排列組合和二項(xiàng)式定理

1.乘法原理和加法原理（1）乘法原理：如果完畢一件事需要個(gè)環(huán)節(jié)，第1步有種不同的辦法，第2步有種不同的辦法，，第步有種不同的辦法，那么完畢這件事共有種不同的辦法.（2）加法原理：如果完畢一件事有類方法，在第1類方法中有種不同的辦法，在第2類方法中有種不同的辦法，，在第類方法中有種不同的辦法，那么完畢這件事共有種不同的辦法.【注意】應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的核心是分清“步”與“類”.完畢一件事需要若干步，而每一步缺一不可，則符合乘法原理，需要注意“步”與“步”之間的持續(xù)性；完畢一件事有若干類辦法，每類辦法能獨(dú)立完畢這件事，則符合加法原理，需要注意“類”與“類”之間的獨(dú)立性和等效性.2.排列組合（1）排列的概念：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素，按照一定的次序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一種排列；從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表達(dá).（2）排列數(shù)公式：，，規(guī)定：.（3）組合的概念：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素構(gòu)成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一種組合；從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表達(dá).（4）組合數(shù)公式：（5）組合的兩個(gè)性質(zhì)：①；②【注意】解決排列組合問題常見的解題辦法有：直接法，間接法，捆綁法，插空法，固定秩序法，元素優(yōu)先法，位置優(yōu)先法等。（1）直接法：根據(jù)加法原理及乘法原理，直接把一種復(fù)雜的事件分解成為簡樸的排列組合問題，這種解題辦法為直接法。（2）間接法：不管限定條件，全部的排列數(shù)或組合數(shù)，必含兩類狀況，一類是符合題意限定條件的種數(shù)，另一類不符合題意限定條件的種類，用全部種類減去不符合題意限定條件的種類可得符合題意限定條件的種類，此種辦法屬數(shù)學(xué)中慣用的間接法。當(dāng)符合題意限定條件中的種類不易求，或狀況多樣易出錯(cuò)，而不符合題意條件的種類易求時(shí)，常采用此法。（3）捆綁法：有關(guān)某些元素必“相鄰”的問題，可把這些元素看作一種整體，當(dāng)成一種元素和其它元素進(jìn)行排列，然后這些元素本身再進(jìn)行排列，這種辦法叫做捆綁法。（4）插空法：若題目限制某些元素必“不相鄰”，可將無此限制的元素進(jìn)行排列，然后在它們的空格處，插入不能相鄰元素，這種辦法叫插空法。二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理：【注意】=1\*GB3①項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有項(xiàng).②次序：注意對(duì)的選擇,,其次序不能更改。與是不同的.③指數(shù)：的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項(xiàng)減到，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于.④系數(shù)：注意對(duì)的分辨二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（涉及二項(xiàng)式系數(shù)）.（2）通項(xiàng)：（3）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：①二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，···②二項(xiàng)式系數(shù)和：令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：④奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：⑤二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)獲得最大值．如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),同時(shí)獲得最大值．⑥系數(shù)的最大項(xiàng)：求展開式中最大的項(xiàng)，普通采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．【二項(xiàng)式定理重要應(yīng)用】求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)；【二項(xiàng)式定理重要應(yīng)用】求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)；求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和，重要運(yùn)用“賦值法”；整除性的證明、求余數(shù)，重要運(yùn)用“配湊法”、“消去法”；近似值的計(jì)算；不等式的證明.令令二、同時(shí)題型分析例1.9名身高各不相似的人排隊(duì)，按下列規(guī)定，各有多少種不同的排法？（1）排成一排（2）排成前排4人，后排5人的兩排（3）排成一排，其中A，B兩人不相鄰（4）排成一排，其中C，D兩人相鄰（5）排成一排，其中E不在排首，F(xiàn)不在排尾（6）排成一排，其中A必須站在B的右側(cè)（不一定相鄰）（7）排成一排，身高最高的人站中間且向兩邊遞減（8）排成一排，其中H，I之間必須間隔2人【答案】（1）直接法；（2）；（3）插空法；（4）捆綁法；（5）分類，特殊位置法；（6）對(duì)稱法；（7）直接法；（8）捆綁法例2.