr>=/758C=60°,NBDG=NBCH,延長(zhǎng)CG到“，彳吏GH=BG,

,根顯等邊三角形的性質(zhì)得到B「=BG,NH=6Q。，根據(jù)基等三角形的性原得到。底亦，于是得至悌

論.，’一―''->>、一，」JS?

32rtyfti?

【解答】解：（L）VZA=60°',EFLAD,AF=2,

；.4E=2AF=4,EF=厲AF=2?<

；在菱形48CD中，AB=AD,

...△AOB是窖邊三角形，?

?k,A,,r

：.AD^BD,/4=NAOB=60°,

?JpyP」?r?r?

（AE=DF

在AADE與叢DFB中］乙4=乙BDF,

4\AD=?BD??

/\ADE2△DFB,

.?.ZV=AE=4,

：.DE^yjDF2+EF^=2V7：

(2),:/\ADEq4DFB,

：iNADE=NDBF,

VZAD￡+ZBDE=60°，

a

:.NBDF+NBDE=60°,

:在菱形ABC。中，BC=CD,ZBCD^ZA=60J,

...△BCD是等邊三角形,

/CQ8=NCBQ=60°,

：.ZGBC+ZCDG^\SO°,

：.B,G,D,C四點(diǎn)共圓，’*~L>

:：NBGC=NBDC=3,

在CG上截取GH=BG,

...△8GH是等邊三角形,

:.BH=BG；/G8”u601,

:.NDBG=ZCBH,

BG=BH

在△DBG與△C3H中,Z.DBG=MBH,

BD=BC

:ABDG安ACBH,

?；CH=DG,

,:CG=CH+HG,

?-'

CG=BG+DG；

(3)DG=BG+CG,

.理由：,:△ADEmXDFB,

：.NAED=NF,

；ZABF=/EBe,^DAB^^F+ZABF-60°,

:.NDGB=NEBG+NAED=60°,

ZBGD=/BCD,

：.B,G,C,。四點(diǎn)共圓,

:.NCGD=NDBC=60°,NBDG=/BCH,

AZBGC=120°,

延長(zhǎng)CG到H,使GH=8G,.

...△2GH是等邊三角形,

:.BH=BG,Z/7=60°,

fZDBC=/H=60°

在ADBG與ACBH中,乙BCH=乙BDG

'iBD=BC,

：.CH=DG,

'：CH=CG+HG,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，等昉三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓'，圓周角定

理，正確向作出輔助線是解題的關(guān)鍵：

3.如圖①，在團(tuán)4BCD中，4B=13,8c=50,BC邊上的高為12.點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，.沿B-A-力-A運(yùn)動(dòng)，

沿8-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A-D運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)。從點(diǎn)B

出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度.P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也停

止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，（秒）.連結(jié)P0.

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-力運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)（用含f的代數(shù)式表示）.

（2）連結(jié)AQ,在點(diǎn)P沿B-A"-D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S.求

S與/之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出f的取值范圍.

（3）過點(diǎn)。作QR〃AB,交A￡＞于點(diǎn)R,逑結(jié)BR,如圖②.在點(diǎn)P沿B-A-。運(yùn)動(dòng)過程中，若線段

PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時(shí)，求,的值.

⑵分類討論，|當(dāng)0<y時(shí)，’當(dāng)yV爭(zhēng)寸，根據(jù)三角形的面積公.分別求出sgf的函數(shù)關(guān)系式;

.4Qf>Ijb.I%

,-?

(3)分情況討論，當(dāng)0?!時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)|勺<爭(zhēng)寸，利用三角形的面.積相等建立方程求出

其解即可

【解答】解：(I)當(dāng)點(diǎn)P沿A-。運(yùn)動(dòng)時(shí)，A尸=8(/-1)=8r-8.-

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)重合時(shí)，BP=AB,t=l.

(2)A,,、

no

當(dāng)，點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，AP^AD,8r-8=50,r=^.

當(dāng)0<f<l時(shí)，如圖①.

過點(diǎn)Q作QEJLAB于點(diǎn)E.

