廣義ramanuian模方程解ka,r的h

廣義ramanuian模方程解ka,r的h

0擬共形照相型p對于a、b和c（c.0、1、2，…），高斯幾何函數(shù)被定義為：。F(a,b;c;x)=2F1(a,b;c;x)=∞∑n=0(a,n)(b,n)(c,n)xnn!,x∈(-1,1)(1)這里,當a≠0時,(a,0)=1,其中對于n=1,2,…,(a,n)=a(a+1)(a+2)(a+3)…(a+n-1).當c=a+b時,函數(shù)F(a,b;a;x)稱為零平衡。當a∈(0,1),a+b=1,r∈(0,1)時,稱為第一類完全橢圓積分。顯然當a=1/2時,a(r)退化成第一類完全橢圓積分(r)。由式(2)的對稱性,我們假設a∈(0,1/2]。對于a∈(0,1/2],r∈(0,1),Ua∶(0,1)→(0,∞)定義為Ua(r)=π2sinπaa′(r)a(r).(3)函數(shù)U(r)=U1/2(r)即為擬共形映照中平面Gr?tzsch環(huán)B2\[0,r]的模函數(shù),這里B2表示平面單位圓盤。符號差1/a的p次廣義Ramanujan模方程定義為F(a,1-a;1,1-s2)F(a,1-a;1;s2)=pF(a,1-a;1,1-r2)F(a,1-a;1;r2)(4)這里a∈(0,1/2],r∈(0,1),p>0。利用式(3),我們可以把式(4)寫成μa(s)=pμa(r)(5)式(5)的解可以表示為S=φK(a,r)=Ua-1a(Ua(r)/K),K=1/p(6)特別地,當a=1/2時,φK(a,r)退化成Hersch-Pfluger偏差函數(shù)φK(r),這個函數(shù)在擬共形映照中扮演重要的角色。對于a∈(0,1/2],Ramanujan常數(shù)R(a)定義為R(a)=-2γ-ψ(a)-ψ(1-a),其中R(1/2)=log16,γ=0.577215…表示Eluer常數(shù),ψ為經(jīng)典psi函數(shù)。最近,模函數(shù)φK(a,r)與它的特殊形式φK(r)在幾何函數(shù)論、模方程理論得到廣泛研究。特別地,很多重要的性質(zhì)及其不等式在文獻得以研究,如H?lder連續(xù)性和次可乘性,H?lder連續(xù)性是指,設E?Rn是一個集合。f∶E→Rn是一函數(shù),0<α≤1,若存在常數(shù)M>0,對x1,x2∈E,有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|α,則稱f是E上具有指數(shù)為α的H?lder連續(xù)性;次可乘性是指,若函數(shù)f∶[0,∞)→R對于所有的x≤0,y≤0,滿足f(xy)≤f(x)f(y),則稱f具有次可乘性。如當r,t∈,K≥1時,Anderson,Vamanamurthy及Vuorinen證明了H?lder連續(xù)性不等式|φK(r)-φK(t)|≤41-1/K|r-t|1/K(7)以及|φ1/K(r)-φ1/K(t)|≥41-K|r-t|K(8)文章主要目的是揭示模函數(shù)φK(a,r)的H?lder連續(xù)性和次可乘性,主要結(jié)果為定理1.1、定理1.2。1r單調(diào)上升和k1-定理1.1對于任意的K∈(1,∞)。(1)函數(shù)g1(x)=φK(a,tanhx)從(0,∞)到(0,1)上單調(diào)上升且為向上凹的,特別地,對于任意的r,t∈(0,1),K∈(1,∞),成立不等式φΚ(a,r+t1+rt)≤φΚ(a,r)+φΚ(a,t)≤2φΚ(a,rt1+rt+r′t′)(9)(2)函數(shù)g2(x)=φK(a,1-e-x)從(0,∞)到(0,1)上單調(diào)上升且為向上凹的。特別地,對于任意的r,t∈(0,1),K∈(1,∞),成立不等式φΚ(a,r+t-rt)≤φΚ(a,r)+φΚ(a,t)≤2φΚ(a,1-√(1-r)(1-t))(10)即對于K∈(1,∞),r,t∈(0,1),φK(a,u)≤φK(a,r)+φK(a,t)≤2φK(a,v),這里u=max{r+t-rt,r+t1+rt},v=min{1-√(1-r)(1-t),r+t1+rt+r′t′}。