2021年中考數(shù)學(xué)18 新定義題（解析版）

五年真題一年模擬(解析版)

專題18新定義題

一、挑選題

1.(2021杭州)設(shè)a,b是實數(shù)，定義@的一種運算如下:a@b=(a+8)2-{a-b)2,則

下列結(jié)論：

①若a@b=0,則a=0或6=0

?a@Cb+c)=a@b+a@c

③不存在實數(shù)a,b,滿足a@b=a2+5b2

④設(shè)“，人是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當(dāng)“4時，最大.

其中對的是()

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【答案解析】C

【試題解答】

試題解析：根據(jù)新定義可以計算出啊各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以判斷各個小

題中的說法是否正確，從而可以得到哪個選項是對的.

①根據(jù)題意得：a@b=(a+b)(a-b):/.(a+b):-(a-b)J=0,

整理得：(a+b+a-b)(a+b-a+b)=0,即4ab=0,解得：a=0或b=0,正確；

②:飛0(b+c)=(a+b+c)2~(a-b-c)*=4ab+4ac

a@b+a@c=(a+b):-(a-b)'+(a+c)--(a-c)*=4ab+4ac,.,.a@(b+c)=a@b+a@c正確；

③a@b=a：+5b：,a@b=(a+b)(a-b):,令a：+5於(a+b)(a-b)解得，a=0,b=0,故錯誤;

@\'a@b=(a+b)*~(a_b)*=4ab,(a-b)*>0,貝I」a'-2ab+b.三0,即a,+b22ab,

.\a"+b*+2ab4ab,.'.4ab的最大值是a*+b"+2ab,此時a"+b，+2ab=4ab,解得，a=b,

，a配最大時，a=b,故④正確

2.（2021湖州）定義：若點P（a,h）在函數(shù)y='的圖象上，將以。為二次項系數(shù),

X

b為一次項系數(shù)組織的二次函數(shù)廣浸+法稱為函數(shù)），=’的一個"派生函數(shù)”.例如：點

X

（2,-）在函數(shù)的圖象上，則函數(shù)y=2f+‘X稱為函數(shù)>=’的一個"派

2x2x

生函數(shù)現(xiàn)給出以下兩個命題：

（1）存在函數(shù)的一個“派生函數(shù)”，其圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)

（2）函數(shù)y的所有“派生函數(shù)”，的圖象都進過同一點，下列判斷對的是（）

x

A.命題（1）與命題（2）都是真命題

B.命題（1）與命題（2）都是假命題

C.命題（1）是假命題，命題（2）是真命題

D.命題（1）是真命題,命題（2）是假命題

【答案解析】C

3.（2021湖州）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，盛行于天下各地.由邊長為2的正

方形可以制作一副中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試

拼如圖2中的平行四邊形或矩形，則這兩個圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成

的個數(shù)分別為（）

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

故選:D.

4.（2021衢州）如圖，把一張矩形紙片4BCO按所示方式進行兩次折疊，得到等腰直角

三角形BEF,若BC=1,貝IJAB的長度為（）

【答案解析】A

【試題解答】

【考點解析】

先判斷出NAQE=45。，進而判斷出A￡=AD,操縱勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由折疊補全圖形如圖所示，

?.?四邊形ABCO是矩形，

NAOA'=NB=NC=NA=90°,AD=BC=1,CD=AB,

由第一次折疊得：/D4E=/A=90。，ZADE=—ZADC=45°,

2

ZAED=ZADE=45°,

：.AE^AD=\,

在RSAOE中，根據(jù)勾股定理得，DE=6,AD=4i,

由第二次折疊可知，DC=DE

'?AB-V2

故選:A.

5.（2021紹興）某班要在一面墻上同時展示數(shù)張形狀、大小均一樣的矩形繪畫作品，將

這些作品排成一個矩形（作品不完全重合），現(xiàn)需要在每張作品的四個角落都釘上圖釘，

參加作品有角落相鄰，那么相鄰的角落共享一枚圖釘（例如，用9枚圖釘將4張作品釘在

墻上，如圖），若有34枚圖釘可供選用，則最多可以展示繪畫作品（）

A.16張B.18張C.20張D21張

【答案解析】D

二、填空題

1.（2021衢州）定義“※b=a（b+l）,例如2X3=2x（3+1）=2x4=8.則（x-1）※.的

成果為.

