歐歐聯(lián)邦空間中的一般螺線

歐歐聯(lián)邦空間中的一般螺線

一般螺旋是歐洲空間微幾何的重要曲線。作為一種特殊的曲線，一般螺釘?shù)难芯繉η€理論是非常重要的。一般螺線的概念和基本性質(zhì)詳見參考文獻。Minkowski空間是愛因斯坦狹義相對論的時空模型,Minkowski幾何是在洛侖茲變換群下幾何性質(zhì)保持不變的一門科學,與歐式幾何有很大的不同。文獻給出了Minkowski空間、Minkowski空間中的一般螺線的定義和基本性質(zhì),說明了這類曲線的重要性,本文在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探討Minkowski空間中的一般螺線。1t面為三維mr,bs設(shè)R3為三維向量空間,a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)是R3中的2個向量,定義它們的偽內(nèi)積為[a,b]=-a1b1+a2b2+a3b3,稱R3,[,]為三維Minkowski空間,記為R13,對三維Minkowski空間中任意的向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3),定義它們的偽向量積為:定義1(正則曲線)設(shè)r∶I→R13,其中I是一個開區(qū)間,如果坌t∈I,r(t)可導(dǎo)并且r′(t)≠0,稱r(t)為R13中的光滑正則曲線。分別稱曲線r(t)為空間型曲線、時間型曲線、光型曲線,如果坌t∈I,r′≠(t),r′(t)≠>0,≠r′(t),r′(t)≠<0或r′≠(t),r′(t)≠=0。本文中出現(xiàn)的曲線均是指非光型的光滑正則曲線。對于非光型曲線,仿三維歐式空間中弧長的定義模式,三維Minkowski空間中從a到t曲線的弧長為:很多情況下曲線以它的弧長s作為參數(shù)使問題大大簡化,而||r′(t)||=1。定義2(Frenet標架)稱t(s)=r′(s)為曲線r(s)在s點的單位切向量,定義曲率為:曲線r(s)在s點的單位主法向量由r″(s)=k(s)·n(s)確定,定義b(s)=t(s)>n(s)為s點的單位副法向量。t(s)、n(s)和b(s)構(gòu)成了曲線r(s)在s點的Frenet標架,而且以下的Frenet公式成立:其中A=而τ(s)是曲線r(s)在s點的撓曲率。Frenet公式是在R13中研究非光型曲線的基本公式。進一步的研究表明,t(s)、n(s)和b(s)構(gòu)成的標架有以下3種:(1)t(s)為空間型向量,n(s)為空間型向量,b(s)為時間型向量(稱此曲線為第一類類空曲線)。(2)t(s)為空間型向量,n(s)為時間型向量,b(s)為空間型向量(稱此曲線為第二類類空曲線)。(3)t(s)為時間型向量,n(s)為空間型向量,b(s)為空間型向量(稱此曲線為類時曲線)。對應(yīng)的Frenet公式中的A分別為:定義3(一般螺線)假如r=r(s)是三維Minkowski空間中的光滑正則曲線,s是它的自然參數(shù),稱r=r(s)是三維Minkowski空間中以a為參考向量的一般螺線(簡稱螺線),若r′s(s),as=c,其中a為單位常向量,c∈R為實常數(shù)。定理1若r=r(s)是非光型曲線,ue420s,k(s)≠0,τ(s)≠0,則以下條件彼此等價。(1)r=r(s)是三維Minkowski空間中以a為參考的螺線。(3)ue420s,b(ss),as為一常數(shù)。(4)為一常數(shù)。2維軸類空一般螺線的計算定理2r=r(s)-(r1(s),r2(s),r3(s))是三維Minkowski空間中以a=(a1,a2,a3)為參考的螺線,其充分必要條件是存在常數(shù)c,d∈R使得:證明設(shè)r′s姨s姨,as=c,那么定理3若r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))是三維Minkowski空間中以a=(a1,a2,a3)為參考的螺線,又曲線r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))不是單映射曲線,那么r=r(s)必是平面曲線。