定理1.2對于一切K∈(0,∞),A(Κ)=min{1,e(1-1Κ)R(a)2},B(Κ)=max{1,e(1-1Κ)R(a)2},在×上定義函數(shù)f(r,t):f(r,t)=φΚ(a,r)φΚ(a,t)φΚ(a,rt)。則對于一切K∈(1,∞)(K∈(0,1)),函數(shù)f(r,t)關于r單調(diào)下降(單調(diào)上升)。特別地,對于任意的r,t∈(0,1),K∈(0,∞),成立不等式A(K)φK(a,rt)≤φK(a,r)φK(a,t)≤B(K)φK(a,rt),(11)各等號成立當且僅當K=1。2關于0,1/2引理2.1,2,4.2,4.2工作原理為了證明結(jié)論,需要下面的公式及幾個引理,現(xiàn)敘述如下:下面的求導公式引自文獻中定理4.7(7):?φΚ(a,r)?r=1Κss′2a(s)2rr′2a(r)2=Κss′2′a(s)2rr′2′a(r)2,(12)其中s=φK(a,r),r∈(0,1),K∈(0,∞)。下面的引理2.1(1)可根據(jù)文獻中引理6.2(1),(2),(4),(5)。引理2.1(2)可根據(jù)文獻中定理6.8。引理2.1對于任意的a∈(0,1/2],K∈(1,∞)(K∈(0,1)),r∈(0,1),令s=φK(a,r)。則(1)從(0,1)到(1,∞)((0,1))嚴格單調(diào)下降(嚴格單調(diào)上升)。(2)從(0,1)到(0,∞)((0,∞))嚴格單調(diào)下降(嚴格單調(diào)上升)。引理2.2令K∈(0,∞),r,b∈(0,1]。在上定義函數(shù)f:{f(r)=φΚ(a,r)2/φΚ(a,br2)f(0)=f(0+)=e(1-1Κ)R(a)2b-1Κf(1)=f(1-)=1φΚ(a,b)則對于K∈(0,1)(K∈(1,∞)),f嚴格單調(diào)上升(單調(diào)下降)。證明:令x=br2,s=φK(a,r),u=φK(a,br2)=φK(a,x),我們有x<r,f(r)=s2/u。對數(shù)求導,并由式(12)有Κr2f′(r)f(r)=s′2a(s)2r′2a(r)2-u′2a(u)2x′2a(x)2。因此,由引理2.1(1),即可得到f的單調(diào)性及極限值。3材料x的凹性定理1.1的證明。(1)令r=tanhx=[e2x-1]/[e2x+1],s=φK(a,r),則r′=√1-r2=[2ex]/[e2x+1],drdx=r′2,g1(x)=φΚ(a,r)=s,并由式(12)得g′1(x)=?φΚ(a,r)?r?drdx=1Κss′2a(s)2rr′2a(r)2?r′2。(13)對于任意的K>1,由式(13)及引理2.1(2)知,g′1單調(diào)下降,即得g1(x)的凹性。因為g1(0)=0,g′1(x)單調(diào)下降,所以g1(x)/x單調(diào)下降,又由g1(x)的凹性,有g1(x+y)≤g1(x)+g1(y)≤2g1(x+y2)(14)令r=tanhx,t=tanhy,則tanhx+y2=r+t1+rt+r′t′,tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhx?tanhy=r+t1+rt,故由式(14)即得不等式(9)。(2)令r=1-e-x,s=φK(a,r),則g2(x)=φK(a,r)=s。由式(12)得,g′2(x)=1Κss′2a(s)2rr′2a(r)2(1-r)(15)對于任意的K>1,由式(15)及引理2.1(2)知,g′2單調(diào)下降,即得g2(x)的凹凸性。令r=1-e-x,t=1-e-y,則類似證明不等式(9)的方法即可得到不等式(10)的證明。定理2.2的證明。令D={(r,t)∶0<t<r<1},s=φK(a,r),u=φK(a,t),v=φK(a,rt)=φK(a,x),x=rt<r,則有