《學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告》教學(xué)設(shè)計(jì)(建設(shè)兵團(tuán)市級(jí)優(yōu)課)x-數(shù)學(xué)教案

極坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計(jì)八師第二高級(jí)中學(xué)李艷萍一、情景引入如果把高考復(fù)習(xí)看作蓋一座高樓，那么一輪復(fù)習(xí)就是備料，二輪復(fù)習(xí)就是建主體，三輪就是精裝修。請(qǐng)問(wèn)，你對(duì)二輪復(fù)習(xí)的認(rèn)識(shí)是什么？二輪復(fù)習(xí)就是構(gòu)建知識(shí)體系，總結(jié)題型、規(guī)律和思想方法。二、高考分析通過(guò)5年課標(biāo)卷真題分析得出結(jié)論：1、命題點(diǎn)極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程及參數(shù)方程化為普通方程．2、交匯點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系，曲線的交點(diǎn)，弦長(zhǎng)問(wèn)題，最值問(wèn)題等知識(shí)交匯考查．3、常用方法求曲線交點(diǎn)的方法，求弦長(zhǎng)的方法，求函數(shù)最值的方法．三、知識(shí)點(diǎn)回顧把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0)).2、重要結(jié)論（1）、幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程①當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r；②當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acosθ.③當(dāng)圓心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半徑為a：ρ＝2asinθ.（2）、幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程①直線過(guò)極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直線過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a；③直線過(guò)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于極軸：ρsinθ＝b.（3）、幾種常見曲線的參數(shù)方程①以O(shè)′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα，))其中α是參數(shù)．②橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))其中φ是參數(shù)．③過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t是參數(shù))，參數(shù)t的幾何意義是P0到直線上任意一點(diǎn)P(x，y)的有向線段P0P的數(shù)量．3、疑難誤區(qū)警示（1）、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提是極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合．（2）、在參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt，))(t為參數(shù))中，設(shè)M(x0，y0)，N(x，y)，則MN＝eq\r(a2＋b2)·t，|MN|＝eq\r(a2＋b2)|t|.(其中MN表示有向線段eq\o(MN,\s\up16(→))的數(shù)量)四．熱點(diǎn)探究練習(xí)1．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρ·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圓C的半徑．解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為eq\r(6).2、已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝t－2))(t為參數(shù))，P是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．解由于直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝t－2))(t為參數(shù))，eq\f(x2,4)＋y2＝1故直線l的普通方程為x＋2y＝0.因?yàn)镻為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.因此點(diǎn)P到直線l的距離是d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))),\r(5)).所以當(dāng)θ＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z時(shí)，d取得最大值eq\f(2\r(10),5).五、熱點(diǎn)問(wèn)題1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值．解ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1，即eq\r(2)ρcosθ＋ρsinθ＝1對(duì)應(yīng)的普通方程為eq\r(2)x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2＋y2＝a2.在eq\r(2)x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝eq\f(\r(2),2).將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))代入x2＋y2＝a2得a＝eq\f(\r(2),2).2、參數(shù)方程與普通方程的互化例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．解(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即eq\f(|1－－2＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).3、極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，曲線C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.五．課堂小結(jié)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在：1、將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。2、畫出對(duì)應(yīng)圖形，再根據(jù)圖形分析，選擇對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題．六．作業(yè)布置1．在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα,y＝2＋2sinα))(α為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程．解由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.2．已知曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))，直線l：ρ(cosθ－eq\r(3)sinθ)＝12.(1)將直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線C