ARMA時(shí)間序列模型及SPSS應(yīng)用

ARMA時(shí)間序列模型及其相關(guān)應(yīng)用段曉曼吳艾茜黃衍超2021.12.07.SouthernMedicalUniversity提綱時(shí)間序列模型的概念模型的識(shí)別模型階數(shù)確實(shí)定模型參數(shù)的估計(jì)模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膽?yīng)用2.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity一、時(shí)間序列模型的概念3.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity時(shí)間序列的概念時(shí)間序列是指將同一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值按其發(fā)生的時(shí)間先后順序排列而成的序列。時(shí)間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。2000-2021年我國(guó)GDP增長(zhǎng)圖*公開數(shù)據(jù)整理4.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityARMA模型的概念A(yù)RMA模型〔自回歸滑動(dòng)平均模型，Auto-RegressiveandMovingAverageModel〕是研究時(shí)間序列的重要方法。1976年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.E.P.Box和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.M.Jenkins聯(lián)合出版了?時(shí)間序列分析——預(yù)測(cè)和控制?一書，在總結(jié)前人的研究的根底上，系統(tǒng)地闡述了ARMA模型的識(shí)別、估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)的原理和方法，成為時(shí)間序列分析的核心，故ARMA模型也稱為Box-Jenkins模型。5.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityARMA模型的概念A(yù)RMA是一種單變量、同方差的線性模型，對(duì)于滿足有限參數(shù)線形模型的平穩(wěn)時(shí)間序列，主要有以下三種根本形式：自回歸模型〔AR:Auto-regressive〕移動(dòng)平均模型〔MA:Moving-Average〕混合模型〔ARMA:Auto-regressiveMoving-Average〕平穩(wěn)時(shí)間序列：統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時(shí)間變化。6.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity設(shè)為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，階數(shù)為p的自回歸模型定義為：AR模型模型簡(jiǎn)記為，是時(shí)間序列自身回歸的表達(dá)式，所以稱為自回歸模型。其中，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足，也稱白噪聲序列。為了方便表示，引進(jìn)延遲算子的概念。令：那么自回歸模型可寫為：其中：7.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity對(duì)于模型：AR模型假設(shè)滿足條件：的根全在單位圓外，即所有根的模都大于1，那么稱此條件為AR(p)模型的平穩(wěn)性條件。當(dāng)模型滿足平穩(wěn)性條件時(shí)，存在且一般是B的冪級(jí)數(shù)，于是模型又可寫為：8.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity設(shè)為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，階數(shù)為q的滑動(dòng)平均模型定義為：模型簡(jiǎn)記為。同樣為了方便表示，引進(jìn)延遲算子的概念。令：那么滑動(dòng)平均模型可寫為：其中：MA模型假設(shè)滿足條件：的根全在單位圓外，那么稱此條件為MA(q)模型的可逆性條件，此時(shí)存在且一般是B的冪級(jí)數(shù)，于是模型又可寫為：9.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityAR與MA模型的比較自回歸模型： 意義在于僅通過(guò)時(shí)間序列變量的自身歷史觀測(cè)值來(lái)反映有關(guān)因素對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)的影響和作用，不一定平穩(wěn)。滑動(dòng)平均模型： 意義在于用過(guò)去各個(gè)時(shí)期的隨機(jī)干擾〔白噪聲〕或預(yù)測(cè)誤差的線性組合來(lái)表達(dá)當(dāng)前預(yù)測(cè)值，但具有不一定可逆性。10.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityARMA模型設(shè)為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，p階自回歸q階滑動(dòng)平均混合模型定義為：=模型簡(jiǎn)記為ARMA(p,q).顯然，當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就是AR(p)模型；顯然，當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就是MA(q)模型；ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性只依賴于AR局部；ARMA(p,q)模型的可逆性只依賴于MA局部；11.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity二、模型的識(shí)別12.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityMA模型的自相關(guān)函數(shù)階數(shù)為q的滑動(dòng)平均模型定義為：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義：因?yàn)樗宰韵嚓P(guān)函數(shù)變?yōu)槿?xiàng)：13.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityMA模型的自相關(guān)函數(shù)對(duì)于：分以下幾種情況討論：1〕當(dāng)k=0時(shí)，有2〕當(dāng)時(shí)，有3〕當(dāng)k>q時(shí)，有從上述性質(zhì)可以看出，MA(q)序列的自相關(guān)系數(shù)在k>q時(shí)全為0.這種性質(zhì)稱為q步截尾性，說(shuō)明序列只有q步相關(guān)性。14.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityAR模型的自相關(guān)函數(shù)階數(shù)為q的自相關(guān)模型定義為：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義：令k=1,2,…,p,得自相關(guān)系數(shù)：從上述性質(zhì)可以看出，AR(q)序列的自相關(guān)系數(shù)隨著k的增大始終不為0.這種性質(zhì)稱為拖尾性，并且是呈負(fù)指數(shù)衰減。