【答案解析】9-1

2.（2021金華）對于兩個非零實數(shù)x,y,定義一種新的運算:x*產(chǎn)a+b.若1*（-1）=2,

則（-2）*2的值是.

【答案解析】-1

3.（2021湖州）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板由邊長為

4夜的正方形ABCO可以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形

EFGH內(nèi)拼成如圖2所示的“拼搏兔”造型（其中點Q、R分別與圖2中的點區(qū)G重合,

點尸在邊E”上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是.

【答案解析】46

三、解答題

1.（2021湖州）對于隨意率性實數(shù)a,b,定義關(guān)于“⑥”的一種運算如下：

a?b=2a-b,例如：502=2x5-2=8,（-3）04=2x（—3）-4=-10.

（1）若3區(qū)）x=-2011,求x的值：

（2）若x（8）3<5,求x的取值范疇.

【答案解析】（1）2021（2）尤<4

【解析】

試題分析：（D根據(jù)題目中的例子列方程可求解；

（2）根據(jù)題目中的例子列不等式求解即可.

試題解析：（D根據(jù)題意，得2X3-x>2011

解這個方程，得x=2017

（2）根據(jù)題意，得2x-3<5

解得x<4

即X的取值范疇是x<4.

考點：1、閱讀懂得，2、解一元一次方程，3、解不等式

2.1.（2021衢州）定義：如圖1,拋物線y=必：2+bc+c（aH0）與x軸交于A,B兩點,

點P在拋物線上（點P與A,8.兩點不重合），參加AABP的三邊滿足

AP2+BP2=AB2,則稱點P為拋物線y^ax1+bc+c{a豐0）的勾股點。

（1）直接寫出拋物線）=—/+1的勾股點的坐標(biāo)；

（2）如圖2,已知拋物線C:y=G?+6x（。/0）與x軸交于A,B兩點，點尸（1,

V3）是拋物線C的勾股點，求拋物線C的函數(shù)表達式；

（3）在（2）的前提下，點。在拋物線C上，求滿足前提的點

。（異于點P）的坐標(biāo)

【答案解析】（1）（0,1）；（2）尸-x；（3）（3,也）或（2+J7,

OO

6）或（2-V7,-亞）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線勾股點的定義即可求解；

廠PGL

（2）作PGlx軸，由P點坐標(biāo)求得AG=1、PG=V3、PA=2,由tan/PAB=—=也知/PAG=601從

AG

而求得AB=4,即B（4,0）,運用待定系數(shù)法即可求解；

（3）由SAABQ=SAABP且兩三角形同底，可知點Q到x軸的距離為應(yīng)，據(jù)此可求解.

試題解析：（1）拋物線產(chǎn)-f+i的勾股點的坐標(biāo)為（0,1）

（2）拋物線y-法過原點，即點A（0,0）,

如圖，作PGXr軸于點G.

???點戶的坐標(biāo)為（1,V3）,

，AG=1、PG=\[3,JAG*+PG'—\124-(Vs)2=2,

tanZPAB=----=v3,

AG

：.ZPAG=6t)°,

PA2

在RtAPAB中,A8=_________4,

cosZ.PAB7

2

.?.點B坐標(biāo)為（4,0）,

設(shè)y^ax(x-4)

將點PG,73）代入得：“=-

3

（3）①當(dāng)點。在x軸上方時，由SAAB°=SAABP知點。的縱坐標(biāo)為6,

則有一編+半.囪，

解得：即=3,12=1（不吻合題意，舍去），

.?.點。的坐標(biāo)為（3,73）；

②當(dāng)點Q在X軸下方時，由S_ASQ=S_ABP知點Q的縱坐標(biāo)為-質(zhì)

貝”有一fx?-處佟X=-&,

33

解得：xi=2+J7,x：=2-J7,

二點Q的坐標(biāo)為（2-J7,-&）或（2-J7,-應(yīng)〉；

綜上，滿足條件的點Q有3個：（3,小或（2-5，-應(yīng)）或（2-5，-A/3）.

考點：1.拋物線與x軸的交點；2.待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式.

3.（2021金麗）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊

稱為鄰余線.

（1）如圖1,在4中，A,4是4的角平分線，E,尸分別為B,4上的點.求證：四

邊形4是鄰余四邊形.