S&ABQ=^AB-QE=*QX12,

.12BQ12x5t60t

?3=B=^-F,

:*S=-30P+30/：

當(dāng)1</W竽時(shí)，如圖②.」

S=1^PX12=1xC8r-8），X12,

；.S=48L48；

(3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合時(shí),

8

.A-

AP=8Q,8L8=533

當(dāng)0<fWl時(shí)，如圖應(yīng)).

AR1)

*.*S；\BPM=SABQM,

：.PM=QM.

U：AB//QR,

：.2PBM=NQRM,/BPM='/MQR,

(NPBM=NQRM

在△8PM和△/?(?/中，，4BPM=Z.MQR

(PM=QM

：?4BPMmARQM(AAS).

；.BP=RQ,

'：RQ=AB,

:?BP=AB

：.13/=13,

解窖」=1

???P與點(diǎn)R重合.

當(dāng)?V修孕時(shí)7如圖⑤.

*.*S8ABR=S〉QBR，

:?S&ABR<S四逗后BQPR?

....彳

；.BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分.

，、*.,?*

g

綜上所述，當(dāng)f=l或T寸，線段P。掃過的圖形（陰影部分）被線段8火分成面積相等的兩部分.

43,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，

分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)問

?.題M解答方法確定狹點(diǎn)是解裔本題的關(guān)鍵和普點(diǎn).,

4.如圖甲，在△ABC中.ZACB=90°.AC=4.BC=3.如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)

動(dòng).同時(shí)點(diǎn)。由點(diǎn)4出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng).它們的速度均為每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度.連接PQ,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒鐘（0</<4）.

（1）設(shè)△APQ的面積為S,當(dāng)實(shí)數(shù)，為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）在（1）的前提下.當(dāng)S取得最大值時(shí).把此時(shí)的△APQ沿射線AC以每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

平移，當(dāng)點(diǎn)A平移基與點(diǎn)C重合時(shí)停止，寫出平移過程中，△AP。與aABC的重疊部分面積y與平移時(shí)

間x的函數(shù)解析式，’并寫出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；

（3）如圖乙，連接PC,將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,當(dāng)四邊形。。尸'C為菱形時(shí).，求

實(shí)數(shù)/的值.

【分析】（I）過點(diǎn)P作P/7LAC于H,由△AP”SA4BC,得tH=,從而求出A8,再根據(jù)言=—,

BCAD.35

Q11?

津出產(chǎn)”=3—彳,1則zM”的面積為：?尸”=分0—加，最后世行整理即可看出答案；

（2）需要分類討論，當(dāng)PQ在BC的左邊時(shí)，△APQ與/MBC的重疊部分面積y=S"P。，當(dāng)P0在BC

的右邊時(shí)，△力P。與△ABC的重疊部分面積y=S^A'pc：

AEAPA.

(3)連接交QC于E,當(dāng)四邊形PQP'C?噗形時(shí)，得出左=布，求出AE=-聲+4,

191

再根據(jù)QE=AE-AQ,QE=^QC得出一6+4=—a+2,再求/即可..，

【解答】解：(I)如答圖1,過點(diǎn)尸作P從LAC于4,

S—xAQXPH=XfX(3-(t—~+"^，

C-1c

.**當(dāng)t為彳秒時(shí)，S最大值為二P〃?2.

28

J、口,?,?j>

⑵。當(dāng)OWxV飄，產(chǎn)果...

5AfCPfC4—%

②如答圖2,當(dāng)一WxW4時(shí)、P'C^/\A'PQ,則一=-即一§一=

)

1X

則y=2（4-k）5一

?

領(lǐng)/5

<X

-2-

綜匕所述，），=.和(O

(4-

X)

（3）如答圖3,連基PP',PP'交QC于

當(dāng)四邊形PQP；d力菱形齦PE垂直平芬0C,即PEJ_AC,QE=EC

：."/\APE^^,ABC,f

:F：■.?Lr^J

tAE_AP

AC~AB"

.*AP-AC(5—￡)x44.

..AE=

AABD=-_55—=-F/+4

49

QE=AE~一可，+4-1=、一耳1+4,

QE=處=1(4-r)=-獷2,

91

?"?一耳/+4=—2，/+2,

.解得:，仁瑞?n，.?.,

,?y20_*.,、、

;0<謳<4,?>

20

..?當(dāng)四邊形PQP'C為菱形時(shí).，/的值是不5.??