15.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityARMA模型的自相關(guān)函數(shù)ARMA(p,q)模型的自相關(guān)系數(shù)，可以看做AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p，q均不為0時(shí)，如果當(dāng)p,q均大于或者等于2，其自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。16.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity偏相關(guān)函數(shù)從上面的討論可知，對(duì)于自相關(guān)函數(shù)，只有MA(q)模型是截尾的，AR(p)和ARMA(p,q)模型是拖尾的。為了進(jìn)一步區(qū)分AR(p)模型和ARMA(p,q)模型，我們引入了偏相關(guān)函數(shù)的概念。對(duì)于零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列中，給定，那么之間的偏相關(guān)函數(shù)定義為：注意：此時(shí)的期望指的是條件期望。17.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityAR模型偏相關(guān)函數(shù)設(shè)為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，設(shè)它滿足AR(p)模型：用乘上式兩邊，當(dāng)給定時(shí)，取條件期望得：

因?yàn)閗>0時(shí)，，且有故顯然即為AR(p)序列的偏相關(guān)函數(shù)，同時(shí)它又是AR(p)模型的最后一個(gè)回歸系數(shù)。當(dāng)k>p時(shí)，有，也即是截尾的。18.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityARMA模型偏相關(guān)函數(shù)ARMA模型的偏相關(guān)函數(shù)求解方法和上述略有不同，考慮用對(duì)做最小方差估計(jì)來(lái)求ARMA(p,q)序列(把MA(q)看作是p=0的特例)

的偏相關(guān)函數(shù)，同時(shí)推出偏相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。當(dāng)k>p時(shí)，即ARMA模型和MA模型都是拖尾的。19.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity平穩(wěn)時(shí)間序列的類型識(shí)別類別模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程平穩(wěn)條件

的根全在單位圓外無(wú)條件平穩(wěn)

的根全在單位圓外自相關(guān)函數(shù)拖尾截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)截尾拖尾拖尾20.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity三、模型階數(shù)確實(shí)定21.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity

討論：如何用樣本自相關(guān)函數(shù)來(lái)推斷模型的階。模型階數(shù)確實(shí)定22.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity樣本的自相關(guān)函數(shù)

樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：模型階數(shù)確實(shí)定〔式1〕由樣本值求出樣本自相關(guān)函數(shù)23.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity

由正態(tài)分布的性質(zhì)知，或在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)閝一般不是很大，而N很大，此時(shí)常取

或

24.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity

或

〔3〕ARMA(p,q)模型的階數(shù)p和q難于確定，一般采用由低階到高階逐個(gè)試探，如取(p,q)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，…直到經(jīng)驗(yàn)證認(rèn)為模型適宜為止。

25.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity四、模型參數(shù)的估計(jì)26.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity中選定模型及確定階數(shù)后，進(jìn)一步地問(wèn)題是要估計(jì)出模型的未知參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法有矩法、最小二乘法、極大似然法等。模型參數(shù)的估計(jì)27.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity模型參數(shù)的估計(jì)

寫成矩陣式為〔式2〕〔式3〕推導(dǎo)見課本P135AR(p)模型的參數(shù)估計(jì)28.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity利用(式2)，(式3)將參數(shù)換成它們的估計(jì)，模型參數(shù)的估計(jì)AR(p)模型的參數(shù)估計(jì)29.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity模型參數(shù)的估計(jì)

將參數(shù)換成它們的估計(jì)，

可直接求解，也可迭代求解。MA(q)模型的參數(shù)估計(jì)MA(q)序列的協(xié)方差函數(shù)表達(dá)式30.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity模型參數(shù)的估計(jì)

首先，利用〔式4〕，將參數(shù)換成它們的估計(jì)〔式4〕ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)31.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity然后，令

模型參數(shù)的估計(jì)ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計(jì)

32.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity五、模型的檢驗(yàn)33.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity模型的檢驗(yàn)

34.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity模型的檢驗(yàn)

M取N/10左右35.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity六、模型的應(yīng)用36.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity

時(shí)間序列或動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)是依時(shí)間順序先后排列的，各有其大小的一列數(shù)據(jù)。這種有序性和大小反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的相互聯(lián)系和變化規(guī)律，蘊(yùn)含著產(chǎn)生這列數(shù)據(jù)的現(xiàn)象、過(guò)程或系統(tǒng)的有關(guān)特性，有關(guān)的信息。

