求xn的兩個(gè)恒等式

求xn的兩個(gè)恒等式

1隨機(jī)變量x1、lx、lx分布函數(shù)2.dx、xn獨(dú)立分布，11，xn是獨(dú)立分布的，其密度函數(shù)為。f(x)={1θe-x/θ?x>0?0?x≤0.f(x)={1θe?x/θ?0?x>0?x≤0.對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為F(x)={1-e-x/θ?x>0?0?x≤0.F(x)={1?e?x/θ?0?x>0?x≤0.對(duì)于隨機(jī)變量X(1)=min(X1,X2,…,Xn),由于X(1)服從參數(shù)為nθnθ的指數(shù)分布,故E(X(1))=θn?D(X(1))=θ2n2E(X(1))=θn?D(X(1))=θ2n2,但對(duì)于X(n)=max(X1,X2,…,Xn)的數(shù)學(xué)期望和方差卻不太容易求出,因?yàn)閄(n)并不服從常用分布,因此,本文給出了兩種方法解決這一問(wèn)題,并由此導(dǎo)出了兩個(gè)恒等式.2密度函數(shù)及必要的關(guān)系公式解法一X(n)的分布函數(shù)為Fmax(x)=P(X(n)≤x)=P(X1≤x,X2≤x,…,Xn≤x)=[F(x)]n.因此,X(n)的密度函數(shù)為(只考慮非零部分)注意到nCkn-1kn?1=(k+1)Ck+1nk+1n,因此這是一個(gè)十分有趣的結(jié)論,X(n)的密度函數(shù)恰可表示為n個(gè)不同指數(shù)分布的密度函數(shù)的線(xiàn)性組合,而且十分對(duì)稱(chēng),下面我們就可以利用指數(shù)分布的期望和二階矩求出X(n)的期望和方差,即若X的密度函數(shù)為g(x)={1λe-x/λ?x>0?0?x≤0,g(x)={1λe?x/λ?0?x>0?x≤0,則E(X)=∫+∞0+∞0xλe-x/λdx=λ?E(X2)=xλe?x/λdx=λ?E(X2)=∫+∞0x2λe-x/λdx=D(X)+[E(X)]2=2λ2,于是解法二設(shè)X1,X2,…,Xn的次序統(tǒng)計(jì)量為X(1)≤X(2)≤…≤X(n),則(X(1),X(2),…,X(n))的聯(lián)合密度函數(shù)為(只考慮非零部分)G(x1,x2,…,xn)=n!n∏i=1f(xi)=n!(1θ)ne-1θn∑i=1xi(0≤x1≤x2≤…≤xn),令Y1=X(n)-X(n-1),Y2=2(X(n-1)-X(n-2)),…,Yn-1=(n-1)(X2-X1),Yn=nX(1),于是X(1)+X(2)+…+X(n)=Y1+Y2+…+Yn,且雅可比式J=D(X(1),X(2),?,X(n))D(Y1,Y2,?,Yn)=1n!,從而,(Y1,Y2,…,Yn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為g1(y1,y2,?,yn)=G(ynn?yn-1n-1+ynn???y1+y22+?+ynn)|J|=(1θ)ne-1θn∑i=1yi=n∏i=11θe-yiθ.因此,Y1,Y2,…,Yn相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為1θ的指數(shù)分布,而且X(n)=(X(n)-X(n-1))+(X(n-1)-X(n-2))+?+(X(2)-X(1))+X(1)=Y1+12Y2+?+1nYn,所以E(X(n))=EY1+12EY2+?+1nEYn=(1+12+13+?+1n)θ?D(X(n))=DY1+122DY2+?+1n2DYn=(1+122+132+?+1n2)θ2.3ncnn:2+1+2+1n2+1+2+1n2+1+2+1n2+1+2+1e的相關(guān)證明有意思的是從上面兩種不同的解法中我們還可以導(dǎo)出兩個(gè)恒等式,根據(jù)X(n)的數(shù)學(xué)期望可得到恒等式C1n-12C2n+13C3n+?+(-1)n-11nCnn=1+12+13+?+1n,(1)根據(jù)E(X2(n))=D(X(n))+(EX(n))2可得到恒等式2[C1n-122C2n+132C3n+?+(-1)n-11n2Cnn]=(1+12+13+?+1n)2+(1+122+132+?+1n2).(2)下面我們從數(shù)學(xué)分析的角度來(lái)驗(yàn)證以上兩上恒等式(1)的證明(2)的證明令w(x)=-xu′(x),于是w′(x)=-n∑k=1Ckn(-x)k-1=(1-x)n-1x.兩端同時(shí)取[0,x]的定積分,并注意w(0)=0.把形如(1-x)i的項(xiàng)用牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)并整理,得w(x)=-x+122∑k=1(-1)kCk2xk+133∑k=1(-1)kCk3xk+?+1nn∑k=1(-1)kCknxk,即得u′(x)=1+122∑k=1(-1)k-1Ck2xk-1+133∑k=1(-1)k-1Ck3xk-1+?+1nn∑k=1(-1)k-1Cknxk-1.兩端取[0,x]的定積分,并注意利用恒等式(1),得u(1)=1+122∑k=1(-1)k-11kCk2+133∑k=1(-1)k-11kC