13,

■

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了四邊形綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、?主角形

的面積公式以左2次函數(shù)的‘最值問題，關(guān)鍵鬼根據(jù)題/做出輔助線，利詁數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解W

5.如圖.在△ABC中.4B=4C=5cm,BC^bcm,A。是BC邊上時(shí)高.點(diǎn)P由C出發(fā)沿C4方向勻速運(yùn)

動(dòng).速度為\cmls.同時(shí)，直線EF由BC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng).速度為\cmls,EF//BC,并且EF

分別交A8、AD.AC于點(diǎn)E,Q,F,連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r（s）（0<r<4）,解答下列問題：

（1）當(dāng)「為何值時(shí)，-四邊形BOFE是平行四邊舷？

（2）設(shè)四邊形。力CP的面積為），（c%2）,求出），與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

?^■

（3）是否存在某一時(shí)刻/,使S四邊形QDCP：S/V1BC=9：20?若存在，求出此時(shí)「的值；若不存在，說明

理由；-

（4）是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)F到直線PQ的距

、?■,_/?W）,—―/??.p/.?

離任若不存在，請(qǐng)說明理由.

,EFAQEF4-tQ

7

?【分析】（1）連接DF,由EF//BCf推出△AE7—A^48C,推出—=—，推出—=---,可得EF=亍44

7）,山石產(chǎn)）8/%可知E尸=8。時(shí)，四邊形打7%是平行四邊形，列'出方程即可解決問題.’；｝?‘

PNAPPN5—t0

（2）如圖2中，作PMLA。于M由PN〃OC.推出一=—,推出一二丁，’推出「N=g（5-A

tDCAC?35，

根據(jù)3=^DC-AD-^-AQ,PN討算即句解決問題.

r?.（3）存在.?由題意$-青+煞）：12=9：20）解方程前可.

.（4）存在.如題中，作QNLAC于M"1LP。于,H,根據(jù)cosNC4D=器=靠，構(gòu)建方程現(xiàn)可解

，決詢題.根據(jù)sin/尸尸公翳?!，求出尸H即可.，

..?

【解答】解：S'）如圖1中；連接。E

3

:.BD=CD=3,

在Rl^ABD中，AD=V52-32=4,

'：EF//BC,.

:.XAEFs[\ABC,-

?空—絲

"BC~AD'

空上

?.?一_￡，

64

：.EF=|(4-/),

?:品〃BD,

???EF=B。時(shí)，嗎邊形EFZM是平行四邊形，

3

，一(4-f)=3,

2，

??/=2,

???f=2s時(shí)，四邊形EFQB是平行四邊形；.

?.*PN〃DC,

>PNAP

DCAC

.PN5-t

…3-5'..「、2*</

3

:?PN=W(5-力，

/.yfci?DCrAD-i*Ae,P/V=6t-1*(4；b-|(5-r\=6*-舄尸-各+6)=-余尸+各(0</<4)；

(3)存在：理由：由題意I—京(+備。：12=9：20,

解得『3或6(舍棄)；

...當(dāng)f=3s時(shí)，Smux-QDCP：S^ABC—9：20：

(4)存在.理由件「

如圖3中，作QN_LAC于N.作FHLPQ于H.

圖3

;QA=QP,QNLAP,

:.AN=NP=^AP=1(5-t),?

由題意cos/CAD=罌=衰，

.|(5-04

…4-t—5'

.,.t—□，

，f=3時(shí)，點(diǎn)Q在線段4P的垂直平分線上.

FH3

???sinN尸產(chǎn)”=第=。

78425

???必=5-1于魁AQ一l強(qiáng),

點(diǎn)/到直線PQ的距離

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、相似三角

?形的判定和性質(zhì)I嬴三端函數(shù)等知識(shí)，解題前關(guān)鍵翼靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)寤決而題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方理的

思想思考問題；南手中考?jí)狠S題.