（2）如圖2,在5x4的方格紙中，4,B在格點上，請畫出一個吻合前提的鄰余四

邊形4使4是鄰余線，E,F在格點上.

（3）如圖3,在（1）的前提下，取E中點M,連結(jié)。并耽誤交4于點Q,耽誤E交4于

點M若N為A的中點，B.B,求鄰余線4的長.

【答案解析】（1）證明見解析；（2）畫圖見解析；（3）10.

【試題解答】

【考點解析】

（1）AB=AC,AO是△ABC的角平分線，5LADA.BC,則NADB=90。，則NFBA與

NEBA互余，即可求解；

（2）如圖所示（答案不獨一），四邊形4FEB為所求；

（3）證明△DBQs^ECN,即可求解.

【詳解】

（1）解：A是4的角平分線，

：.A.

：.A.

4與4互余.

，四邊形A是鄰余四邊形.

（2）解：如圖所示（答案不獨一）

4.（2021湖州）數(shù)學(xué)運動課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為120。的平行四邊形ABCD

（ZBAD=120°）進行探討：將一塊含60。的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABC。所

在?平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60。角的極點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直

線分別交線段AB,AO于點E,尸（不包羅線段的端點）.

（1）初步嘗試

如圖1,若AD=AB,求證：①△8CE之△ACP,@AE+AF=AC；

（2）類比發(fā)覺

如圖2,若AD=2AB,過點C作CHLAD于點H,求證："AE=2FH；

（3）深入探討

如圖3,若AD=3AB,探討得：皿:泮的值為常數(shù)t,則1=—.

Av

【答案解析】（1）、證明過程見解析；（2）、證明過程見解析；（3）、1=0

【試題解答】

試題解析：（1）、①先證明AABC,△AC。都是等邊三角形，再證明ZBCE=/ACF即可

解決問題.②根據(jù)①的結(jié)論得至|J8E=AF,由此即可證明.⑵、設(shè)DH=x,由由題意，

CD=2x,CH=1由△ACEsa/ycE得篙=需由此即可證明；（3）、如圖3中，作

rHCH

CNLAD于N,CM_LBA于M,CM與A。交于點H.先證明△CFNS/\C￡M,得粵=罌,

CMEM

由AB?CM=4>CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以第=粵=4，設(shè)CN=a,FN=b,則

CMEm3

CM=3a,EM=3b,想方式求出AC,AE+3AF即可解決問題.

試題解析：⑴、①...四邊形ABCD是平行四邊形，ZBAD=120°,二4=4=60°,：AD=AB,

.".△ABC,△■?口都是等邊三角形，.,.ZB=ZCAD=60°,ZACB=60°,BC=AC,Z.ECF=60°,

：.ZBCE+ZACE=ZACF+ZACE=600,/.ZBCE=ZACF,

，ZB=ZCAF

在ABCE和AACF中，1BC=AC/.ABCE^AACF.

,ZBCE=ZACF

??/△BCE^AACF,.\BE=AF,/.AE+AF^AE+BE=AB=AC.

