信號(hào)與系統(tǒng)（第4版）課件 第3、4章 連續(xù)信號(hào)頻域分析、連續(xù)系統(tǒng)頻域分析

第3章連續(xù)信號(hào)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)（第4版）工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材01引

言PARTONE引言根據(jù)疊加原理，LTI系統(tǒng)對(duì)任意一個(gè)由這些基本信號(hào)的線性組合組成的輸入信號(hào)的響應(yīng)，就是系統(tǒng)對(duì)這些基本信號(hào)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。在第2章，這些基本響應(yīng)是單位沖激響應(yīng)的時(shí)移，從而導(dǎo)出了卷積積分。在本章，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，LTI對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)具有特別簡(jiǎn)單的形式，這就提供了一種非常方便的LTI系統(tǒng)的表示和分析方法，并且據(jù)此可以深入洞察LTI的性質(zhì)。本章將集中研究連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和連續(xù)時(shí)間非周期有限能量信號(hào)的傅里葉變換。這些表示為分析、設(shè)計(jì)和理解LTI系統(tǒng)提供了重要的和強(qiáng)有力的工具。同時(shí)，本章及第4章還將討論傅里葉分析的應(yīng)用。02LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)PARTTWOLTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)如上所述，在研究LTI系統(tǒng)時(shí)，把信號(hào)表示成基本信號(hào)的線性組合是非常有益的，為了便于系統(tǒng)分析，所選擇的基本信號(hào)應(yīng)該具有以下兩個(gè)特性：①基本信號(hào)可以構(gòu)成廣泛、有用的信號(hào)；②線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)應(yīng)該十分簡(jiǎn)單，以便求解系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)。傅里葉分析的重要性大多來(lái)源于復(fù)指數(shù)信號(hào)集的這兩個(gè)特性。復(fù)指數(shù)信號(hào)在分析LTI時(shí)之所以重要，是由于一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)是同樣的復(fù)指數(shù)信號(hào)，系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)的影響只是在幅度上有變化，即對(duì)連續(xù)時(shí)間時(shí)不變系統(tǒng)有：其中，H(η)是復(fù)振幅因子，通常它是復(fù)變量η的函數(shù)。通常稱(chēng)函數(shù)

是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，其特征值為H(η，因?yàn)?ψ滿(mǎn)足由下式描述的特征值問(wèn)題(回想一下矩陣的特征值問(wèn)題)：LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)由此可以得出：如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入能夠表示為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，則系統(tǒng)的輸出也能表示成相同復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，且在輸出表達(dá)式中，每一項(xiàng)的系數(shù)是輸入信號(hào)中相應(yīng)的復(fù)指數(shù)信號(hào)的系數(shù)和該復(fù)指數(shù)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征值的乘積。一般來(lái)說(shuō)，上述復(fù)指數(shù)信號(hào)中的η可以是任意復(fù)數(shù)，但在傅里葉分析中僅限于η的某些特殊形式，在連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)情況下，取η=jω因此在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)分析中，僅考慮復(fù)指數(shù)信號(hào)。03信號(hào)的完備正交函數(shù)集表示PARTTHREE正交矢量在平面空間中，兩個(gè)矢量正交是指兩個(gè)矢量相互垂直。如圖3-1(a)所示，A1和A2是正交的，它們之間的夾角為90°。顯然，平面空間兩個(gè)矢量正交的條件是A1*A2=0 (3-9)這樣，可將一個(gè)平面中任意矢量A，在笛卡兒坐標(biāo)系中分解為兩個(gè)正交矢量的組合A=C1A1+C2A2(3-10)同理，對(duì)一個(gè)三維空間中的矢量A必須用三維的正交矢量集{A1，A2，A3}來(lái)表示，如圖3-1(b)所示，有A=C1A1+C2A2+C3A3（3-11）其中，A1，A2，A3相互正交。在三維空間中{A1，A2，A3}是一個(gè)完備的正交矢量集，而二維正交矢量集則在此情況下是不完備的。正交矢量以此類(lèi)推，在n維空間中，只有n個(gè)正交矢量A1，A2，A3…….An構(gòu)成的正交矢量集{A1，A2，A3…….An}才是完備的。也就是說(shuō)，在n維空間中的任一矢量A，必須用口維正交矢量集{A1，A2，A3…….An}來(lái)表示，即雖然n維矢量空間在客觀世界中并不存在，但是這種概念有許多應(yīng)用。例如，n個(gè)獨(dú)立變量的線性方程，可看成n維坐標(biāo)系中n個(gè)分量組成的矢量。