有四位男學(xué)生，三位女學(xué)生排隊(duì)攝影，根據(jù)下列規(guī)定，各有多少種不同的排列成果（1）七個(gè)人排成一列，四個(gè)男學(xué)生必須連接在一起（2）七個(gè)人排成一列，其中甲乙兩人之間必須間隔2人（3）七個(gè)人排成一列，三個(gè)女生不全相鄰【答案】（1）捆綁法＝576；（2）捆綁法＝960；（3）間接法＝4320例3.某校高一年級(jí)有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)要從中選出10人構(gòu)成高一女子籃球隊(duì)參加高中籃球比賽，且規(guī)定每班最少要選1人參加，這10個(gè)名額有多少種不同的分派辦法？【答案】隔板法，相稱于9個(gè)空隔了5塊板，=126種4、(1)將4封信投寄到3個(gè)郵箱中，有多少種不同的投寄辦法？(2)將4封信投寄到3個(gè)郵箱中，每個(gè)郵箱最少一封信，有多少種不同的投寄辦法？(3)將4封信投寄到3個(gè)郵箱中，正好有一種郵箱沒有投遞，有多少種不同的投寄辦法？【參考答案】(1)81(2)36(3)42/5、書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？【參考答案】解：從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種辦法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種辦法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種辦法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9種因此，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；6、(1),求.(2).(3).【參考答案】(1)或或或經(jīng)檢查(2)原式=(3)原式=7、書架上有9本不同的書，若把另外3本不同的書插進(jìn)去，且規(guī)定不插在兩頭，有種不同的插法.【參考答案】7208、九張卡片分別寫著數(shù)字0,1，2，…，8，從中取出三張排成一排構(gòu)成一種三位數(shù)，如果6能夠當(dāng)作9使用，問能夠構(gòu)成多少個(gè)三位數(shù)？【參考答案】能夠分為兩類狀況：①若取出6，則有種辦法；②若不取6，則有種辦法．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有+＝602種辦法．9、從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選用5臺(tái),其中最少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有種.【參考答案】由分析，完畢第一類方法還能夠分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選用2臺(tái)，有種辦法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選用3臺(tái)，有種辦法，據(jù)乘法原理共有種辦法.同理，完畢第二類方法中有種辦法.據(jù)加法原理完畢全部的選用過程共有種辦法.典型例題：例1．四周體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同取法共有（） A．150種 B.147種 C.144種 D.141種【答案】取出的四個(gè)點(diǎn)不共面的狀況要比取出的四個(gè)點(diǎn)共面的狀況復(fù)雜，可采用間接法，先不加限制任取四點(diǎn)，再減去四周共點(diǎn)的取法．在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)，有種取法，取出的4點(diǎn)共面有三類第一類：共四周體的某一種面，有4種取法；第二類：過四周體的一條棱上的三點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，如圖中的平面，有6種取法；第三類：過四周體的四條棱的中點(diǎn)，面與另外兩條棱平行，如圖中的平面，共有3個(gè)．故取4個(gè)不共面的點(diǎn)的不同取法共有－(4＋6＋3)＝141，因此選D例2.一天要排語文、數(shù)學(xué)、英語、生物、體育、班會(huì)六節(jié)課（上午四節(jié)，下午二節(jié)），規(guī)定上午第一節(jié)不排體育，數(shù)學(xué)課排在上午，班會(huì)課排在下午，問共有多少種不同的排課辦法？【答案】辦法一：從數(shù)學(xué)課入手（第一類）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，班會(huì)課排在下午，其它四科任排，得,（第二類）數(shù)學(xué)排在上午另三節(jié)中的一節(jié)，班會(huì)排在下午，體育排在余下（不會(huì)第一節(jié)）三節(jié)中的一節(jié)，其它三科任排，得共有排法（種）辦法二：從體育課入手（第一類）體育課在上午（第二類）體育課在下午共有排法（種）例3．用0~9這十個(gè)數(shù)字構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)（1）共有幾個(gè)三位數(shù)?（2）末位數(shù)字是4的三位數(shù)有多少？（3）求全部三位數(shù)的和;（4）四位偶數(shù)有多少？（5）比5231大的四位數(shù)有多少？【答案】（1）百位不能為“0”,因此共有個(gè);（2）末位為4,百位不能為“0”,因此共有×=64個(gè)（3）考慮各數(shù)位上的數(shù)字之和,可得全部三位數(shù)的和為:（4）分末位數(shù)字與否為0兩種狀況考慮。種；（5）①千位上為9,8,7,6的四位數(shù)各有個(gè);②千位上是5,百位上為3,4,6,7,8,9的四位數(shù)各有個(gè);③千位上是5,百位上為2,十位上為4,6,7,8,9的四位數(shù)各有個(gè);④千位上是5,百位上為2,十位上為3且滿足規(guī)定的共有5個(gè),因此共有2392種綜合題型1：會(huì)根據(jù)兩個(gè)原理解決有關(guān)分派決策的問題（要對(duì)的分辨分類和分步）：1．