晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)

第二章晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)

在一般溫度下，晶體內(nèi)的粒子在各自平衡位置附近振動。由于粒子間存在著相互作用力，因此，各粒子的振動相互關(guān)聯(lián)。

當(dāng)振動很微弱時，粒子間非諧的相互作用可以忽略，可近似地用簡諧振動來處理，此時這些振動模式是相互獨立的。

晶格周期性條件決定了模式所取的能量值是分立的。這些獨立的、分立的振動模式，可以用一系列獨立的簡諧振子——聲子來描述。這樣，晶格振動的總體就可以看作是聲子的系綜。

晶格振動同晶體的許多宏觀熱學(xué)性質(zhì)，如固體的比熱、熱膨脹、熱導(dǎo)等問題有密切的聯(lián)系，對晶體的電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)也有很大的影響。

在研究晶體的光學(xué)、電學(xué)等宏觀性質(zhì)時，由于晶格振動對光子、電子和中子等都有散射作用，而引入聲子概念可以把上述散射當(dāng)作聲子與光子、電子和中子的相互碰撞來處理。所以，在研究與晶格振動有關(guān)的各種物理問題時，就變的非常形象直觀?！?.1晶格振動和聲子

首先考慮一維晶格的振動，然后把一些主要結(jié)論和方法推廣到三維晶格振動的分析和研究中去。2.1.1一維原子晶格的振動

1.運動方程

由一系列質(zhì)量為m的原子構(gòu)成的一維原子鏈，如圖所示，其平衡時原子間距為a。表示第n個原子的位移，第n個原子和第n+1個原子的相對位移為

設(shè)在平衡位置

在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得

時，兩個原子間的相互作用勢能為

產(chǎn)生相對位移后，相互作用勢能變成

式中第一項是常數(shù)，第二項為零（在平衡時勢能取極小值）。

當(dāng)振動很微弱時，第n+1個原子對第n個原子的恢復(fù)力近似為這一近似成為簡諧近似，式中稱為恢復(fù)力常數(shù)，或耦合常數(shù)。

除第n+1個原子外，原子n還受到第n-1個原子的作用，其表達(dá)式為

若僅考慮相鄰原子的相互作用，則可以獲得第

n個原子所受到的總作用力，即第n個原子的運動方程可以寫成

對每一個原子，都有一個類似上式的運動方程，方程的數(shù)目和原子數(shù)相同。

格點運動方程的解可以寫成式中qna表示第n個原子振動的位相因子。

當(dāng)?shù)趍個和第n個原子的位相差等于2π的整數(shù)倍時，有

即當(dāng)?shù)趍個原子和第n個原子的距離滿足時，原子因振動而產(chǎn)生的位移相等。

也就是說，原子震動隨空間呈周期性變化，空間周期λ=2π/q

2.格波

晶體中所有原子共同參與的同一種頻率的振動，不同原子的振動位相隨空間呈周期性變化，這種振動以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。

這里的格波顯然是平面簡諧波，如圖所示。

格波的波長為

格波的波矢為n是沿格波傳播方向的單位矢量。

把上述解代入運動方程組中，可得即

如圖所示，上式給出了q和ω的色散關(guān)系，它說明格波具有簡正模式。

3.色散關(guān)系

波矢具有簡約的性質(zhì)，可將波矢限于一個周期范圍。一維晶格點陣的第一布里淵區(qū)

4．布里淵區(qū)

從倒格子點陣的原點出發(fā)，作出它最近鄰點的倒格子點陣矢量，并作出每個矢量的垂直平分面，所圍成的具有最小體積的區(qū)域，稱為第一布里淵區(qū)，圖所示。