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交矢量分解的概念，可推廣應(yīng)用于信號(hào)分析。信號(hào)常以時(shí)間函數(shù)來(lái)表示，故信號(hào)的分解，也就是時(shí)間函數(shù)的分解。仿照矢量正交的概念，也可定義函數(shù)的正交。完備正交函數(shù)集常見(jiàn)的完備正交函數(shù)集常見(jiàn)的完備正交函數(shù)集04連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示PARTFOUR三角函數(shù)表示式三角函數(shù)表示式指數(shù)形式指數(shù)形式指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的收斂傅里葉級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題是指周期信號(hào)在滿(mǎn)足什么條件時(shí)，可以表示成傅里葉級(jí)數(shù)。關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)收斂的詳細(xì)討論超出了本書(shū)范圍，下面只給出一些結(jié)果。一個(gè)周期信號(hào)f(t)用成諧波關(guān)系的有限項(xiàng)復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來(lái)近似，即用下列有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)近似f(t)：傅里葉級(jí)數(shù)的收斂上式說(shuō)明，在一個(gè)周期上具有有限能量的周期信號(hào)，保證了其傅里葉級(jí)數(shù)均方收斂。這個(gè)結(jié)果非常有用，工程實(shí)際中的信號(hào)大都滿(mǎn)足在一個(gè)周期具有有限能量的條件，因而它們均可表示為傅里葉級(jí)數(shù)。應(yīng)該注意的是，均方誤差為零，并不意味著f(t)和項(xiàng)逐點(diǎn)相等，即對(duì)任意的t均有f（t）=

成立。均方誤差為零只說(shuō)明f(t)和

的誤差能量為零。關(guān)于

逐點(diǎn)收斂于f(t)有下面的結(jié)果。如果信號(hào)滿(mǎn)足狄里赫利條件：①f(t)有界（或等價(jià)地，f(t)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積）；②f(t)在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)最大最小點(diǎn)；③f(t)在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)間斷點(diǎn)。周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)其圖形如圖l-9(a)所示，即用一粗箭頭表示，箭頭旁邊標(biāo)以(1)，表示δ(t)圖形下的面積為1，稱(chēng)為沖激函數(shù)的強(qiáng)度，簡(jiǎn)稱(chēng)沖激強(qiáng)度。05周期信號(hào)的頻譜PARTFIVE周期信號(hào)頻譜的概念一個(gè)周期信號(hào)f(t)，只要滿(mǎn)足狄里赫利條件，則可分解為一系列諧波分量之和，其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以是指數(shù)函數(shù)。不同的周期信號(hào)，其展開(kāi)式組成情況也不盡相同。在實(shí)際工作中，為了表征不同信號(hào)的諧波組成情況，常畫(huà)出周期信號(hào)各次諧波的分布圖形，這種圖形稱(chēng)為信號(hào)的頻譜，它是信號(hào)頻域表示的一種方式。描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱(chēng)為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱(chēng)為相位頻譜。根據(jù)周期信號(hào)表示成傅里葉級(jí)數(shù)的不同形式，又分為單邊頻譜和雙邊頻譜。周期信號(hào)頻譜的概念3.周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)圖3-7反映了周期矩形信號(hào)發(fā)f(t)頻譜的一些性質(zhì)，實(shí)際上這些性質(zhì)也是所有周期信號(hào)頻譜的普遍性質(zhì)。(1)離散性:指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線 組成，這種頻譜稱(chēng)為離散頻譜或線譜。 (2)諧波性：指各次諧波分量的頻率都是基波頻 率Ω=2∏/T的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線在頻率軸上的位置是Ω的整數(shù)倍。(3)收斂性:若譜線幅度隨n—∞而衰減到零，則這種頻譜具有收斂性或衰減性。周期信號(hào)的有效頻譜寬度在周期信號(hào)的頻譜分析中，周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜具有典型的意義，已得到廣泛的應(yīng)用。下面以圖3-8所示的周期矩形脈沖信號(hào)為例，進(jìn)一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度之間的關(guān)系。圖3-8所示信號(hào)f(t)的脈沖寬度為T(mén)，脈沖幅度為E，重復(fù)周期為T(mén)，重復(fù)角頻率為Ω=2∏/T。若將f(t)展開(kāi)為式(3-24)所示的傅里葉級(jí)數(shù)，則由式(3-25)可得在這里Fn為實(shí)數(shù)。因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫(huà)在一幅圖中，如圖3-9所示。周期信號(hào)的有效頻譜寬度由圖3-9可以看出：(1)周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是離散的，兩譜線間隔為Ω=2兀/T。