人教版高中物理新教材同步講義必修第二冊 第6章 專題強化　豎直面內(nèi)的圓周運動（含解析）

豎直面內(nèi)的圓周運動[學(xué)習(xí)目標(biāo)]掌握豎直面內(nèi)圓周運動的輕繩模型和輕桿模型的分析方法．一、豎直面內(nèi)圓周運動的輕繩(過山車)模型導(dǎo)學(xué)探究如圖所示，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，在豎直面內(nèi)做圓周運動，小球在繩、軌道的限制下不能遠離圓心且在最高點無支撐，我們稱這類運動為“輕繩模型”．1．小球在豎直平面內(nèi)的運動是勻速圓周運動嗎？答案不是2．小球運動到最高點時向心力由什么力來提供？繩上拉力(或軌道的彈力)與速度有何關(guān)系？答案由重力和繩的拉力(或軌道的彈力)的合力提供最高點：F＋mg＝meq\f(v2,r)所以F＝meq\f(v2,r)－mg3．試分析小球通過最高點的最小速度．答案由于繩(軌道)不可能對球有向上的支持力，只能產(chǎn)生向下的拉力(彈力)，由F＋mg＝meq\f(v2,r)可知，當(dāng)F＝0時，v最小，最小速度為v＝eq\r(gr).4．分析小球通過最高點時繩上拉力與速度的關(guān)系．答案(1)v＝eq\r(gr)時，mg＝meq\f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受繩的拉力(或軌道的壓力)為零．(2)v<eq\r(gr)時，mg>meq\f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球脫離圓軌道，不能到達最高點．(3)v>eq\r(gr)時，mg<meq\f(v2,r)，即重力小于小球所需要的向心力，小球還要受到向下的拉力(或軌道的支持力)，重力和拉力(或軌道的支持力)的合力充當(dāng)向心力，mg＋F＝meq\f(v2,r).例1如圖所示，長度為L＝0.4m的輕繩，系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球的質(zhì)量為m＝0.5kg，小球半徑不計，g取10m/s2，求：(1)小球剛好通過最高點時的速度大??；(2)小球通過最高點時的速度大小為4m/s時，繩的拉力大??；(3)若輕繩能承受的最大張力為45N，小球運動過程中速度的最大值．答案(1)2m/s(2)15N(3)4eq\r(2)m/s解析(1)小球剛好能夠通過最高點時，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝meq\f(v12,L)，解得v1＝eq\r(gL)＝2m/s.(2)小球通過最高點時的速度大小為4m/s時，拉力和重力的合力提供向心力，則有FT＋mg＝meq\f(v22,L)，解得FT＝15N.(3)分析可知小球通過最低點時繩張力最大，速度最大，在最低點由牛頓第二定律得FT′－mg＝eq\f(mv32,L)，將FT′＝45N代入解得v3＝4eq\r(2)m/s，即小球的速度的最大值為4eq\r(2)m/s.針對訓(xùn)練1一細繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖所示，水的質(zhì)量m＝0.5kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離l＝50cm.(g取10m/s2)(1)若在最高點水不流出來，求桶的最小速率；(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)(2)若在最高點水桶的速率v＝3m/s，求水對桶底的壓力大?。鸢?1)2.24m/s(2)4N解析(1)以水桶中的水為研究對象，在最高點恰好不流出來，說明水的重力恰好提供其做圓周運動所需的向心力，此時桶的速率最?。藭r有：mg＝meq\f(v02,l)，則桶的最小速率為：v0≈2.24m/s.(2)因v＞v0，故此時桶底對水有向下的壓力，設(shè)為FN，由牛頓第二定律有：FN＋mg＝meq\f(v2,l)，代入數(shù)據(jù)可得：FN＝4N.由牛頓第三定律知，水對桶底的壓力大?。篎N′＝4N.二、豎直面內(nèi)圓周運動的輕桿(管)模型導(dǎo)學(xué)探究如圖所示，細桿上固定的小球和在光滑管形軌道內(nèi)運動的小球在重力和桿(管道)的彈力作用下在豎直平面內(nèi)做圓周運動，這類運動稱為“輕桿模型”．1．試分析小球通過最高點的最小速度．答案由于桿(或管道)在最高點處能對小球產(chǎn)生向上的支持力，故小球恰能到達最高點的最小速度v＝0，此時小球受到的支持力FN＝mg.2．分析小球在最高點時桿上的力(或管道的彈力)隨速度的變化．答案(1)v＝eq\r(gr)時，mg＝meq\f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿(或圓管)與小球間無作用力．(2)v<eq\r(gr)時，mg>meq\f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝meq\f(v2,r)，即F＝mg－meq\f(v2,r)，v越大，F(xiàn)越?。?3)v>eq\r(gr)時，mg<meq\f(v2,r)，即重力小于小球所需要的向心力，小球還要受到向下的拉力(或壓力)F.重力和拉力(或壓力)的合力充當(dāng)向心力，mg＋F＝meq\f(v2,r)，即F＝meq\f(v2,r)－mg，v越大，F(xiàn)越大．