勾股定理思維導(dǎo)圖+題型總結(jié)

...wd......wd......wd...(一)勾股定理1：勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2＝c2我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾〞，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股〞，斜邊稱為“弦〞.要點(diǎn)詮釋：2、勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：〔1〕直角三角形的兩邊求第三邊〔在中，，則，，〕〔2〕直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊〔3〕利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題3：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證4：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：〔為正整數(shù)〕；〔為正整數(shù)〕〔，為正整數(shù)〕5、注意：

〔1〕勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的?！?〕勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目?！?〕勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。〔4〕推理格式：∵△ABC為直角三角形∴AC2+BC2=AB2.〔或a2+b2=c2〕〔二〕勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a、b、c，且滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形〞來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：〔1〕首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；〔2〕驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，假設(shè)c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形〔假設(shè)c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；假設(shè)c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形〕?！捕ɡ碇?，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如假設(shè)三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊〕3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。六、隨堂練習(xí)1．在中，，、、的對(duì)邊分別為、和⑴假設(shè)，，則=；斜邊上的高為.⑵假設(shè)，，則=.斜邊上的高為.⑶假設(shè)，且，則=，.斜邊上的高為.⑷假設(shè)，且，則=，.斜邊上的高為.2．正方形的邊長(zhǎng)為3，則此正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為.3．正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為4，則此正方形的邊長(zhǎng)為.4．有一個(gè)邊長(zhǎng)為50的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，求圓的直徑至少多長(zhǎng)5．一旗桿離地面處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部處，求旗桿折斷之前有多高6.如圖，一個(gè)長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)的距離為，如果梯子頂端沿墻下滑，那么梯子底端也外移嗎勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練專題一：直接考察勾股定理1．等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是16，求這個(gè)等腰三角形的面積。2、：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。3：在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為多少4：如圖，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)。5、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：〔1〕〔2〕以為三邊的三角形是直角三角形練習(xí)6.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=45o，AC的垂直平分線分別交AB、AC于D、E，假設(shè)CD=1，則BD等于()A．1B．C．D．7.一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積．8.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影局部面積6.如圖，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求BD的長(zhǎng)．7.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)．8.△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,〔1〕AD平分∠BAC,交BC于D點(diǎn)。求CD長(zhǎng)〔2〕BE平分∠ABC,交AC于E，求CE長(zhǎng)專題二勾股定理的證明abcl1、如圖，直線上有三個(gè)正方形，假設(shè)的面積分別為5和11，則的面積為〔〕abcl〔Ａ〕4 〔Ｂ〕6 〔Ｃ〕16 〔Ｄ〕552、如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形.證：△ABF≌△DAE圖①圖②第3題圖圖①圖②第3題圖圖①中的陰影局部拼成圖②的形狀，由圖①和圖②能驗(yàn)證的式子是〔〕A．B．C．D．專題三網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是〔〕ABABC2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是〔〕A．0B．1C．2D．33、〔2010年四川省眉山市〕如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為〔〕A．90°B．60°C．45°D．30°4、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)得到，可得△ABC，則邊AC上的高為〔〕A.B.C.D.5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3、、的三角形．所畫的三角形是直角三角形嗎?說(shuō)明理由．6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，在圖中畫出面積為2的三個(gè)形狀不同的三角形〔要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形〕專題四實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖〔8〕，水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水局部BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)翻開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好翻開3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30o方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，假設(shè)城市所受風(fēng)力到達(dá)或走過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.〔1〕該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響請(qǐng)說(shuō)明理由.〔2〕假設(shè)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少〔3〕該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)專題五梯子問(wèn)題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米2、一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，〔1〕這個(gè)梯子的頂端距地面有多高〔2〕如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC⊥BC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.不能確定專題六最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開拐角走“捷徑〞，在花鋪內(nèi)走出了一條“路〞．他們僅僅少走了〔〕步路〔假設(shè)2步為1米〕，卻踩傷了花草．A、6 B、5C、4 D、32、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20㎝，高AB為10㎝，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為20㎝，高AB為10㎝，在圓柱的下底面A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端C點(diǎn)處，那么它所行走的路程是多少AAC4、如圖，假設(shè)這是一個(gè)圓柱體的玻璃杯，AD是杯底直徑，C是杯口一點(diǎn)，其他條件不變，螞蟻從外部點(diǎn)A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高CD的中點(diǎn)E處，最短該走多遠(yuǎn)呢(杯子的厚度不計(jì)〕BABA6、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的外表從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少BBCA2015107、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，A和B是臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)階爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少ABAB030.22專題七折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6㎝，BC=8㎝?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)．2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，假設(shè)AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎3、如圖,△ABC的三邊BC=3，AC=4、AB=5,把△ABC沿最長(zhǎng)邊AB翻折后得到△ABC′，則CC′的長(zhǎng)等于〔〕A.B.C.D.專題八折疊四邊形1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,AB=8CM,BC=10CM,求〔1〕CF的長(zhǎng)〔2〕EC的長(zhǎng).2、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求〔1〕DE的長(zhǎng)；〔2〕EF的長(zhǎng)。ABABCDEG第3題圖F4、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C′的位置上，AB=3，BC=7，重合局部△EBD的面積為________．5、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，且DE=6，求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對(duì)折，折痕為EF，展開后再沿BG折疊，使