(2)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度E和脈寬T，反比于周期7，其變化受包絡(luò)線ssinx/x的牽制。(3)當(dāng)ω=2w∏/T(m=±1，±2，…)時(shí)，譜線的包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn)。因此少ω=2w∏/T稱(chēng)為零分量頻率。(4)周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線，它可分解為無(wú)限多個(gè)頻率分量，但其主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi)。因此通常把ω=0~2∏/T這段頻率范圍稱(chēng)為矩形信號(hào)的有效頻譜寬度或信號(hào)的占有頻帶，記為顯然，有效頻譜寬度只與脈沖寬度T有關(guān)，而且成反比關(guān)系。有效頻譜寬度是研究信號(hào)與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容，要使信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不失真，就要求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號(hào)的頻寬相適應(yīng)。對(duì)于一般周期信號(hào)，同樣也可得到離散頻譜，也存在零分量頻率和信號(hào)的占有頻帶。周期信號(hào)頻譜與周期T的關(guān)系下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號(hào)為例進(jìn)行分析。因?yàn)樗栽诿}沖寬度T保持不變的情況下，若增大周期T，則可以看出：(1) 離散譜線的間隔Ω=2兀/T將變小，即譜線變密；(2) 各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢；(3) 由于T不變，故零分量頻率位置不變，信號(hào)有效頻譜寬度也不變。周期信號(hào)的功率譜該式稱(chēng)為巴塞伐爾(Parseval)定理。它表明，周期信號(hào)的平均功率完全可以在頻域用Fn加以確定。實(shí)際上它反映周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。與nΩ的關(guān)系稱(chēng)為周期信號(hào)的功率頻譜，簡(jiǎn)稱(chēng)功率譜。顯然，周期信號(hào)的功率譜也是離散譜。06非周期信號(hào)的頻譜PARTSIX非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的存在條件前面根據(jù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)導(dǎo)出了傅里葉變換。但從理論上講，傅里葉變換也應(yīng)滿(mǎn)足一定條件才能存在。傅里葉變換存在的必要和充分條件的證明需要較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，在此僅對(duì)其充分條件加以討論。傅里葉變換的存在條件在實(shí)際工程中的信號(hào)大多滿(mǎn)足上述條件，因而它們的傅里葉變換都是存在的。值得注意的是，上述條件是傅里葉變換存在的充分條件，而不是必要條件。一些不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也可有傅里葉變換。當(dāng)在傅里葉變換中引入沖激函數(shù)時(shí)，它們的傅里葉變換都存在，這樣就可以在一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)研究傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。單邊指數(shù)信號(hào)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)2.偶雙邊指數(shù)信號(hào)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)3.奇雙邊指數(shù)信號(hào)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)典型信號(hào)的頻譜函數(shù)07傅里葉變換的基本性質(zhì)PARTSEVEN傅里葉變換的基本性質(zhì)1.線性性傅里葉變換是一種線性運(yùn)算，它滿(mǎn)足齊次性和疊加性，即若式中，a和b均為常數(shù)。該性質(zhì)的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。線性性可以推廣至任意個(gè)信號(hào)的線性組合。傅里葉變換的基本性質(zhì)2.對(duì)稱(chēng)性傅里葉變換的基本性質(zhì)3.折疊性4.尺度變換性傅里葉變換的基本性質(zhì)5.時(shí)移性6.頻移性7.時(shí)域微分性8.頻域微分性傅里葉變換的基本性質(zhì)9.時(shí)域積分性10.頻域積分性11.時(shí)域卷積定理12.頻域卷積定理傅里葉變換的基本性質(zhì)13.巴塞伐爾定理傅里葉變換的基本性質(zhì)14.奇偶虛實(shí)性08周期信號(hào)的傅里葉變換PARTEIGHT復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換余弦、正弦信號(hào)的傅里葉變換單位沖激序列δT(t)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換09功率譜與能量譜PARTNINE功率譜能量譜謝謝觀看第4章連續(xù)系統(tǒng)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)（第4版）工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材01引