(2)、設(shè)￡>H=x,由由題意，CD=2x,CH=4^X,：.AD=2AB=4X,：.AH=AD-

DH=3x,VCH1AD,

11?AC=VAH2+CH2=2V3X,.,.AC^+CD^Aiy,：.ZACD=9Q°,

：.ZBAC=ZACD=90°,：.ZCAD=30°,

：.ZACH=60°,'：ZECF=60°,；.NHCF=NACE,：./\ACE<^/\HCF,A—=

FH

AC

—=2,：.AE=2FH,

CH

(2)、如圖3中，作CALLAQ于N,CM_L3A于M,CM與AO交于點

9

H.：ZECF+ZEAF=\SO09

：.ZAEC+ZAFC=180°,NAFC+ZCFN=180°,/.ZCFN=ZAEC,

:NM=/CNF=9U。,:?/\CFNs叢CEM,

CNFNCNFN1

ACM=EM，*：AB*CM=AD,CN,AD=3AB,:?CM=3CN,-??巖二言二令，設(shè)CN=〃,

FN=b,貝ijCM=3a,EM=3b,

VZMAH=60°,ZM=90°,:?NAHM=/CHN=3。。,:?HC=2a,HM=a,HN=y[ja,

22

：.AM=^-a,AH=2個a,.".AC=^^+(;JJ=a,

AE+3AF=(EM-AM)+3(AH+HN-FN)=EM-AM+3AH+3HN-3FN=3AH+3HN-AM=

1473.AE+3AF30

I-a

5.(2021寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個極點引出一條射線與對邊訂交，極點

與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，參加分得的兩個小三角形中有

一個為等腰三角形，另一個.與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美

分割線。

(1)如圖1,在XA8C中，CD為角.平分線，ZA=40°,ZB=60°,求證：CD為

△ABC的完美分割線；

(2)在△ABC中，ZA=48°,CO是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形,

求/AC8的度數(shù)；

(3)如圖2,△ABC中，4c=2,BC=J5,CD是AABC的完美分割線，且AAC。是

以CC為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長。

(第25題困)

【答案解析】⑴詳見解析；（2）NACB=96。或114。；⑶CD=庭-氏.

【解析】

試題分析：（D由NA=40.°,NB=60°可得/ACB=80.°,即△ABC不是等腰三角形，再判定AACD是等腰三

角形，△BCDs/kBAC,即可得CD為AABC的完美分割線；（2）分AD=CD,AD=AC,AC=CD三種情況，根據(jù)這三

RD

種情況分別求出NACB的度數(shù)，不合題意的舍去；（3）由△BCDSABAC可得一=—,設(shè)BD=x，代入可得

BABC

（72）2=X-（X+2）,由于x>0,即可知x=Ji-L再由△BCDs/kBAC,所以烏=吧=史二，解得

ACBC72

_1

CD=與，x2=、回（右-1）=、后-0

試題解析：（1）,/ZA=40.°,ZB=60°,

ZACB=80.°,

...△ABC不是等腰三角形，

又因CD為角.平分線，

ZACD^ZBCD=-ZABC=40°,

2

ZACD=ZA=40°,

...△AC力是等腰三角形，

VZBCD=ZA=40°,NB=NB,

:.4BCDS/\BAC,

:.CD為ZkABC的完美分割線；

（2）當(dāng)AO=CZ>時（如圖①），ZACZ>ZA=48°,

"：/^BDC^/\BCA,

：.N8CD=/A=48°,

Z.ZACB=ZACD+ZBCD=960；

1on°_JQ°

當(dāng)AO=AC時（如圖②），ZACD=ZADC=---------------=66",

2

■:△BDCS^BCA,

：./8C￡）=/A=48°,

ZACB=ZACD+ZBCD=114°；

當(dāng)AC=CD時（如圖③），ZACD=ZA=4S°,

■:△BDCS/\BCA,

：.NBCD=/A=48。，

VZADOZBCD,抵悟，舍去.

/ACB=96°或114°；

②

(3)由已知AC=AD=2,

?/△BCD^ABAC,

.BC_BD

"1A~BC)

設(shè)BD=x

.,.(72)2=x-(x+2)

解得X=-1±也,

?/x>0,

「?x=JJ-L

'/△BCD<^ABAC,

.CDBDV3-1

,~AC~~BC~V2

.-.CD=^J-X2-V2(V3-1)=V6-V2

J2

(第25題困2)

考點：閱讀懂得題；相.似三角形的綜合題.

6.(2021紹興)參加將四根木條首尾相連，在相連處用螺釘毗鄰，就能構(gòu)成一個平面圖

形.

(1)若固定三根木條A8,BC,A。不動，AB=AD=2cm,BC=5cm,如圖，量得第四

根木條CD=5CH,判斷此時NB與/。是否相等，并說明來由.

(2)若固定一根木條AB不動，AB=2cm,量得木條CZ)=5"j,參加木條A。，BC的長

度不變，當(dāng)點D移到BA的耽誤線上時，點C也在B4的耽誤線上；當(dāng)點C移到AB

的耽誤線上時，點A、C、￡>能構(gòu)成周長為30cm的三角形，求出木條4￡）,8c的長

度.

【答案解析】⑴、相等；來由見解析；（2）、AD=\3cm,BC=10cm.

