2023-2024學年甘肅省蘭州市一中數(shù)學高二上期末質量檢測模擬試題含解析

2023-2024學年甘肅省蘭州市一中數(shù)學高二上期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與圓相切，則實數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或32．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.3．在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率（）A. B.C. D.4．下列結論中正確的個數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.35．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.6．在中，，，，若該三角形有兩個解，則范圍是（）A. B.C. D.7．在直三棱柱中，，且，點是棱上的動點，則點到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.8．一個幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內放置一個高度為1的長方體，則長方體的體積最大值為（）A. B.C. D.19．若，則（）A.1 B.2C.4 D.810．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.11．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－19二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是橢圓的上頂點，過原點的直線l交C于A，B兩點，若的面積為，則l的斜率為____________14．已知線段AB的長度為3，其兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M滿足．則點M的軌跡方程為______15．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，若，則=______16．已知數(shù)列滿足，則的前20項和___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)（1）求曲線在點（e，）的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間.19．（12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數(shù)；（2）根據(jù)回歸方程預測當單價為10元時的銷量.20．（12分）已知A（-3，0），B（3，0），四邊形AMBN的對角線交于點D（1，0），kMA與kMB的等比中項為，直線AM，NB相交于點P.（1）求點M的軌跡C的方程；（2）若點N也在C上，點P是否在定直線上?如果是，求出該直線，如果不是，請說明理由.21．（12分）保護生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110（1）建立y關于x的線性回歸方程；（2）假設該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預測該地區(qū)2022年有多少新能源汽車參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，22．（10分）已知橢圓的離心率為，點是橢圓E上一點.（1）求E的方程；（2）設過點的動直線與橢圓E相交于兩點，O為坐標原點，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得結果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因為直線與圓相切，所以，得，解得或，故選：C2、D【解析】根據(jù)垂直關系可得，由向量坐標運算可構造方程求得結果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.3、A【解析】先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結果【詳解】因為前三項的系數(shù)為，，，當時，為有理項，從而概率為.故選：A.4、C【解析】構造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C5、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D6、D【解析】根據(jù)三角形解得個數(shù)可直接構造不等式求得結果.【詳解】三角形有兩個解，，即.故選：D.7、D【解析】建立空間直角坐標系，設出點的坐標，運用點到平面的距離公式，求出點到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則,,,設點,故，，.設設平面的法向量為，則即，取，則.所以點到平面距離.當，即時，距離有最大值為.故選:D.【點睛】本題考查空間內點到面的距離最值問題，屬于中檔題.8、B【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長方體的體對角線為球的直徑時，長方體體積最大，設出長方體的長和寬，得到等量關系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長方體為球的內接長方體時，體積最大，此時長方體的體對角線為球的直徑，設長方體長為，寬為，則由題意得：，解得：，而長方體體積為，當且僅當時等號成立，故選：B9、D【解析】由題意結合導數(shù)的運算可得，再由導數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.10、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設是的中點，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.設正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.11、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.12、C【解析】將所求進行變形可得，根據(jù)二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程得到A點橫坐標滿足，再利用，解方程即可得到答案.【詳解】設直線AB的方程為：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案為：14、【解析】設出動點，根據(jù)已知條件得到關于的方程.【詳解】設，由，有，得，所以，由得：，所以點的軌跡的方程是.故答案為：15、【解析】利用等差數(shù)列的性質和等差數(shù)列的前項和公式可得，再令即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質和等差數(shù)列的前項和公式可得：因為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用等差數(shù)列的性質可得，再轉化為前項和公式的形式，代入的值即可.16、135【解析】直接利用數(shù)列的遞推關系式寫出相鄰四項之和，進而求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足，所以，故，當時，，當時，，，當時，，所以.故答案為：135.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設為中點，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）設為中點，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標系是解題的關鍵.18、（1）；（2）在單調遞減，在單調遞增【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程；（2）利用導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調性，求解函數(shù)的單調區(qū)間即可【詳解】解：（1）由得，所以切線斜率為切點坐標為，所以切線方程為，即；（2），令，得當時，；當時，，∴在單調遞減，在單調遞增19、（1）250.（2）50（件）.【解析】(1)數(shù)據(jù)的平均值一定在回歸直線上；(2)將x=10代入回歸方程即可.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，，代入，解得.【小問2詳解】由（1）得，故單價為10元時，.當單價為10元時銷量為50件.20、（1）；（2）點P在定直線x=9上.理由見解析.【解析】(1)設點，根據(jù)兩點坐標距離公式和等比數(shù)列的等比中項的應用列出方程，整理方程即可；(2)設直線MN方程為：，點，聯(lián)立雙曲線方程消去x得到關于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理寫出，利用兩點坐標和直線的點斜式方程寫出直線PA、PB，聯(lián)立方程組，解方程組即可.【小問1詳解】設點，則，又，所以，整理，得，即軌跡M的方程C為：；【小問2詳解】點P在定直線上.由(1)知，曲線C方程為：，直線MN過點D(1,0)若直線MN斜率不存在，則，得，不符合題意；設直線MN方程為：，點，則，消去x，得，有，，，，所以直線PA方程為：，直線PB方程為：，所以點P的坐標為方程組的解，有，即，整理，得，解得，即點P在定直線上.21、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問的結果，帶入方程即可算出預估的結果.【小問1詳解】，，，因為，所以，所以【小問2詳解】預測該地區(qū)2022年抽樣1000汽車調查中新能源汽車數(shù)，當時，，該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，所以新能源汽車.22、（