言PARTONE引言線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析，是依據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性和齊次性，運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換，將信號(hào)分解成一系列離散的或連續(xù)的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和，即:引言在求解任意信號(hào)（能量有限或平均功率有限）作用于線性系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，利用傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換先將激勵(lì)信號(hào)分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加，然后將這些基本復(fù)指數(shù)信號(hào)作用于系統(tǒng)，并把所得的響應(yīng)取和，即可給出系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)f(t)的完整響應(yīng)。因此，頻域分析法是應(yīng)用傅里葉變換把系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)關(guān)系從時(shí)域變換到頻域來(lái)研究，從處理時(shí)間變量t轉(zhuǎn)換成處理頻率變量ω，從求解系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程，通過(guò)響應(yīng)的頻譜函數(shù)來(lái)研究響應(yīng)信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其功能。02系統(tǒng)對(duì)非正弦周期信號(hào)的響應(yīng)PARTTWO

正弦信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)所以，線性系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)激勵(lì)的響應(yīng)為與激勵(lì)同頻率的正弦量，其振幅為激勵(lì)的振幅與系統(tǒng)函數(shù)H(jΩ)模值之乘積，其相位為激勵(lì)的初相位與系統(tǒng)函數(shù)H(jΩ)相位之和，此結(jié)果與正弦穩(wěn)態(tài)中用相量法分析的結(jié)論完全一致。1.正弦函數(shù)正弦信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)因此，當(dāng)周期信號(hào)f(t)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)仍為周期信號(hào)，其周期和f(t)的周期相同，只是相應(yīng)于指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)擴(kuò)大了H(jnΩ)倍，從而可得到y(tǒng)f(t)的三角形傅里葉級(jí)數(shù)。2.非正弦周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)正弦信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)可見(jiàn)，響應(yīng)的頻譜和激勵(lì)信號(hào)的頻譜一樣，也由無(wú)窮項(xiàng)沖激序列δ(ω-nΩ)組成，是離散頻譜，只是響應(yīng)頻譜的沖激強(qiáng)度被系統(tǒng)函數(shù)加權(quán)。2.非正弦周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)03系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)PARTTHREE系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)非周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的響應(yīng)與周期信號(hào)有所不同。由于非周期信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的激勵(lì)是有確定時(shí)間的，所以對(duì)于零狀態(tài)系統(tǒng)，其響應(yīng)只含零狀態(tài)響應(yīng)，并且既有穩(wěn)態(tài)分量，也有隨時(shí)間衰減的暫態(tài)分量。若系統(tǒng)初始狀態(tài)不為零，則其響應(yīng)還應(yīng)包含零輸入響應(yīng)分量。本節(jié)重點(diǎn)討論零狀態(tài)系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)。04頻域系統(tǒng)函數(shù)PARTFOUR定義系統(tǒng)函數(shù)H（jω）可由式（4-12）定義為即H(jω)等于零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜函數(shù)Y(jω)與激勵(lì)的頻譜函數(shù)F(jω)之比，也就是電路分析中的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)或傳輸函數(shù)。隨著激勵(lì)信號(hào)與待求響應(yīng)的關(guān)系不同，在電路分析中H(jω)將有不同的含義。它可以是阻抗函數(shù)、導(dǎo)納函數(shù)、電壓比或電流比。H(jω)的物理意義H(jω)的的求法頻域系統(tǒng)函數(shù)H(jω)的求解方法主要有：（1）當(dāng)給定激勵(lì)與零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，根據(jù)定義求解，即（2）當(dāng)已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)和h(t)時(shí)，由式（4-6）求解，（3）當(dāng)給定系統(tǒng)的電路模型時(shí)，用相量法求解。（4）當(dāng)給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程）時(shí)，用傅里葉變換法求解。