【高中數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年北師大版必修第二冊(cè) 用余弦定理、正弦定理解三角形課件（43張）

第3課時(shí)用余弦定理、正弦定理解三角形課標(biāo)闡釋

1.會(huì)用正弦定理、余弦定理解決與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)2.會(huì)用正弦定理、余弦定理解決與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥滑行的距離滑冰是一項(xiàng)集力量、耐力和速度于一身的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.在第21屆溫哥華冬奧會(huì)上,有兩個(gè)滑冰者甲和乙位于冰面上A、B兩點(diǎn),A與B相距100m.如果甲從A出發(fā),以8m/s速度沿著一條與AB成60°角的直線滑行,同時(shí)乙從B出發(fā),以7m/s的速度沿著與甲相遇的最短直線滑行.那么相遇時(shí),甲滑行了多遠(yuǎn)呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、解三角形與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算在三角形的三條邊和三個(gè)角這6個(gè)元素中,如果已知3個(gè)(至少含一邊長(zhǎng)),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3個(gè)元素.具體情形如下:情形1

已知兩個(gè)角的大小與一條邊的邊長(zhǎng).先由三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個(gè)角的大小,然后依據(jù)正弦定理求得另外兩條邊的邊長(zhǎng).情形2

已知兩條邊的邊長(zhǎng)及其夾角的大小.先由余弦定理求出第三條邊的邊長(zhǎng),然后再由余弦定理求得第二、第三個(gè)角的大小.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥情形3

已知三條邊的邊長(zhǎng).由余弦定理求出兩個(gè)角,再利用三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個(gè)角.情形4

已知兩條邊的邊長(zhǎng)和其中一邊對(duì)角的大小.首先,由正弦定理求出第二條邊所對(duì)角的正弦,這時(shí),要判斷是兩解、一解還是無(wú)解.然后,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°得到第三個(gè)角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三條邊的邊長(zhǎng).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析1.應(yīng)用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問(wèn)題?(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊,求其他兩邊和另一角.(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角.2.應(yīng)用余弦定理可以解決哪些解三角形問(wèn)題?(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求其他的邊和角.(2)已知三角形的三邊,求三個(gè)角.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥答案(1)C

(2)等腰直角三角形

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形應(yīng)用題時(shí),通常都要根據(jù)題意,從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后通過(guò)解三角形,得到實(shí)際問(wèn)題的解.求解的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥(1)解題思路(2)基本步驟①分析:理解題意,弄清已知與未知,畫出示意圖(一個(gè)或幾個(gè)三角形);②建模:根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中,建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型;③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;④檢驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問(wèn)題,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考張曉同學(xué)從家中出發(fā),先向東走了1000m,然后拐彎向北走了200m,你能用什么方法確定其方位?答案方向角激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是(

)A.α>β

B.α=βC.α+β=90° D.α+β=180°解析如圖,在A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯(cuò)角,根據(jù)水平線平行,得α=β.答案B激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2已知目標(biāo)A的方位角為135°,請(qǐng)畫出其圖示.解如圖所示:激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)3請(qǐng)分別畫出北偏東30°,南偏東45°的方向角.解如圖所示:探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)解三角形與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算角度1

三角形中線段長(zhǎng)度的計(jì)算例1在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的長(zhǎng).探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)解在△ABD中,設(shè)BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA即142=x2+102-2·10x·cos

60°,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.由AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°,探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

解決此類問(wèn)題要處理好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)找出已知某邊長(zhǎng)的三角形,從中篩選出可解三角形.(2)找要求線段所在的三角形,確定所需條件.解題時(shí)二者應(yīng)結(jié)合,明確解題思路.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)角度2

證明問(wèn)題

探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

解決此類問(wèn)題時(shí),要靈活運(yùn)用三角形中特有的恒等變形公式、三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式,主要是正弦定理、余弦定理,因此這類題型都可用不同的途徑求解.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)解三角形的實(shí)際應(yīng)用角度1

測(cè)量距離問(wèn)題§1

求可到達(dá)點(diǎn)與不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離問(wèn)題例3如圖,一名學(xué)生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開(kāi)始在A處,經(jīng)觀察,在河的對(duì)岸有一參照物C,與學(xué)生前進(jìn)方向成30°角,學(xué)生前進(jìn)200m后到達(dá)點(diǎn)B,測(cè)得該參照物與前進(jìn)方向成75°角.(1)求點(diǎn)A與參照物C的距離;(2)求河的寬度.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題,一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問(wèn)題,從而運(yùn)用正弦定理解決.2.如圖,點(diǎn)B為不可到達(dá)點(diǎn),求A,B的距離的具體解題步驟:(1)取基線AC(盡量長(zhǎng)),且使AB,AC不共線;(2)測(cè)量AC,∠BAC,∠BCA;探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3

如圖所示,為了測(cè)量河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為

m.

解析由題意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC為等腰三角形.因?yàn)楹訉捈催匒B上的高,這與邊AC上的高相等,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D,所以河寬=BD=120sin

30°=60(m).答案60探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)§2

求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題例4如圖,隔河看到兩個(gè)目標(biāo)A,B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距

km的C,D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩個(gè)目標(biāo)A,B之間的距離.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題,一般是先把求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)的問(wèn)題,再把求未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測(cè)量問(wèn)題,最后運(yùn)用正弦定理解決問(wèn)題.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)(1)A處與D處的距離;(2)燈塔C與D處的距離.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)角度2

測(cè)量高度問(wèn)題例5如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D,測(cè)得CD=200m,在點(diǎn)C和點(diǎn)D測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.在測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度時(shí),可以借助正弦定理或余弦定理,構(gòu)造兩角(兩個(gè)仰角或兩個(gè)俯角)和一邊或三角(兩個(gè)方向角和仰角)和一邊,如圖所示.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)2.解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟:探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練5如圖,在山頂鐵塔上B處測(cè)得一點(diǎn)A的俯角為α,在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β.若鐵塔高為m米,則山高CD為

米.

探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)角度3

測(cè)量角度問(wèn)題§1

實(shí)際測(cè)量中的角度問(wèn)題例6地圖測(cè)繪人員在點(diǎn)A測(cè)得某一目標(biāo)參照物P在他的北偏東30°的方向,且距離他40m,之后該測(cè)繪人員沿正北方向行走了40m,達(dá)到點(diǎn)B.試確定此時(shí)目標(biāo)參照物P相對(duì)于他的方位角以及他與目標(biāo)參照物P的距離.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)因?yàn)锳B=40

m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此測(cè)繪人員到達(dá)點(diǎn)B時(shí),目標(biāo)參照物P相對(duì)于該測(cè)繪人員的方位角為180°-120°=60°,且目標(biāo)參照物P與他的距離為40

m.探究一探究二當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

解決實(shí)際測(cè)量中的角度問(wèn)題的基本步驟(1)找準(zhǔn)觀測(cè)點(diǎn)以及參照物,根據(jù)“上北下南,左西右東”確定正北方向;(2)根據(jù)題意