【試題解答】

試題解析：（1）、相等.毗鄰4C,根據(jù)SSS證明兩個三角形全等即可；（2）、分兩種情形

①當(dāng)點C在點。右側(cè)時，②當(dāng)點C在點D左側(cè)時，分別列出方程組即可解決問題，注

重末了來由三角形三邊關(guān)系定理，檢驗是否吻合題意.

試題解析：⑴、相等.

AC=AC

理由：連接AC,在AACD和AACB中，=,.".AACD^AACB,/.ZB=ZD.

CD=BC

⑵、設(shè)AD=x,BC=y,

x+2=y+5fx=13

當(dāng)點c在點D右側(cè)時，”,解得：，

x+（y+2）+5=30[y=10

y=x+5+2x=8

當(dāng)點C在點D左側(cè)時，解得：，

x+(y+2)+5=30j=15

此時AC=17,CD=5,AD=8,5+8<17,二不合題意，

考點：（1）、全等三角形的應(yīng)用；（2）、二元一次方程組的應(yīng)用；（3）、三角形三邊關(guān)系

7.（2021臺州）定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

（1）三等角四邊形ABCZ）中，/A=/B=NC,求NA的取值范疇：

（2）如圖，折疊平行四邊形紙片OEBF,使極點E,F分別落在邊BE,B尸上的點

4,C處，折痕分別為OG,DH.求證：四邊形ABCD是三等角四邊形.

（3）三等角四邊形A8CD中，ZA=Z.B=ZC,若CB=CD=4,則當(dāng)AZ）的長為何值時,

4B的長最大，其最大值是幾？并求此時對角線4c的長.

【答案解析】（1）60°<ZA<120°;（2）證明見解析;（3）當(dāng)AO=2時，AB的長最大，最

大值是5,此時AC=J§T.

【試題解答】

試題解析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360。，確定出NA的范疇；

（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到且NE+NEBF=180。，再根據(jù)等

角的補角相等，判斷出ND4B=NDCB=NABC,即可；

（3）分三種情況分別會商計算AB的長，從而得出當(dāng)AO=2時，A8最長，末了計算出

對角線AC的長.

試題解析：（1）；N4=NB=NC,.,.3NA+NADC=360。，/ADC=360。-3NA.

V0<ZADC<180°,.,.00<360°-3ZA<180°,.\60°<ZA<120°；

（2）證明：：四邊形。E8尸為平行四邊形，:.NE=NF,且NE+/E8F=180。.

\'DE=DA,DF=DC,：.ZE=ZDAE=ZF=ZDCF,ZDAE+ZDAB=\S00,

ZDCF+ZDCB=\S0°,/E+NEBF=180°,AZDAB=ZDCB=ZABC,.?.四邊形A8CD是

三等角四邊形

(3)①當(dāng)60。<4<90°時，如圖1,過點。作方".45,DE"5C,.?.四邊形3的是平行四邊形，

ADFC=』B=4DEA,；EB=DF,DE=FB/；乙4=4B=』C,乙DFC=&"EA,：ZAEs刈CF,AD=DE,

4E/Di，一4x

DODF=4,設(shè).4&x,AB=v,：.AE=v-4,CF=4~x,'：ADAE^ADCF,：.一=—,-——=一，

CFCD4-x4

.”=-」/+》+4=-1(》-2)2+5,.?.當(dāng)戶2時，y的最大值是5,即：當(dāng).”總時，.45的最大值為5,

44

②當(dāng)乙4=90°時，三等角四邊形是正方形，.FiK45=34；

③當(dāng)90。<ZX<120°時，ND為銳角,如圖2,\\4E=4-.4B>0,：.AB<4,綜上所述,當(dāng)小=2時,AB

的長最大，最大值是5;

此時，.4E=1,如圖3,過點C作GV1.4B于M,DNL^AB,'：DA=DE,DN^AB,.\￡\=--4￡=-,

22

JT)4V

?：/DAN=/CBM,ND汽4=NCWB=90°,/.AD.4A^ACB.V,/.--,/.5A/=1,.JAM,

BCBM

CM^BC2-BAf2=屈,：.AC=JAM2+CM2=J16+15=陰.