系統(tǒng)頻率特性由于H(jω)是沖激響應(yīng)h(t)的頻譜函數(shù)，而從h(t)取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，它描述了系統(tǒng)的時(shí)域固有性質(zhì)，因此H(jω)同樣僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)一旦給定，系統(tǒng)函數(shù)H(jω)也隨之確定，它反映了系統(tǒng)的頻域特性，所以H(jω)是表征系統(tǒng)特征的重要物理量。已知式中，丨H(jω)|稱(chēng)為系統(tǒng)的幅頻特性，φ(ω)稱(chēng)為系統(tǒng)的相頻特性;因此，通過(guò)研究H(jω)就可了解系統(tǒng)的整個(gè)頻率特性，從而了解系統(tǒng)的功能。05信號(hào)傳輸失真及無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件PARTFIVE信號(hào)傳輸失真對(duì)一個(gè)頻率響應(yīng)為H(jω)的系統(tǒng)，式（4-12）給出了當(dāng)系統(tǒng)輸入的傅里葉變換為F(jω)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉變換：系統(tǒng)的相移改變了輸入信號(hào)中各頻率分量之間的相對(duì)相位關(guān)系，因此，即使系統(tǒng)的增益對(duì)所有頻率都相同的情況下，也可能使系統(tǒng)的輸出和輸入信號(hào)之間有很大的變化。系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的這種改變有時(shí)是有益的，如濾波器可以濾除不需要的干擾信號(hào);有時(shí)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的模和相位的改變是所不希望的，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生失真，這種失真稱(chēng)為線性失真，包括幅度失真和相位失真。信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏敿捌錀l件對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，一般要求能夠無(wú)失真地傳輸信號(hào)。信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏攺臅r(shí)域來(lái)說(shuō)就是要求系統(tǒng)輸出響應(yīng)的波形應(yīng)當(dāng)與系統(tǒng)輸入激勵(lì)信號(hào)的波形完全相同，而幅度大小可以不同，時(shí)間前后可以有所差異，即式中，k為與t無(wú)關(guān)的實(shí)常數(shù)，稱(chēng)為波形幅度衰減的比例系數(shù);t0為延退時(shí)間。這樣，雖然輸出響應(yīng)y(t)的幅度有k為倍的變化，而且有t0而時(shí)間的滯后，但整個(gè)波形的形狀不變，如圖4-9所示。信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏敿捌錀l件若要保持系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斝盘?hào)，從頻域分析來(lái)看，可對(duì)式（4-18）兩邊取傅里葉變換，并利用其時(shí)移性，有因此，無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)在頻域應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：(1)系統(tǒng)的幅頻特性在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)如即系統(tǒng)的通頻帶為無(wú)窮大，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)中每一頻率分量都乘以常數(shù)k，如圖4-10(a)所示；(2)系統(tǒng)的相移在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與ω成正比，即以φ(ω)=-ωt0，意味著系統(tǒng)對(duì)所有頻率分量都延遲t0，如如圖4-10(b)所示。信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏敿捌錀l件若對(duì)式(4-19)取傅里葉反變換，則可知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)式(4-20)表明:一個(gè)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)仍為一個(gè)沖激函數(shù)，不過(guò)在強(qiáng)度上不一定為單位1，沖激的位置也不一定位于t=0處。因此，式(4-20)從時(shí)域給岀了無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的條件。無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻特性應(yīng)在無(wú)限寬的頻率范圍內(nèi)保持常量，這是不可能實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際上，由于所有信號(hào)其能量總是隨頻率的增高而減少的，因此，系統(tǒng)只要有足夠大的頻寬，以保證包含絕大多數(shù)能量的頻率分量能夠通過(guò)，就可以獲得較滿(mǎn)意的傳輸質(zhì)量。群時(shí)延無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的一個(gè)要求是系統(tǒng)應(yīng)具有線性相位。這個(gè)相位不僅應(yīng)是頻率的線性函數(shù)，而且還應(yīng)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。實(shí)際上，很多系統(tǒng)僅具有近似線性相位特性。