布里淵區(qū)的邊界由倒格矢的垂直平分面構(gòu)成。

按照上述方法，同樣可以作出第二、第三、...布里淵區(qū)。

第一布里淵區(qū)就是倒格子原胞，其體積是一個倒格點所占的體積，與倒格子原胞的體積相等，即2.1.2周期性邊界條件在前面的討論中沒有考慮邊界問題，認(rèn)為一維晶體是無限的。但實際晶體總是有限的，總存在邊界，邊界原子所處的情況與體內(nèi)原子原子不同，相應(yīng)的振動狀態(tài)也與體內(nèi)原子不同。設(shè)想一個有限晶體的長度為Na，對于一維有限的簡單格子，第一個原胞的原子核第N+1個原胞原子的振動情況相同，即其中：因此：要想上式成立，必須有qNa=2πl(wèi)（l為整數(shù)），也即q=2πl(wèi)/(Na)，l為整數(shù)即描寫晶格振動狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的值?？蓪限于簡約區(qū)，即，所以l限于，由此可知，l只能取N個不同的值，q也只能取N個不同的值，這里N原胞的數(shù)目。

只要晶體大小是有限的，則波矢的取值就不是連續(xù)的。波矢取值只能與宏觀參量L=Na（L是晶體的長度）有關(guān)。晶格振動波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù)2.1.3晶格振動量子化聲子經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的勢能為：動能為：總能量為：力學(xué)量連續(xù)取值在量子力學(xué)中，力學(xué)量用算符表示，能量算符即哈密頓算符。

解薛定諤方程

可得到能量的本征值：

（n=0,1,2…..）即能量只能取一些分立值。對于一維簡單格子的情況，只考慮最緊鄰粒子間的相互作用，則晶體的勢能為：動能為：

勢能函數(shù)包含有依賴于兩原子坐標(biāo)的交叉項，在處理多自由度的振動問題時，往往引入新的坐標(biāo)---正則坐標(biāo)：它與原坐標(biāo)的關(guān)系：哈密頓量可以消去交叉項：該坐標(biāo)體系下的總能量：

以上結(jié)果說明：N個原子的集體振動可轉(zhuǎn)化為N個獨立的諧振子，諧振子的振動頻率就是晶格的振動頻率。

可以用獨立簡諧貞子的振動來表述格波的獨立模式，這就是聲子的概念由來。聲子是晶格振動中的簡諧振子的能量量子，聲子具有能量、動量。聲子只是反應(yīng)晶體原子集體運動狀態(tài)的激發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨存在，不是一種粒子，是一種準(zhǔn)粒子。

引入聲子概念，可使分析固體中的一系列微觀過程更加形象化。

例如：格波在晶體中傳播受到散射的過程可以理解為聲子同晶體中的原子的碰撞。

導(dǎo)電過程中電子遭受格波的散射，可以看作電子與聲子之間的碰撞。

光在晶體中的散射，很大程度上也可以看作是由于光子與聲子的相互作用乃至強烈的耦合。光電熱2.2.1一維雙原子晶格的振動§2.2聲學(xué)波與光學(xué)波

設(shè)相鄰兩個不同原子構(gòu)成一個分子，分子內(nèi)兩

原子平衡位置的間距為b，恢復(fù)力常數(shù)為β1

；兩分子間兩原子對應(yīng)的恢復(fù)力常數(shù)為β2

。質(zhì)量為m的原子位于...2n-1，2n+1，2n+3...各點，質(zhì)量為M的原子位于...2n-2，2n，2n+1...各點。

考慮由質(zhì)量分別為M和m的兩種不同原子所構(gòu)成的一維復(fù)式格子，如圖所示。

ABba

若只考慮相鄰原子的相互作用，則第2n+1

個原子所受的恢復(fù)力為

第2n個原子所受恢復(fù)力為

ABba2n-12n2n+12n+2相應(yīng)的動力學(xué)方程為

其解為

相應(yīng)的動力學(xué)方程為

其解為

上式代表角頻率為ω

的簡諧振動。其它各點的位移按下列原則得出：

*同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。*相隔一個晶格常數(shù)a的同種原子，位相差為qn。

把上式代入動力學(xué)方程，整理后得

若A、B有非零解，則其系數(shù)行列式必零，即

由此可以解得

上式表明，對一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨立的格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系，即：