8.（2021舟山）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做”等鄰角四邊形”

（1）概念懂得：

請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；

（2）問題探討；

如圖1,在等鄰角四邊形ABCQ中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊

上一點尸，連結(jié)AC,BD,試探討AC與8。的數(shù)量關(guān)系，并說明來由；

(3)應(yīng)用拓展;

如圖2,在RtAABC與RtAA3。中，NC=NO=90。，BC=BD=3,AB=5,將RtAABD繞

著點4順時針旋轉(zhuǎn)角a((T</aVN8A。得到Rt/kAB7)(如圖3),當(dāng)凸四邊形4D8C

為等鄰角四邊形時，求出它的面積.

【答案解析】(1)、矩形或正方形;(2)、AC=BDr來由見解析;(3)、10—4或12--3,7I-.

172

【試題解答】

試題解析：(1)、矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”前提；(2)、AC=BD,來

由為：毗鄰產(chǎn)。，PC,如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為A。、BC的垂直平分線，得

到兩對角相等，操縱等角對等角得到兩對角相等，進而確定出/APC=NOPB,操縱SAS

得到三角形ACB與三角形。PB全等，操縱全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；(3)、分

兩種情況思量：(i)當(dāng)時，耽誤AD,CB交于點、E,如圖3(i)所示，

由Sgg=S--Sg,求出四邊形ACBD'面積；(ii)當(dāng)ND'BC=NACB=90°時，過點D'作D'E_I_AC

于點E,如圖3(ii)所示，由S=S一匚+S-=,：：：：,求出四邊形ACBD'面積即可.

試題解析：(1)、矩形或正方形；

⑴、AC=BD,理由為：連接PD,PC,如圖1所示：

〈PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，/.PA=PD,PC=PB,/.ZPAD=ZPDA,ZPBC=ZPCB,

ZDPB=2ZPAD,NAPC=2NPBC,即NPAD=NPBC,ZAPC=ZDPB,.".△APC^ADPE(SAS),/.AC=BD；

(3)、分兩種情況思量：

(i)當(dāng)NAOB=N〃8C時，耽誤AZ7,CB交于點E,如圖3(i)所示,

2

AZED'B=ZEBD',：.EB=ED',設(shè)EB=ED'=x,由勾股定理得:4+(3+x)2=(4+A:)

2,解得：x=4.5,

OFED

過點。作。F_LCE于F,：.D'F//AC,：./\ED'F^f\EAC,：------——，即

ACAE

DF_4.5

-T~-4+4.5'

解得：

.11113681

??SAAC￡=—ACxEC=—x4x(3+4.5)=15；SABED'=—BExD'F=-x4.5x—=—

22221717

814

n1=

則S四邊彩ACBO'=SAACE-SABEiy15--=10—；

(ii)當(dāng)NOBC=/4Cg=90。時，過點。作。E_LAC于點E,如圖3(ii)所示,

二四邊形EC8。是矩形，:.ED'=BC=3,在Rs中，根據(jù)勾股定理得：AE=

夕,

SAAED'=—AExED'=—x幣x3=—近,SECBD,=CEXCB=(4-V7)x3=12-3"

222

貝!ISBiiBACBD'=SAAED'+SViKECHD'=-V7+12-3^/7=12--V7.

考點：幾何變換綜合題

9.（2021湖州）已知在△ABC中，AC^BC^m,。是A8邊上的一點，將沿著過

點。的直線折疊，使點8落在AC邊的點P處（不與點4,C重合），折痕交BC

邊于點E.

（1）特例感知如圖1,若NC=60。，力是AB的中點，求證:AP=LlC；

2

（2）變式求異如圖2,若NC=90。，機=6&,AD=7,過點。作。于點H,

求。，和4P的長：

（3）化歸探討如圖3,若〃?=10,AB=\2,且當(dāng)A￡>=。時，存在兩次差別的折疊,

使點B落在4c邊上兩個差別的位置，請直接寫出”的取值范疇.

圖1圖2圖3

【考點解析】（1）證明AAOP是等邊三角形即可解決問題.

（2）分兩種情形：情形一：當(dāng)點B落在線段C/Z上的點P處時，如圖2-1中.情

形二：當(dāng)點B落在線段A”上的點尸2處時，如圖2-2中，分別求解即可.

（3）如圖3中，過點C作CH_L48于H,過點。作。P_LAC于P.求出。P=Z）B時

A。的值，聯(lián)合圖形即可判斷.