研究、分析與處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，正是為了揭示數(shù)據(jù)本身的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，了解系統(tǒng)的特性，明了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，推斷數(shù)據(jù)與系統(tǒng)的未來(lái)情況。但是，通常人們獲得的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)總是有限而非無(wú)限的，所以時(shí)間序列分析就是在有限個(gè)樣本數(shù)據(jù)總量的情況下，建立相對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，從而獲得具有一定精度的統(tǒng)計(jì)特性，進(jìn)而到達(dá)預(yù)判經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、躲避風(fēng)險(xiǎn)等目的。時(shí)間序列分析37.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity某商品月銷售額時(shí)間1991年1992年1993年1994年1995年1996年1月份603.2225612.8499620.2722629.6026640.5817649.40082月份636.8149645.9645655.7020663.0500672.2036681.69993月份707.1452715.9899723.8026733.8552743.0334752.35014月份638.0379646.1702654.8081664.6104675.1520684.52265月份620.6295628.2095636.0499645.5190655.5609663.96336月份707.2703717.1703725.7692735.4458741.9791753.33477月份539.0789549.4425557.4150566.1298573.6024583.93478月份252.8602259.8826270.9799279.3648288.2158297.61629月份591.7836601.1425611.3857620.6696627.7034639.499810月份626.9935637.4908646.0962654.9507663.0892672.444911月份582.6923592.8298602.6265611.4662620.7718629.950112月份611.3965620.8653630.0778637.0239647.4319655.4984構(gòu)建模型的數(shù)據(jù)〔67個(gè)數(shù)據(jù)，5個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)〕構(gòu)建時(shí)間序列模型38.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity使用SPSS畫出時(shí)間序列的序列圖序列特點(diǎn)：1.序列具有周期性，且周期為12個(gè)月。2.序列具有上升趨勢(shì)。3.序列不平穩(wěn)。構(gòu)建時(shí)間序列模型39.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversityRA、MA、RAMA模型，只適用于平穩(wěn)時(shí)間序列，但是通過(guò)前面的分析，該時(shí)間序列的模型符合以下特征：其中是趨勢(shì)項(xiàng)，是周期項(xiàng)，則是平穩(wěn)序列。

只要能將平穩(wěn)序列從原始具有趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列中提取出來(lái)，就可以對(duì)提取出來(lái)的序列進(jìn)行上述平穩(wěn)序列的分析。而一個(gè)具有趨勢(shì)項(xiàng)的非平穩(wěn)序列，總是可以在經(jīng)過(guò)假設(shè)干次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。當(dāng)然，具有周期性的序列也可以通過(guò)季節(jié)性的差分提取平穩(wěn)序列。如果序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)；如果序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階〔二階或三階〕差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響；對(duì)于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通?？梢暂^好的提取周期信息。構(gòu)建時(shí)間序列模型——序列平穩(wěn)化40.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity構(gòu)建時(shí)間序列模型——序列平穩(wěn)化進(jìn)行季節(jié)性差分，周期為12序列特點(diǎn)：1.周期性根本去除；2.序列仍然具有上升趨勢(shì)。41.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity構(gòu)建時(shí)間序列模型——序列平穩(wěn)化進(jìn)行季節(jié)性差分以及一階差分序列特點(diǎn)：1.周期性根本去除；2.序列圍繞著0波動(dòng)，零均值。3.經(jīng)過(guò)差分處理后為平穩(wěn)的序列適用于ARMA模型時(shí)，稱這種模型為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)42.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity構(gòu)建時(shí)間序列模型——相關(guān)性分析自相關(guān)函數(shù)特性：1.自相關(guān)函數(shù)在一階滯后的函數(shù)值根本都落入置信區(qū)間。2.在12階滯后時(shí)自相關(guān)系數(shù)超出置信區(qū)間，周期性趨勢(shì)仍存在。3.自相關(guān)函數(shù)拖尾，無(wú)截?cái)唷?3.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity特性：1.偏相關(guān)函數(shù)在二階滯后的函數(shù)值根本都落入置信區(qū)間；2.偏相關(guān)函數(shù)拖尾，無(wú)截?cái)?差分處理后的模型適用于ARMA模型，因此對(duì)原序列采用ARIMA模型分析。3.根據(jù)偏相關(guān)函數(shù)：初步定階為：非周期性滯后偏相關(guān)階數(shù)p=2，周期性滯后偏相關(guān)階數(shù)P=0；4.根據(jù)相關(guān)函數(shù)，初步定階為：非周期性滯后相關(guān)階數(shù)q=1，周期性滯后相關(guān)階數(shù)Q=1；構(gòu)建時(shí)間序列模型——相關(guān)性分析偏相關(guān)函數(shù)44.SouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversitySouthernMedicalUniversity構(gòu)建時(shí)間序列模型——確定模型構(gòu)建模型：1.選擇銷售額作為因變量輸入。2.在方法中選擇使用ARIMA模型，階數(shù)為(2,1,1)(0,1,1),前面的括號(hào)表示非周期性滯后階數(shù)變量，其中p