極點(diǎn)與極線背景下的高考試題

PAGEPAGE2極點(diǎn)與極線背景下的高考試題王文彬(江西省撫州市第一中學(xué)344000)極點(diǎn)與極線是高等幾何中的重要概念，當(dāng)然不是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的一種基本特征，因此在高考試題中必然會(huì)有所反映，自然也會(huì)成為高考試題的命題背景.作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)了解極點(diǎn)與極線的概念，掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)，只有這樣，才能“識(shí)破”試題中蘊(yùn)含的有關(guān)極點(diǎn)與極線的知識(shí)背景，進(jìn)而把握命題規(guī)律.PEFPEFGHMANB圖1定義1如圖1，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線即為極線.由圖1同理可知，為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線.因而將稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線交圓錐曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線.定理1(1)當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)的極線是曲線在點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)在外時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)的極線是直線(即切點(diǎn)弦所在的直線)；(3)當(dāng)在內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)任作一割線交于，設(shè)在處的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的極線是動(dòng)點(diǎn)的軌跡.PQA圖2Bl定理2如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線為，過(guò)點(diǎn)任作一割線交于，交于，則①；反之，若有①成立，則稱點(diǎn)調(diào)和分割線段，或稱點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛，或稱點(diǎn)(或點(diǎn))關(guān)于圓錐曲線PQA圖2Bl的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)(或點(diǎn)).點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn)的極線.推論1如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，則有②；反之，若有②成立，則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.可以證明①與②是等價(jià)的.事實(shí)上，由①有.特別地，我們還有推論2如圖3，設(shè)點(diǎn)關(guān)于有心圓錐曲線(設(shè)其中心為)的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，連線經(jīng)過(guò)圓錐曲線的中心，則有，反之若有此式成立，則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.RQxRQxyOP.圖7③又直線的方程為，化簡(jiǎn)得④解由③④聯(lián)立方程組得ABPOxy圖8F，消去得，可化為(不同時(shí)為)，故點(diǎn)的軌跡是以為中心，長(zhǎng)短軸分別為和，且長(zhǎng)軸平行于軸的橢圓，但需去掉坐標(biāo)原點(diǎn).ABPOxy圖8F【例4】(2006年全國(guó)卷=2\*ROMANII理21)已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，并設(shè)其交點(diǎn)為.(1)證明為定值；(2)設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值.分析與解：(1)顯然，點(diǎn)的極線為，故可設(shè)點(diǎn)，再設(shè)，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程分別為，，，由于三點(diǎn)共線，故相應(yīng)的三極線共點(diǎn)于，將代入后面兩個(gè)極線方程得，兩式相減得.又，故.ABPOxy圖9Fl(2)設(shè)的方程為，與拋物線的極線方程對(duì)比可知直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，把代入并由弦長(zhǎng)公式得，所以.ABPOxy圖9Fl顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值.【例5】(2005江西卷理22)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作拋物線的兩條切線，且與拋物線分別相切于兩點(diǎn).(1)求的重心的軌跡方程；(2)證明.分析與解：(1)設(shè)點(diǎn)，與對(duì)比可知直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線必恒過(guò)點(diǎn).設(shè)，可化為，故直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，將直線的方程代入拋物線方程得，由此得，的重心的軌跡方程為，消去即得.(2)設(shè)，由(1)知，又，由(1)知，即，所以，