【解答】（1）證明：；AC=3C,ZC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB,NA=60°,

由題意，得DB=DP,DA=DB,

：.DA=DP,

...△AOP使得等邊三角形，

.?.AP=AO=LB=LC.

22

(2)解：：AC=BC=6亞，/C=90。，

;MB=VAC2+BC2=7(6V2)2+(6>/2)2=12,

\"DH1AC,

J.DH//BC,

：./\ADH^/\ABC,

?DH=AD

'"BeAB'

；4D=7,

.DH-7

..該F

2

將沿過點。的直線折疊，

情形一：當(dāng)點B落在線段CH上的點P,處時，如圖2-1中,

VAB=12,

：.DP尸DB=AB-AD=5,

：.At=AH+HP{=4\/2,

情形二：當(dāng)點B落在線段AH1.的點P2處時，如圖2-2中,

同法可證HP*返，

2

:.AP尸AH-HP?=3M，

綜上所述，滿足前提的AP的值為4加或3&.

(3)如圖3中，過點C作于出過點。作。P_LAC于P.

\'CA=CB,CH1AB,

：.AH=HB=6,

:，CH=VAC2-AH2=V102-62=8,

當(dāng)DB=DP時，設(shè)BD=PD=x,則AD=12-x,

?8--

?下一!^?

：.AD=AB-BD=—,

3

察看圖形可知當(dāng)6<a〈型時，存在兩次差別的折疊，使點B落在AC邊上兩個差

3

別的位置.

10.（2021衢州）問題背景如圖1,在正方形A.BCD的內(nèi)部，作

NDAE=NABF=NBCG=/CDH,根據(jù)三角形全等的前提，易得△D4E段.

△ABF^/\BCG^/\CDH,從而得到四邊形EFGH是正方形。

類比研究［來歷:學(xué)?？?。網(wǎng)］

如圖2,在正△ABC的內(nèi)部，作/區(qū)4O=NC8E=/AC￡AD,BE,CF兩兩訂交

于￡）,E,F三點（Q,E,F三點不重合）。

（1）AAB￡>,△BCE,△C4F是否全等？參加是，請?zhí)暨x其中一對進行證明；

（2）XDEF是否為正三角形？請說明來由；

（3）進一步探討發(fā)覺，△ABO的三邊存在必然的等量關(guān)系，設(shè)BD=a,

AD=b,AB=c,請?zhí)剿鱝,b,c,滿足的等量關(guān)系。

HA

（第23題圖1）（第23題圖2）（第23題備用圖）

【答案解析】(1)全等；證明見解析；(2)是，來由見解析；(3)<2=a2+ah+b2.

【解析】

試題分析：(D由正三角形的性質(zhì)得NCAB=NABC=NBCA=60\AB=BC,證出NABD=NBCE,由ASA證

明AABg△BCE即可；、

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出NADB=NBEC=NCFA：證出NFDE=NDEF=NEFD即可得出結(jié)論：

(3)作AG1BD于G,由正三角形的性質(zhì)得出NADG=60。,在RtAADG中,DG=%&6=理上在RtAABG

22

中，由勾股定理即可得出結(jié)論.

試題解析：(1)△ABD^/\BCE^/\CAF-,來由如下：

「△ABC.是正三角形，

NC4B=/4BC=N8CA=60。，AB=BC,

'：ZABD=ZABC-Z2,ZBCE=ZACB-Z3,Z2=Z3,

NABD=NBCE,

在△A3。和△BCE中，

Z1=Z2

<AB=BC,

4ABD=ABCE

...△AB度△BCE(ASA)；

(2)△?！晔钦切危粊碛扇缦拢?/p>

AABD^ABCE^AC4F,

NADB=/BEC=NCFA,

ZFDE=ZDEF=ZEFD,

.?.△OE尸是正三角形；

(3)作AGLBO于G如圖所示:

BaD~G

???ADEF是正三角形,

???ZADG=60°,

在RSAQG中,DG=-b、

2

在Rt/kABG中,

/.C2=?2+6ZZ?+Z?2.

BaDG

11.（2021寧波）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線訂交

所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角.

（1）如圖1,/E是AABC中乙4的遙望角，若/A=a,請用含a的代數(shù)式示意/￡

（2）如圖2,四邊形4BC。內(nèi)接于。O,AD=BD，四邊形48C。的外角平分線

交。O于點F,連結(jié)BF并耽誤交CD的耽誤線于點E.求證：NBEC是△ABC中NBAC

的遙望角.

