幾何體的內(nèi)切球和外接球三視圖教師版講義

河科大附中數(shù)學(xué)必修二學(xué)習(xí)單 編制：楊宏亮 審核：任明俊專題：幾何體的內(nèi)切球和外接球三視圖【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握幾何體的內(nèi)切球和外接球問題；2.掌握幾何體的三視圖?！灾餮凶x學(xué)習(xí)單※1.如果一個(gè)球與幾何體的各個(gè)面都相切，球?yàn)閹缀误w的內(nèi)切球；2.如果一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都在球面上，球?yàn)閹缀误w的外接球；3.棱長(zhǎng)為的正四面體的高為________;它的外接球半徑為________;內(nèi)切球半徑為________;球心為高的_____等分點(diǎn)。解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為．由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．正四面體的表面積．正四面體的體積，在中，，即，得，得變式：一個(gè)正四面體內(nèi)切球的表面積為，求正四面體的棱長(zhǎng)。（答案為：）4.正方體的內(nèi)切球：5.與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，6.正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，。變式：一棱長(zhǎng)為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為）7.正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑?！献魈骄繉W(xué)習(xí)單※題型一幾何體的內(nèi)切球和外接球例1.正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑．是正三棱錐的高，即．是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為，∴．∴可以得到．由等體積法，∴得：，∴．∴．例2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓．設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，，∴，，，∴．例3.已知正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。答案：B【課堂小結(jié)】幾何體的內(nèi)切球和外接球三視圖※鞏固提升學(xué)習(xí)單※1．若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1【答案】C【解析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為R,底邊邊長(zhǎng)為a,則,所以2．在正四棱錐S-ABCD中，側(cè)面與底面所成的角為，則它的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑之比為（）A．5 B． C．10 D．【答案】D3．已知四面體ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2，AB⊥平面ACD，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A．36πB．88πC．92πD．128π【答案】B【解析】試題分析：在中，由，可得，則，又，故，則.4．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為_________.正視圖側(cè)視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖【解析】由三視圖可得，該幾何體為一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如下圖中，其中底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，由圖可知，該四棱錐的外接球球心即該四棱錐所在的正方體的中心，由此可得球半徑，所以其表面積為5．在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是SC、BC的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱SA=，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積為______________.【解析】如圖，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以。而是正三棱錐，所以，所以。因?yàn)?，所以面，從而可得面，故。將此正三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球。因?yàn)閭?cè)棱，所以補(bǔ)成的正方體的邊長(zhǎng)為，則它們的外接球半徑，所以外接球表面積為6．已知四面體的外接球的球心在上，且平面，，若四面體的體積為，則該球的體積為___________；【答案】【解析】試題分析：設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍蛐脑谏?，所以為的中點(diǎn)，且為直角三角形，因?yàn)椋?，，所?所以該球的體積為考點(diǎn)：本小題主要考查四面體的內(nèi)接球的體積計(jì)算.點(diǎn)評(píng)：解決此小題的關(guān)鍵是分析出是直角三角形，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.7．在平行四邊ABCD中，,,若將其沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A—BCD的外接球的體積為_______.【答案】【解析】試題分析：因?yàn)榍蛐牡礁鞫c(diǎn)的距離相等，所以易知該外接球的球心在AC的中點(diǎn)，又在平行四邊ABCD中，,所以,而折成直二面角后，,所以該外接球的球半徑為1，所以體積為考點(diǎn)：本小題主要考查空間幾何體的外接球的體積.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這種折疊問題，要搞清楚折疊前后的量有哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化.8．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為.【答案】8【解析】試題分析：由三視圖可知空間幾何體為三棱錐，底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面，設(shè)底面為,側(cè)棱所以其外接球球心在中點(diǎn)處，球的半徑，所以表面積考點(diǎn)：三視圖及球的表面積計(jì)算點(diǎn)評(píng)：先由三視圖還原直觀圖在求其外接球的表面積9．圓臺(tái)的軸截面面積是Q，母線與下底面成60°角，則圓臺(tái)的內(nèi)切球的表面積是（）。（A）（B）Q（C）Q（D）Q【答案】D10．已知球是棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為.【答案】11．如圖，多面體ABCD-EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是 ()．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實(shí)線，且由已知長(zhǎng)度關(guān)系確定投影位置，排除A，C選項(xiàng)，觀察B，D選項(xiàng)，側(cè)視圖是指光線，從幾何體的左面向右面正投影，則BG，BF的投影為虛線，故選D.答案D12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐A-BCD正視圖和俯視圖如圖，則三棱錐A-BCD側(cè)視圖的面積為()．A.eq\f(6,13) B.eq\f(18,13) C.eq\f(2,13) D.eq\f(3,13)解析由正視圖及俯視圖可得，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，該幾何體的側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為eq\f(2×3,\r(22＋32))＝eq\f(6,\r(13))的等腰直角三角形，其面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,\r(13))))eq\s\up12(2)＝eq\f(18,13).答案B13．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ()．A.eq\f(560,3) B.eq\f(580,3)C．200 D．240解析由三視圖還原的幾何體為兩底面為等腰梯形的直棱柱，梯形的面積為eq\f(1,2)(2＋8)×4＝20，所以棱柱的體積為20×10＝200.答案C14．某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是 ()．A