2022-2023學年新高一入學考試數(shù)學試題（福建）（Word版含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2022-2023學年新高一入學考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．我國古代數(shù)學家劉徽用“割圓術”將的值精確到小數(shù)點后七位，其結果領先世界1000多年.“割圓術”是指用圓的內接正多邊形的周長來近似替代圓的周長，從正六邊形起算，并依次倍增，使誤差逐漸減小，如圖所示，當圓的內接正多邊形的邊數(shù)為12時，由“割圓術”可得圓周率的近似值為（

）A． B． C． D．2．如圖所示幾何體是由一個長方體和圓錐構成，則該幾何體的俯視圖可以為（）A． B． C． D．3．若關于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．《九章算術》中有如下問題:“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何?”其大意:“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步?”則其內切圓的直徑的步數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，已知是半圓的直徑，A是延長線上一點，切半圓于點D，于點C，于點F，若，則的半徑為（

）A．3.5 B．4 C． D．3.756．一只盒子中有個紅球，9個白球，個黑球，每個球除顏色外都有相同.已知至少摸出17個球時其中一定有5個紅球，至少摸出17個球時其中一定有8個相同顏色的球，則代數(shù)式的值為（

）A．7 B．6 C．5 D．47．如圖，正方形和正方形的邊長分別為3和1，點，分別在邊，上，為的中點，連接，則的長為（

）A． B．2 C． D．8．某人從上一層到二層需跨10級臺階.他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過程共有（