（3）如圖3,在⑵的前提下，連結(jié)AE,AF,若AC是。。的直徑.

①求/AE。的度數(shù):

②若4B=8,CD=5,求AOE尸的面積.

圖1圖2圖3

125

【答案解析】(1)Z￡=-a；(2)見解析；(3)①/AE￡>=45。；②一

29

【試題解答】

【考點解析】

(1)由角平分線的定義可得出結(jié)論;

(2)由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/RDC+/F8C=180。，得出證得

/ABF=NFBC,證出/A8=/L?CT,則CE是△ABC的外角平分線，可得出結(jié)論；

(3)①毗鄰CF,由前提得出NBFC=NBAC,則NBFC=2NBEC,得出NBEC=N/^D

證明△FQE絲△EDA(A4S),由全等三角形的性質(zhì)得出OE=D4,則/AE￡>=ND4E,

得出/A￡>C=90。，則可求出答案；

②過點4作AGLBE于點G,過點F作FMLCE于點M,證得△EGA^^ADC,得出

AF,A7~)4S

---=----,求出---=—,設(shè)4￡>=4x,AC=5x,則有(4x)2+52=(5x)2,解得戶一，

ACCDAC53

求出EDCE的長，求出DM,由等腰直角三角形的性質(zhì)求出FM,根據(jù)三角形的面

積公式可得出答案.

【詳解】解：(1)平分N4BC,CE平分NACD,

111

ZE^ZECD-ZEBD=—(ZACD-AABC)=yZAA=-a,

(2)如圖1,耽誤3C到點T,

圖1

,??四邊形FBCQ內(nèi)接于。0,

ZFDC+ZFBC=180°,

又???ZFDE+ZFDC=180°,

:?/FDE=/FBC,

???。/平分NAOE,

???NADF=/FDE,

?.,ZADF=ZABF,

：.NABF=/FBC,

???BE是NA8C的平分線，

■;AD=BD，

：./ACD=NBFD,

???NB尸D+/BCD=180。,ZDCT+ZBCD=180°,

：.ZDCT=ZBFD9

：.ZACD=ZDCTi

/.CEMAABCM外角平分線,

???NBEC是AABC中NB4C的遙望角.

(3)①如圖2,毗鄰CF,

圖2

??,NBEC是中/84C的遙望角,

???ZBAC=2ZBEC,

?：NBFC=NBAC,

:.ZBFC=2ZBEC,

?.*/BFC=NBEC+/FCE,

：./BEC=/FCE,

u：ZFCE=ZFAD,

：.ZBEC=ZFAD.

又丁ZFDE=ZFDA,FD=FD,

/.△FDE^AFDA(A4S),

：.DE=DA,

：./AED=NDAE,

〈AC是。。的直徑，

JZADC=90°,

???ZAED+ZDAE=90\

：.NAEO=ND4E=45。，

②如圖3,過點A作AG_L3E于點G,過點方作FMLCE于點M,

圖3

〈AC是。。的直徑，

NA8C=90。，

???3E平分乙43C,

JZFAC=ZEBC=-N4BC=45。,

2

ZAED=45\

：.ZAED=ZFAC,

?：/FED=/FAD,

：.ZAED-ZFED=ZFAC-NEW,

???ZAEG=ZCAD,

???NEGA=N4OC=90。，

A△EGAADC,

.AEAG

??正一而’

5

???在RSA3G中，AG=—AB=4>/2,

2

RtAADE中，AE=近AD,

.AD4

..——=—,

AC5

在RSAQC中，AD2+DC2=AC2,

???設(shè)AD=4x,AC=5x,則有(4無)2+52=(5x)2,

5

一,

3

20

：.ED=AD=——,

3

35

：.CE=CD+DE=—,

3

?；NBEC=ZFCE,

,FC=FE,

VFM±CE,

,1「35

??EM=—CE=—,

26

5

:.DM=DE-EM=一,

6

'：ZFDM=45°,

.5

：.FM=DM=~,

6

125

..SADEF=—DE?FM=一.

29

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了角平分線的定義，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三

角形的判斷與性質(zhì)，諳練掌握相似三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2021衢州）如圖1,