6.如圖，在EL4BC。中，。是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，ADLBD,AB=4cm,NBA。三60°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，

以2c〃心的速度沿折線AB-BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PO并延長(zhǎng)交折線CD-DA于點(diǎn)Q,將線段PQ繞

著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE,連結(jié)QE,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（5）

（1）當(dāng)尸。與團(tuán)ABGD的邊垂直時(shí)，求P。的長(zhǎng)，；

（2）直接寫出點(diǎn)E落在回ABC。內(nèi)部時(shí)/的取值范圍；，

（3）設(shè)△PQE的面積為S,求S與r之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當(dāng)直線BQ將團(tuán)ABCZ）的面積分成1：3的兩部分時(shí)，直接寫出△PQE與團(tuán)4BC4重疊部分圖形的面

積.

【介析】（1）?分兩種情形①尸Q,CD@PQ±BC.分別求解即可，

■（2）求出兩個(gè)特殊位置/的值①如圖2中,?當(dāng)為E與8童合時(shí).②如圖3中，’當(dāng)點(diǎn)E在C。上時(shí)

可解決日題.二.廠

（3）因?yàn)椤魇琎E是等邊三角'形，PQ=2OP,所以可以推出。力2,分兩種情形①當(dāng)

02正2時(shí)，,②當(dāng)2<W3時(shí)，只要求出。戶即可解決同題.

（4）分兩種情形①如圖6中,，當(dāng)。是CD的中點(diǎn)時(shí)，直線BQ'^ABCD的面積分成1：3的兩部分，

此時(shí)△PQE與回重基部分圖形是△PQE.診如囪7中，當(dāng)。是吊'點(diǎn)時(shí)：直線BQ將團(tuán)ABC//的

面積分成1：3”的的舒分，此時(shí)△P0E與團(tuán)A8C。重疊部分圖形是四邊修分別求解即可：工'

【解答】解：（1）①川圖1中，當(dāng)PQLA5時(shí)，，,

在RtZk4BQ中，.?.?NA￡>8=90°，NA=60：,AB=4，

：.AD=±AB=2.BD=6AD=26,

；0是3。中點(diǎn)，

/.OB=OD=V3,

在XtZ\OPB中，ZOPB=90°*NOBP=30°0B=6

：.OPB=看,

易知△OPB絲△OQD,「

zf,

：.OQ=OP,

：.PQ=2OP=V3.

.②鼻由P與8重合時(shí)，PQLAD,易知此時(shí)？2=初=2月,

綜上所述，當(dāng)PQ與團(tuán)A8CD的邊垂直時(shí)，PQ=6或2V3.

,:DO=OB,—"

：.A^=PB,

此時(shí)t=}."

益如圖3中，當(dāng)去E在CO上時(shí),

圖3

易證PE〃A￡>,RE=AD=PQ=2,

OQ=OP=PB=l,

??

：.AP=3,..

?，，?

此時(shí)t=f,

:綜上所述，當(dāng)1</G時(shí)：點(diǎn)E落在團(tuán)A8CD內(nèi)部.

(

yry?

(3)?.?△PQE是等邊三角形,，PQ=20P

.*.S^PQE=*?P02=V3OP2，

易知0H=長(zhǎng)，.尸，=[4一]一2小，

、■、

25

OP1=OH2+PH2=^(--2/)2=4/2-lOz+7,

42

AS=4V3?-10V3/+7V3.

②當(dāng)2C/W3時(shí)，如圖5中，

易知OP2=OB2+PB2=3+(2/-4)2=4/2-16仔19,

-16V3/+19V3,

2-iqV3t+7V3(0<t<2),

綜上所述，s=?

2-16V3t+1973(2<t<3)'

*:tri1，戶.*:；??

(4)①如商’6■中，當(dāng)Q是CD的中立時(shí)，.直線8。將由ABC。的面積分成1：3的兩部分，■此時(shí)△「(?￡

/g

?.與EI'BC。電疊部分罩形是△尸DE,易知重疊部磔面積是TX22=V3.