）種.A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題9．我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若，則該矩形的面積為___________．10．已知為等腰三角形，，邊上的中線的長為7，則的面積為__________．11．已知方程有兩個負根，則k的取值集合為___________.12．已知實數(shù)，滿足方程，當時，的取值范圍為________．13．如圖是工人將貨物搬運上貨車常用的方法，把一塊木板斜靠在貨車車廂的尾部，形成一個斜坡，貨物通過斜坡進行搬運.根據(jù)經(jīng)驗，木板與地面的夾角為20°（即圖中∠ACB=20°）時最為合適，已知貨車車廂底部到地面的距離AB=1.5m，木板超出車廂部分AD=0.5m，則木板CD的長度為________．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精確到0.1m）.14．如圖，在等邊中，分別為的中點，于點為的中點，連接，且，則的面積為__________.15．如圖，有一個邊長不定的正方形，它的兩個相對的頂點，分別在邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點，在正六邊形內部（包括邊界），則正方形邊長的取值范圍是___________.16．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則的取值范圍是______.三、解答題17．某班有甲、乙、丙三位學生在志愿者活動中表現(xiàn)優(yōu)異，現(xiàn)從3人中選1人去參加全校表彰大會，有同學提議用如下方法：將4個編號為1，2，3，4的小球（形狀、大小、質地都相同），放在一個不透明的袋中，按甲、乙、丙的順序依次不放回地從袋中摸取一個小球，誰摸取的小球編號最大，誰就參加表彰大會．現(xiàn)用有序數(shù)組表示摸球的結果，例如表示甲、乙、丙摸取的小球編號分別為1，4，3．（1）列出所有摸球的結果；（2）求甲去參加表彰大會的概率，并判斷該同學提議的方法是否公平．18．已知關于的方程有兩個實數(shù)根.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若滿足，求實數(shù)的值.19．如圖，已知是的直徑，弦與直徑相交于點.點在外，作直線，且.(1)求證：直線是的切線.(2)若，，，求的長.20．如圖，在矩形中，是邊上的一個動點，將四邊形沿直線折疊，得到四邊形，連接.(1)若直線交于點，求證：；(2)當時，求證：是等腰三角形；(3)在點的運動過程中，求面積的最小值．21．我國所需的高端芯片很大程度依賴于國外進口，“缺芯之痛”關乎產業(yè)安全、國家經(jīng)濟安全.如今，我國科技企業(yè)正在芯片自主研發(fā)之路中不斷崛起.根據(jù)市場調查某手機品牌公司生產某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產1萬部還需另投入16萬美元.設該公司一年內共生產該款手機萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬美元，且當該公司一年內共生產該款手機2萬部并全部銷售完時，年利潤為704萬美元.（1）寫出年利潤(萬美元)關于年產量(萬部)的函數(shù)解析式：（2）當年產量為多少萬部時，公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.22．已知二次函數(shù)的圖象過點，且函數(shù)對稱軸方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值；（Ⅲ）探究：函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點，使它的橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】設圓的半徑為，圓的內接12邊形的邊長為，將圓的周長近似等于12邊形的周長即可求解.【詳解】設圓的半徑為，則圓的內接12邊形的邊長為，周長為，由，得.故選：A.【點睛】本題考查了圓的面積公式，考查了基本運算能力，屬于基礎題.2．C【解析】【詳解】解：根據(jù)俯視圖的定義，可知這個幾何體的內部是一個柱體，上面是個圓錐，因此俯視圖為選C.被擋住的部分用虛線表示．3．C【解析】【詳解】試題分析：利用題中條件：“關于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根”由韋達定理的出m的關系式，解不等式即可．解：∵關于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＞0，即：m2﹣4＞0，解得：m∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故選C．點評：本題考查一元二次方程的根的判別式與根的關系，屬于基本運算的考查．4．D【解析】【分析】求出三角形的斜邊，根據(jù)三角形面積自等，即可求出內切圓半徑，進而可得結果.【詳解】設內切圓半徑為R，三角形斜邊為，所以，直徑為4故選：D5．D【解析】根據(jù)圖形，連接OD，作于點H，由切半圓于點D，得到，又，則，易證，得到，設，然后在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：連接OD，作于點H，因為切半圓于點D，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，設，則，在中，由勾股定理得，解得，故選：D【點睛】本題主要考查圓的切線的性質，切割線定理，勾股定理等面積法以及平行線段成比例定理，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.6．D【解析】【分析】根據(jù)“至少摸出17個球時其中一定有5個紅球得到方程，求得；根據(jù)“至少摸出17個球時一定有8個相同色的球”，最壞的情況，這17個球中一定包含3個黑球，這樣其余的14個球只有紅球和白球.為了保證這14個球中一定有8個顏色相同的球，于是得到，（8為白球數(shù)，若，則會出現(xiàn)，不能保證8個同色），即可得到結論.【詳解】“至少摸出17個球時其中一定有5個紅球”：“一定”包含最壞的情況，即摸完所有的白球和黑球才摸到紅球，，；“至少摸出17個球時一定有8個相同顏色的球”：最壞的情況：這17個球中一定包含3個黑球.這樣其余的14個球只有紅球和白球.為了保證這14個球中一定有8個顏色相同的球，，（8為白球數(shù)，若，則會出現(xiàn)，不能保證8個同色），.故選：D.7．C【解析】【分析】延長交于點，作于點，則是的中位線，求得的長和的長，在中利用勾股定理求解.【詳解】延長交于點，作于點.則.是的中點，是的中位線，.直角中，，是等腰直角三角形，即，同理中，..在中，.故選：C.8．C【解析】【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步.每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側.此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球.所以，此種情況共有4種可能的不同排列.（2）第1球不是白球.（i）第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列.（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過程.9．12【解析】設小正方形的邊長為，在中由勾股定理得，則可求出面積.【詳解】設小正方形的邊長為，，，在中，，即，即，則該矩形的面積為.故答案為：12.10．【解析】【分析】先設等腰三角形的腰長為，進而可得底邊的長，再由余弦定理列出方程，即可求出，從而可得結果.【詳解】設等腰三角形的腰長為，因為，所以，由余弦定理可得：，，因為與互補，所以，即，解得，所以，所以故答案為【點睛】本題主要考查解三角形的問，常用余弦定理和正弦定理來處理，屬于基礎題型.11．【解析】【分析】根據(jù)判別式和韋達定理列式可求出結果.【詳解】設方程的兩個負根為，所以，解得，故答案為：12．【解析】可知表示直線上的點與點連線的斜率，即可求出.【詳解】實數(shù)，滿足方程，當時，表示直線上的點與點連線的斜率，設、為直線上的兩個點，且，的斜率為，的斜率為