和

顯然，復(fù)式格子的振動頻率在波矢空間內(nèi)具有周期性，即

實際上，當(dāng)波矢增加2π/a的整數(shù)倍時，原子位移和色散關(guān)系不變。

對一維復(fù)式格子，如果其晶格常數(shù)為a，則q值也限制在（-π/a，π/a），即第一布里淵區(qū)內(nèi)。

因為qa介于（-π，π），所以有

和

顯然，

的最小值比

的最大值還大，即

支格波頻率總比

的頻率低。

實際上，

支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡稱為光學(xué)波。

而

支的格波常稱為聲頻支格波，簡稱聲學(xué)波。

現(xiàn)在，由于高頻超聲波技術(shù)的發(fā)展，聲學(xué)波也可以用超聲波來激發(fā)。

2.2.2聲學(xué)波和光學(xué)波的特點

下面討論復(fù)式格子中兩支格波的色散關(guān)系。*聲學(xué)波的色散關(guān)系

因為

令由

取前兩項，即得

該式與一維布喇菲格子中的色散關(guān)系在形式上是相同的，也具有如圖所示的特征。

上述結(jié)果說明：由完全相同原子所組成的布喇菲格子只有聲學(xué)波。

*光學(xué)波的色散關(guān)系

因為

近似得：

光學(xué)波的頻率具有最大值，即

式中μ=mM/(m+M)是兩種原子的折合質(zhì)量。

這時光學(xué)波頻率則為最小。

（1）當(dāng)取

綜合上述的討論結(jié)果，歸納如下：

上述結(jié)論表明：聲學(xué)波的取值可以無限低。

時，聲學(xué)波的頻率有最大值，即

，聲學(xué)波的頻率有最小值。

（2）當(dāng)

時，光學(xué)波的頻率有最大值，為

當(dāng)取

時，光學(xué)波的頻率有最小值，為

一維雙原子復(fù)式格子中，聲學(xué)波與光學(xué)波的色散曲線如圖所示。

*相鄰兩種原子的振幅之比（1）

關(guān)于聲學(xué)波相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號或負(fù)號，即對于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著一個方向振動的。

于是原子的位移變成

對長聲學(xué)波，原胞內(nèi)不同原子以相同的振幅和位相作整體運動，其振動概況如圖所示。

長聲學(xué)波描述的是原胞的剛性運動。即：長聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的振動。（2）關(guān)于光學(xué)波，相鄰兩種原子振幅之比為

對于長光學(xué)波，有于是有

即得

對長光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動方向相反，原胞中不同原子作相對振動，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，原胞的質(zhì)心保持不動。即，長光學(xué)波是保持原胞質(zhì)心不動的一種振動模式。

光學(xué)波代表原胞中兩個原子的相對振動。

（3）玻恩—卡門邊界條件

實際晶體總是有限的，因此存在著邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響。

設(shè)在一長為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個相同晶體與其連結(jié)，從而形成無限長的線狀晶格，且各塊晶體內(nèi)相對應(yīng)原子的運動情況相同，即第j個原子和第tN+j個原子的運動情況相同，故有

由于原子間相互作用是短程的，在有限晶體中只有邊界上極少數(shù)原子的運動才受到相鄰假想晶體的影響，而內(nèi)部絕大部分原子的運動，實際上不會受到這些假想晶體的影響。

所以有

因為顯然，只有

時，上式才成立。

又因為

所以l的取值范圍為由此可以確定，可能的取值為

這說明，描述晶格振動的波矢q只能取一些分立的值。

由于每個q對應(yīng)一個獨立的振動模式，因此，一維布喇菲格子的獨立振動模式數(shù)等于其原胞的數(shù)目。

進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)：晶格獨立振動狀態(tài)數(shù)（波矢q的數(shù)目）等于晶格的自由度數(shù)。

在波矢空間，一維雙原子復(fù)式格子的每一個可能q值有兩個不同的頻率，一個是光學(xué)波角頻率，另一個是聲學(xué)波角頻率。對于一維雙原子的復(fù)式格子，角頻率數(shù)為2N，格波數(shù)也為2N。于是得到結(jié)論：

*晶格振動波矢的數(shù)目＝晶體的原胞數(shù)；*晶格振動頻率（模式）的數(shù)目=晶體的自由度數(shù)?！?.3格波與彈性波的關(guān)系（長波近似）下面的計算中，近似認(rèn)為兩種不同的原子恢復(fù)力常數(shù)相同，均為β。則雙原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子的聲學(xué)波的角頻率ω與波矢q的關(guān)系可以簡化為：下