*

②如圖7中，當(dāng)Q是A。中點(diǎn)時(shí)，直線BQ將由4??！辏镜拿娣e分成1：3的兩部分，此時(shí)△PQE與團(tuán)ABC。

重疊部分圖形是四邊形PQDM,

?*-**■$

，

I>

*

易知SipPQDM—S/\PEQ~S&EDM=乎X4"—X32=

。繪上所述，當(dāng)直線80將12A88的面積分成1："3的兩部分時(shí)，△PQE與酎8C。重疊部分圖形的面積為

6或公...:、

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的，性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊

,三角形的判,定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)、特殊位置

解決實(shí)際問題，所以中考?jí)狠S題.

?、.

7.如圖，在正方形A8CZ）中，對(duì)角線AC與BZ）交于點(diǎn)0,在RtZ\PFE中，2EP尸=90°,點(diǎn)E、尸分別

在邊AC、AB上.

（1）如圖1,若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合：①求證：AF=DEy②若正方形的邊長(zhǎng)為28，當(dāng)NQOE=15°時(shí)，

求線段EF的長(zhǎng)；

（2）如圖2,若RtAP尸E的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)。、B重合），當(dāng)B4=38。時(shí)，證明：PE

=2PF.

I分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)卻可證得：A4O/四△DOE想據(jù)全等三角形的性質(zhì)證唯

②作0G_LA8于G,根據(jù)余弦的概念求出。/的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求值即可；'

（2）首先過點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)”，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE.與PF的數(shù)量關(guān)系

【解答】41）①證明：?.?四邊形A5CD是正方形，

：.OA=OD,/OAF=NODE=45°,,ZAOD=90°,

■?〉y、、

/.ZAOE+ZDOE=90°,f

VZEPF^90°,

AZAOF+ZAOE=90a,

^DOE=NAOF,

；

.J在△AOF和△￡)"：.，

?1

(ZOAF=NODE

\OA=OD，

V^AOF=乙DOE"J\

.?.△AO修△OOE,

：.AF=DE；.

■??,.?.

**②解：過點(diǎn)。作0(y_L4汗于G,

:羊廠

?.?正方形的邊長(zhǎng)為2V5,.

AOG=|fiC=V3,,,■d

一..一Jaj

■:NDOE=15°,△AOF絲△COE,

/.ZAOF=15°,

'Z/t>G=45°-ir=30°,

丁勺/J(

?OF一°。.

,2Jcos(DOG一“

*

：.EF=yJOF2+0E2=242；

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)。作HPLBD交AB于點(diǎn)H,

則為等腰直角三角形，/HPD=90。，

■:,HP=BP,

?：BD=3BP,*〔

:?PD=2BP,

:?PD=2HP,

又?；NHPF+NMPE=90。,ZDPE+ZHPE=90°,

■?**/

?；./HPF=NDPE,7-

又?：NBHP=NEDP=45°,

：./\PHF^/\PDE,

,,1J.1■

tPFPH1

,,PE~PD~2

?JP

：.PE=2PF.

圖1一

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判

定與性質(zhì)以及勾股定你.注意準(zhǔn)確作出輔助線是像此題的關(guān)鍵..

8.如圖，P為邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的邊8c上一動(dòng)點(diǎn)(P與8、C不重合)，。在CD上，且CQ=BP,

連接AP、BQ,將△BQC沿8。所在的直線翻折得到△BQE,延長(zhǎng)QE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)試探究AP與8。的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

?III*\

(2)當(dāng)E是產(chǎn)。的中點(diǎn)時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

(3)若BP=2PC,求。尸的長(zhǎng).

【分析】(1)證明aAB尸且2i8CQ,則NBAP=NC8Q,從而證明NCBQ+NAP8=90°,進(jìn)而得證；

(2)先由折疊得出NCBQ=“BQ,再由垂直平分線得出NEBQ=NEBF,即可得出/CBQ=30°,即

可得出結(jié)論.**

1(3)&FQ=FB=x,則尸E=x-4.在直角人沖E中,,利用勾股定理即可列方程求解；.

【解答】解：(1)APJ8Q,,,

理由：?..四邊形ABCD是正方形，

A

AZABC=ZC=90°,AB=BC.

■1G..

AB=BC

???在△ABP和ZSBCQ中，\^ABC=ZC,

BP=CQ

?,4■

，叢ABP組l\BCQ,

：.^BAP=ZCBQ.