證明r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))為以a=(a1,a2,a3)為參考的螺線,由定理2得:而r=r(s)作為映射而言不是單的,存在s1≠s2,使得r(s1)=r(s2),故ri(s1)=ri(s2),cs1+d=cs2+d,c=0,-a1r1(s)+a2r2(s)+a3r3(s)=d,r=r(s)是平面曲線。下面的命題是三維歐式空間中一個定理的推廣,首先回到二維平面和三維歐式空間。引理1二維平面∏中以∏中單位向量為參考的一般螺線必是直線。證明建立坐標系使得a=e2,則類似于定理2易知r=r(s)=(r1(s),r2(s))=(r1(s),cs+d)其中:c、d為常數(shù);s為曲線的弧長參數(shù)。由r′(s)=1得:所以,。其中:b為常數(shù);為直線。引理2三維歐式空間中平面∏上的關(guān)于∏中單位向量的一般螺線在與其參考向量垂直的平面上的正交投影還是一般螺線。證明由引理1,平面上∏的關(guān)于∏中單位向量的一般螺線是直線,平面∏上的直線的參考向量有很多,如果r′1s1和參考向量不平行,那么直線的投影也是直線,從而是一般螺線。定理4三維Minkowski空間中平面∏上的一般螺線在與其參考向量垂直的平面上的正交投影還是一般螺線。證明若r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))是三維Minkowski空間中以a為參考的螺線,∏是三維Minkowski空間中的平面,r=r(s)哿∏,選擇偽標準坐標架(e1,e2,e3),讓e3=a,由定理2知堝c,d∈R,s.t.:任選一常向量u與平面∏偽垂直,不妨u=(u1,u2,u3),則令,對投影曲線r*=r*(s)=(r1(s),r2(s),0)而言,所以,r*=r*(s)=(r1(s),r2(s),0)為以u*為參考的螺線。定理5三維Minkowski空間中具有非零常曲率的貝特朗曲線是一般螺線。證明設(shè)曲線r=r(s)=1r1(s),r2(s),r3(s)3是第一類類空曲線,s是曲線的弧長參數(shù),曲率k(s)=k為常數(shù)。r1(s1)=r(s)+λ(s)n(s)是r=r(s)的貝特朗侶線,s1是曲線r1=r1(s1)的弧長參數(shù)。將r1(s1)=r(s)+λ(s)n(s)兩端對參數(shù)s1求微商,得:上式中,k(s)=k為常數(shù)。由于n1s113=±n(s),在上式兩邊同時與n(s)作偽內(nèi)積,得到λ′(s)=0,又顯然λ(s)≠0,所以λ(s)=λ為非零常數(shù),故:如果t1(s1)為空間型向量,[t1(s1),n(s)]=0,設(shè)t1(s1)到t(s)的角為θ,則于是得到t1(s1)=[t(s)+λ1-kt(s)+τ(s)b(s)3]·ds/ds1=chθ·t(s)+shθ·b(s),故下證θ為常數(shù),從而θ、λ、k均為常數(shù),繼而由上式知τ為常數(shù),對于第一類類空曲線,為常數(shù),由定理1知,r=r(s)是R13中的一般螺線。事實上,t1(s1)=chθ·t(s)+shθ·b(s)。等式兩邊對s求導(dǎo)得:如果t1(s1)為時間型向量,設(shè)t1(s1)到t(s)的角為θ,那么t1(s1)=shθ·t(s)+chθ·b(s),證明過程類似,略。對于第二類類空曲線或類時曲線,證明過程類似,略。定理6R13中的第一類類空曲線,其曲率為k(s),撓率為τ(s),則它的曲率中心的曲率k1(s)為:方便起見,記k(s)為k;τ(s)為τ;k1(s)為k1。于是以上結(jié)論較容易推廣到第二類類空曲線和類時曲線的情況,在此省略。定理7具非零常曲率的一般螺線的曲率中心還是一般螺線。