例2(2021·江蘇高郵中學(xué)高一期末)有一輕質(zhì)桿長L為0.5m，一端固定一小球質(zhì)量m為0.5kg，桿繞另一端在豎直面內(nèi)做圓周運動．(g＝10m/s2)(1)當(dāng)小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大??；(2)當(dāng)小球運動到最高點速率分別為1m/s和4m/s時，求小球?qū)U的作用力；(3)當(dāng)小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41N，求小球運動的速率．答案(1)eq\r(5)m/s(2)4N，方向向下11N，方向向上(3)6m/s解析(1)小球在最高點時剛好對桿無作用力，此時重力提供向心力有mg＝meq\f(v12,L)，代入數(shù)據(jù)解得v1＝eq\r(gL)＝eq\r(5)m/s(2)當(dāng)小球運動到最高點速率為1m/s時，此時小球A受到桿向上的支持力．根據(jù)牛頓第二定律可得：mg－F1＝meq\f(v22,L)，代入數(shù)據(jù)得：F1＝4N，根據(jù)牛頓第三定律可得小球?qū)U的作用力為4N，方向向下；當(dāng)小球運動到最高點速率為4m/s時，此時小球A受到桿向下的拉力，根據(jù)牛頓第二定律F2＋mg＝meq\f(v32,L)，代入數(shù)據(jù)解得F2＝11N，根據(jù)牛頓三定律可得小球?qū)U的作用力為11N，方向向上；(3)當(dāng)小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41N，由牛頓第二定律有F－mg＝meq\f(v42,L)，代入數(shù)據(jù)解得v4＝6m/s.針對訓(xùn)練2(多選)如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動．當(dāng)小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與過最高點時小球的速度平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)．MN為通過圓心的一條水平線．不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g.則下列說法中正確的是()A．管道的半徑為eq\f(b,g)B．小球的質(zhì)量為eq\f(a,g)C．小球在MN以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球可能有作用力D．小球在MN以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力答案AB解析由題圖乙可知，當(dāng)v2＝b，F(xiàn)N＝0時，mg＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(b,g)，故A正確；當(dāng)v2＝0時，mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)，故B正確；小球在水平線MN以下的管道中運動時，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個力，所以內(nèi)側(cè)管壁對小球沒有力，故C錯誤；小球在水平線MN以上的管道中運動時，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故可能是外側(cè)管壁受力，也可能是內(nèi)側(cè)管壁對小球有作用力，還可能均無作用力，故D錯誤．1.如圖所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動．圓環(huán)半徑為R，小球半徑不計，小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點時下列表述不正確的是(重力加速度為g)()A．小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mgB．重力mg充當(dāng)小球做圓周運動所需的向心力C．小球的線速度大小等于eq\r(gR)D．小球的向心加速度大小等于g答案A解析因為小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點時剛好不脫離圓環(huán)，故在最高點時小球?qū)A環(huán)的壓力為零，選項A錯誤；此時小球只受重力作用，即重力mg充當(dāng)小球做圓周運動所需的向心力，則有mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，選項B、C、D正確．2.(多選)(2021·河北高二學(xué)業(yè)考試)如圖所示，輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一個小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做圓周運動，當(dāng)小球運動至最高點時，輕桿對小球的作用力()A．方向一定豎直向上B．方向可能豎直向下C．大小可能為0D．大小不可能為0答案BC解析設(shè)桿長為R，當(dāng)重力剛好提供小球做圓周運動的向心力時，桿對小球無作用力，此時有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，當(dāng)v>eq\r(gR)時，桿對小球提供拉力，當(dāng)v<eq\r(gR)時，桿對小球提供支持力，故B、C正確，A、D錯誤．