5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名辦法共有（）．15種；．8種．種．種【答案】D2．四名醫(yī)生分派到三所醫(yī)院工作，每所醫(yī)院最少一名，則不同的分派方案有______種．【答案】363．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承當(dāng)，乙、丙各需1人承當(dāng)，從10人中選派4人承當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有（）．1260種；．2025種；．2520種；．5040種．【答案】．綜合題型2：會(huì)用捆綁法、插空法解決元素相鄰或不相鄰問題1.不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法種數(shù)共有（）．12種；．20種；．24種；．48種．【答案】．2.5人站成一排，其中不在左端也不和相鄰的排法種數(shù)為（）．48；．54；．60；．66．【答案】．3.用1、2、3、4、5、6、7、8構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，規(guī)定1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】1152.綜合題型3：會(huì)求某些元素按指定次序排列的問題1.七個(gè)人排成一行，則甲在乙左邊（不一定相鄰）的不同排法數(shù)有_________種．【答案】2520．某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完畢，其中工程乙必須在工程甲完畢后才干進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完畢后進(jìn)行，又工程丁必須在丙完畢后立刻進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程的不同的排法種數(shù)是__________．（用數(shù)字作答）【答案】20．3.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以分辨，將這9個(gè)球排成一列有_______種不同的辦法（用數(shù)字作答）．【答案】1260．綜合題型4：會(huì)解與平均分組和非平均分組有關(guān)的問題1.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中最少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（）．140種；．84種；．70種；．35種．【答案】．2.將9個(gè)人（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組辦法的種數(shù)為（）．70； ．140； ．280； ．840．【答案】．綜合題型5：會(huì)解其它有限制條件的排列組合問題（要注意使用最慣用、最本原的辦法：枚舉法）1.在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字構(gòu)成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（）．36個(gè)； ．24個(gè)；．18個(gè)； ．6個(gè)．【答案】．2.電視臺(tái)持續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，規(guī)定首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（成果用數(shù)值表達(dá)）.【答案】48．3.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，能作出的三棱錐的個(gè)數(shù)是（）．；．．-6．．．【答案】．4.同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分派方式有（）．6種；．9種；．11種．23種【答案】5.設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)球和編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投入這五個(gè)盒內(nèi)，規(guī)定每個(gè)盒內(nèi)投放一種球，并且正好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相似，則這樣投放的辦法總數(shù)為（）．20；．30；．60；．120．【答案】．一模題：1、兩個(gè)三口之家，共4個(gè)大人，2個(gè)小孩，商定星期日乘紅色、白色兩輛轎車結(jié)伴郊游，每輛車最多乘坐4人，其中兩個(gè)小孩不能獨(dú)坐一輛車，則不同的乘車辦法種數(shù)是．【答案】482、某校規(guī)定每位學(xué)生從8門課程中選修5門，其中甲、乙兩門課程至多只能選修一門，則不同的選課方案有種；（以數(shù)字作答）【答案】3、在上海高考改革方案中，規(guī)定每位高中生必須在理科學(xué)科：物理、化學(xué)、生物，文科學(xué)科：政治、歷史、地理這6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加等級(jí)考試.小王同窗對(duì)理科學(xué)科比較感愛好，決定最少選擇兩門理科學(xué)科，那么小王同窗的選科方案有___________種.【答案】104、已知數(shù)據(jù)、、…、的方差為16，則數(shù)據(jù)、、…、的原則差為；【答案】85、鍋中煮有肉餡，三鮮餡，菌菇餡的水餃各5個(gè)，這三種水餃的外形完全相似，從中任意舀取4個(gè)水餃，則每種水餃都最少取到1個(gè)的概率為；【答案】6、將兩顆質(zhì)地均勻的骰