VZBAP+ZAPB=90Q,

：.ZCBQ+ZAPB=90°,/.

,：/ZBEP=90°，人—.：?f

：.AP±BQ；

(2)\'^/\BQC沿BQ所在的直線翻折得由△BQE,

?、?^?

v-：.NCBQ=NEBQ,邊QEB=NFEB=90°.

是尸。的電思■

：.QE=FE,:

a'

：.ZQBE^ZFBE,

1

AZCBQ=ZEBQ=ZFBQ=^ZABC=3OC,

■"'、?、??

?rn

在RtZ\BCQ中，?tanNC8Q=tan30°=港

??,

L

.吏_￡￡

.36

L'

ACg=2V3,

由(1)知，/\ABP^/\BCQ,

：.BP=CQ-2^；

(3)由(1)可得EQ=CQ=BP=4,EB=BC=6.

v工，

又丁ZEQB=/CQB=NABQ,

'：.FQ=FB.

??

^FQ=FB=x,貝i]FE=x-4.

在RtAFBE中，F(xiàn)B2=B呼+F成,

*'即，=62+1(…)7-'-

■131■\1■」「

解得：戶竽，,)

1a

即FQ=~2~；

*x>

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要普查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，.全等三角形的判定，勾股定理，

銳角三角函數(shù)，判斷出尸。=/8是解本題的關(guān)鍵，利用直角三角形是解這類題目的關(guān)鍵.

9.已知直角坐標(biāo)系中菱形A8C。中的位置如圖，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,0）,（0,3）.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、

Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P運(yùn)動(dòng)到。

時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

24

（1）填空：菱形ABC￡>的邊長(zhǎng)5、面積是24、高BE的長(zhǎng)是二；

（2）若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，

求△AP。的面積5關(guān)于f的函數(shù)解析式及定義域；

（3）若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒&個(gè)單位長(zhǎng)度（0<%W2）.當(dāng)t=4秒時(shí)，

=200=6,即可求出菱形A8c。的面枳（工XACX8C）；根據(jù)S=A￡）X8E,求出即可；

2

AOAO

⑵求出”=4,AQ=\0-23過點(diǎn)。作QG_LA￡）,垂足為G,根據(jù)△AQGs/\A8E求出QG=子-券，

.代45=/2?。6求0即可；'w一〔

,（3）當(dāng)f=4秒時(shí)「求出AP=4,分兩種情義討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在。3上電，只有。1A=Q1P,過點(diǎn)0作

QvMLAP,垂足為點(diǎn)。也交AC于點(diǎn)八號(hào)據(jù)44例尸6八4。062\（；0尸求出.在“=會(huì)。聲=芫，

CQi=&F=等,，出C°i=4A,求出即可；④當(dāng)點(diǎn)。在BA上時(shí)，存在咫點(diǎn)Q2，。3,分別使AP虧AQ，

PA=PQ3.

_/adaif*.

I、若AP=AQ,根據(jù)C8+8Q2=10-4=6得出4Z=6,求出即可；

ANAPop

II、若B4=PQ3,過點(diǎn)尸作PNJ_A3,垂足為M由△ANPsAAEBJ得—=—,求出AN=關(guān),AQ?)

AEAB

=2AN=||,求出比+80=矍，由4k=譽(yù)「求血可，

【解答】解：C1)*VC,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為14,0),(0,3),

???加=4,。。=3,.一.?“.求/

在RtZ\CO￡)中，由勾股定理得：CD=5

即菱形A8CD而邊長(zhǎng)是5,

；；四邊形A8C〃是菱形，’

：.AD=DC=5,AC±BD,AC=2OC=8,?5。=2。。個(gè)6,

二菱形ABCD的面積號(hào)XACXBD=1>:8(6=?4,,,

'■

：.24=ADXBEf

：.BE=爭(zhēng).

24

故答案為：5,24,—.

-0丁+>?——'、5f>?

5A,Ja'

0f-J?7，a,ut_

(2)由題意，得AP=f,4。=10-2/,，

如圖1,過AQ作。GLAD,垂足為G,

由QG〃BE得：

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圖1仍

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