判定系統(tǒng)相位線性度的一種常用方法，就是求系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(jω)的相位函數(shù)<H(jω)的斜率。對(duì)一個(gè)理想的線性相位系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這個(gè)斜率是一個(gè)常數(shù)，而在一般情況下，該斜率是頻率ω的函數(shù)。倘若這個(gè)斜率不是常數(shù)，則時(shí)延將隨頻率而變化，也即信號(hào)的不同頻率分量具有不同時(shí)延(常稱(chēng)為色散)，其結(jié)果是系統(tǒng)的輸岀波形不同于輸入波形。在通信系統(tǒng)中，通常傳輸信號(hào)的頻譜在載頻ω0附近的很小的范圍內(nèi)，并且頻帶寬度Bw。與載頻氣之比遠(yuǎn)小于1，這種系統(tǒng)稱(chēng)為窄帶帶通系統(tǒng)。對(duì)帶通系統(tǒng)，無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件可以稍微放寬一點(diǎn)。如前所述，低通系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏?，要求其相位不僅是線性的，而且還要通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)帶通系統(tǒng)，相位特性在所關(guān)心的頻帶內(nèi)必須是線性的，但不必通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。此時(shí)，系統(tǒng)的相位特性可表示為群時(shí)延信號(hào)失真的類(lèi)型1.非線性失真如果一個(gè)系統(tǒng)輸岀響應(yīng)中出現(xiàn)有輸入激勵(lì)信號(hào)中所沒(méi)有的新的頻率分量，則稱(chēng)之為非線性失真。在線性系統(tǒng)中，不會(huì)出現(xiàn)非線性失真。2.線性失真在線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的信號(hào)失真稱(chēng)為線性失真。在線性失真中，響應(yīng)信號(hào)中不會(huì)出現(xiàn)激勵(lì)信號(hào)中所沒(méi)有的新的頻率成分。線性失真是由于系統(tǒng)函數(shù)H(jω)不滿(mǎn)足式(4-19)而引起的。當(dāng)|H(jω)|不等于常數(shù)人時(shí)所引起的失真稱(chēng)為振幅失真。振幅失真的原因在于系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)所有頻率分量的幅度衰減不是均等的，一部分頻率分量嚴(yán)重衰減，而另一部分頻率分量可能暢通無(wú)阻，從而使輸出波形不同于激勵(lì)波形。當(dāng)

時(shí)所產(chǎn)生的失真稱(chēng)為相位失真。不難想象，盡管信號(hào)所有頻率分量的幅度衰減相等，但A如果各頻率分量的相移沒(méi)有一定規(guī)律，致使各次諧波間相對(duì)位置發(fā)生變化，也將引起信號(hào)的失真。06理想低通濾波器及其響應(yīng)PARTSIX理想低通濾波器及其頻率特性具有圖4-12所示幅頻特性和相頻特性的網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為理想低通濾波器，即式中，ωc稱(chēng)為截止頻率。因此，從理想低通濾波器的頻率特性可以看出，對(duì)于低于ωc的所有信號(hào)，系統(tǒng)能無(wú)失真地傳輸，而將高于ωc的信號(hào)完全阻塞，無(wú)法傳送。所以，丨ω丨<ωc的頻率范圍稱(chēng)為通帶；丨ωc丨>ω的頻率范圍稱(chēng)為阻帶。只有在通帶內(nèi)，理想低通濾波器才滿(mǎn)足無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件。由H(jω)的物理意義可知，對(duì)理想低通濾波器的頻率特性直接求傅里葉反變換可得到理想低通濾波器的沖激響應(yīng)，即理想低通濾波器的沖激響應(yīng)由此可見(jiàn)，沖激響應(yīng)冗h(yuǎn)(t)的波形是抽樣函數(shù)。若取k=1，則其波形如圖4-13所示。峰值與截止頻率ωc/π成正比，波形的主瓣持續(xù)時(shí)間為2π/ωc，即與ωc成反比。由圖4-13可知，對(duì)于理想低通濾波器，其沖激響應(yīng)和h(t)的波形不同于激勵(lì)信號(hào)δ(t)的波形，它產(chǎn)生了嚴(yán)重失真。這是因?yàn)槔硐氲屯V波器是通頻帶有限系統(tǒng)，而沖激信號(hào)δ(t)的頻帶是無(wú)限寬的，經(jīng)過(guò)理想低通濾波器的加工，它必然對(duì)信號(hào)波形產(chǎn)生影響。凡是高于ωc的頻率分量都衰減為零。理想低通濾波器的沖激響應(yīng)另外，由圖4-13可以看到，沖激響應(yīng)和h(t)在t<0時(shí)已存在，即系統(tǒng)響應(yīng)在時(shí)間上超前于激勵(lì)，顯然，這是違背因果律的。因此，理想低通濾波器屬于非因果系統(tǒng)，現(xiàn)實(shí)中在物理上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。然而，只要可實(shí)現(xiàn)的濾波器能夠做到相當(dāng)接近于理想濾波特性，則有關(guān)理想濾波器的研究就不會(huì)因無(wú)法實(shí)現(xiàn)而失去價(jià)值。圖4-14(a)所示為一個(gè)二階低通濾波器。若則其沖激響應(yīng)h(t)和頻率特性如圖4-14(b)和(c)所示?？梢钥吹?，其特性接近于理想低通濾波器。理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的矩形脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性及佩利——維納準(zhǔn)則1.時(shí)域準(zhǔn)則一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)冗和h(t)在t<0時(shí)必須為零?；蛘哒f(shuō)，h(t)波形的出現(xiàn)必須是有起因的，不能在沖激作用之前就產(chǎn)生響應(yīng)，