，故的范圍為，故答案為：．13．【解析】【分析】根據(jù)的正弦函數(shù)和的長度求的長，再加上即可．【詳解】解：由題意可知：．在中，，，．故答案為：．14．【解析】【分析】根據(jù)題意設正三角形邊長為，連接，則，化簡求得，根據(jù)勾股定理列方程，可求，即可求解三角形面積.【詳解】連接設則且且在中可得方程解得故故答案為：【點睛】本題考查正三角形性質，平行關系和垂直關系，基礎題型.15．【解析】【分析】當正方形的頂點???在正六邊形的邊上時，正方形的邊長的值最大，解直角三角形得到，當正方形的對角線在正六邊形一組平行的對邊的中點上時，正方形邊長的值最小，是正方形的對角線，解直角三角形即可得到結論.【詳解】①當正方形的對角線在正六邊形一組平行的對邊的中點上時，正方形邊長的值最小，是正方形的對角線，，，②當正方形的四個頂點都在正六邊形的邊上時，正方形邊長的值最大，是正方形的對角線，建立下圖直角坐標系，設時，正方形的邊長最大，，，設直線的解析式為，，，，，直線的解析式為，將代入得，此時，取最大值，，正方形邊長的取值范圍是：，故答案為：.16．【解析】【詳解】設.由題設知，當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，即，所以a≥16，矛盾.當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，即.因此，的取值范圍為.故答案為17．（1）答案見解析（2），公平【解析】（1）一一列舉出所有的摸球結果（基本事件）即可，（2）找到甲摸取的小球編號最大的結果（基本事件），根據(jù)概率公式計算即可，并作出判斷.【詳解】（1）基本事件為（1，2，3），（1，2，4），（1，3，2），（1，3，4），（1，4，2），（1，4，3），（2，1，3），（2，1，4），（2，3，1），（2，3，4），（2，4，1），（2，4，3），（3，1，2），（3，1，4），（3，2，1），（3，2，4），（3，4，1），（3，4，2），（4，1，2），（4，1，3），（4，2，1），（4，2，3），（4，3，1），（4，3，2），基本事件的總數(shù)為24.(2)甲去參加表彰大會包含的基本事件為（3，1，2），（3，2，1），（4，1，2），（4，1，3），（4，2，1），（4，2，3），（4，3，1），（4，3，2），共8個基本事件，所以甲去參加表彰大會的概率，甲乙丙三名同學獲勝的概率與其摸取的次序是無關，該方法是公平的.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用判別式的意義得到，然后解不等式即可；（2）利用根與系數(shù)的關系得到，，利用得到，然后解方程后利用的范圍確定的值.（1）關于的方程有兩個實數(shù)根，，解得.（2）關于的方程有兩個實數(shù)根，，，，，整理得，解得，，，的值為.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的判定即可得直線是的切線.（2）根據(jù)直徑所對圓周角是直角可得，根據(jù)，，即可求的長.（1）證明：連接，是的直徑，，即，，，，即，直線是的切線；（2）過點作邊的垂線交于點.，，，，，，在中，.20．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明即可證明結論；（2）分別過點作于點于點，進而根據(jù)幾何關系證明是垂直平分線即可證明結論；（3）作點關于的對稱點，點落在以點B為圓心，以AB為半徑的弧AM上．設弧交于點，過點作于，進而得當點落在點處時，的面積最小，再根據(jù)即可得答案.（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∴．根據(jù)對稱可得，∴．∴．（2）證明：如圖2，分別過點作于點于點，∵四邊形是矩形，∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．根據(jù)對稱可得，．∴．∴四邊形是矩形．∴．∴是的垂直平分線．∴．（3）解：根據(jù)對稱可得點與點的對稱點分別為點．作點關于的對稱點，如圖3.由對稱性得．∴，點落在以點B為圓心，以AB為半徑的弧AM上．設弧交于點，過點作于．由垂線段最短知．∵，∴．∴當點落在點處時，的面積最?。吹拿娣e最?。藭r．．∴面積的最小值為421．（1）；（2）32萬部，最大值為6104萬美元.【解析】（1）先由生產該款手機2萬部并全部銷售完時，年利潤為704萬美元，解得，然后由，將代入即可.（2）當時利用二次函數(shù)的性質求解；當時，利用基本不等式求解，綜上對比得到結論.【詳解】（1）因為生產該款手機2萬部并全部銷售完時，年利潤為704萬美元.所以，解得，當時，，當時，.所以（2）①當時，，所以；②當時，，由于，當且僅當，即時，取等號，所以此時的最大值為5760.綜合①②知，當，取得最大值為6104萬美元.【