3．(2021·濟南市山東師范大學(xué)附中高一期中)游客乘坐過山車，在圓弧軌道上做勻速圓周運動，且在最低點處獲得的向心加速度為10m/s2，g取10m/s2，那么運動到此位置時座椅對游客的作用力相當(dāng)于游客重力的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案B解析根據(jù)牛頓第二定律得FN－mg＝ma解得FN＝mg＋ma＝2mg，B正確．4.在游樂園乘坐如圖所示的過山車時，質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)沿圓周軌道運動，已知重力加速度為g，下列說法正確的是()A．車在最高點時人處于倒坐狀態(tài)，全靠保險帶拉住，若沒有保險帶，人一定會掉下去B．人在最高點時對座位仍會產(chǎn)生壓力，但壓力一定小于mgC．人在最高點和最低點時的向心加速度大小相等D．人在最低點時對座位的壓力大于mg答案D解析過山車上人經(jīng)過最高點及最低點時，受力如圖，在最高點，由mg＋FN＝meq\f(v12,R)，可得：FN＝m(eq\f(v12,R)－g)①在最低點，由FN′－mg＝meq\f(v22,R)，可得：FN′＝m(eq\f(v22,R)＋g)②當(dāng)v1≥eq\r(gR)時，在最高點無保險帶也不會掉下，且還可能會對座位有壓力，大小因v1而定，A、B錯誤．人在最高點、最低點兩處向心加速度大小不相等，C錯誤．由②式知，在最低點FN′＞mg，根據(jù)牛頓第三定律知，D正確．5.如圖所示，某輕桿一端固定一質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，重力加速度為g，以下說法中正確的是()A．小球過最高點時，桿所受的彈力不可以為零B．小球過最高點時，最小速度為eq\r(gR)C．小球過最低點時，桿對球的作用力不一定與小球所受重力方向相反D．小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力答案D解析小球在最高點時，如果速度恰好為eq\r(gR)，則此時恰好只有重力提供向心力，桿和球之間沒有作用力，桿所受彈力為0，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，桿就要對球有支持力，方向與重力的方向相反，桿的作用力F＝mg－eq\f(mv2,R)，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力，故A、B錯誤，D正確；小球過最低點時，桿對球的作用力方向豎直向上，與重力方向一定相反，故C錯誤．6.雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的細繩的一端，系一個與水的總質(zhì)量為m＝0.5kg的大小不計的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，如圖所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s，則下列說法正確的是(g取10m/s2)()A．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B．“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C．“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用D．“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N答案B解析“水流星”在最高點的臨界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知繩的拉力恰好為零，“水流星”的重力提供向心力，則水恰好不流出，容器底部受到的壓力為零，故選B.7．如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動(不計一切阻力)，小球運動到最高點時繩對小球的拉力為FT，小球在最高點的速度大小為v，其FT－v2圖像如圖乙所示，則()A．?dāng)?shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量無關(guān)B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹閑q\f(m,a)C．當(dāng)v2＝c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為eq\f(ac,b)＋aD．當(dāng)v2＝2b時，小球受到的拉力與重力大小相等答案D解析設(shè)繩長為R，由牛頓第二定律知小球在最高點滿足FT＋mg＝meq\f(v2,R)，即FT＝eq\f(m,R)v2－mg，由題圖乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝eq\f(a,m)，R＝eq\f(mb,a)，A、B錯；當(dāng)v2＝c時，有FT1＋mg＝meq\f(c,R)，將g和R的值代入得FT1＝eq\f(ac,b)－a，C錯；當(dāng)v2＝2b時，由FT2＋mg＝meq\f(2b,R)可得FT2＝a＝mg，故拉力與重力大小相等，D對．8．(2022·揚州中學(xué)高一開學(xué)考試)如圖甲，滾筒洗衣機脫水時，衣物緊貼著滾筒壁在豎直平面內(nèi)做順時針的勻速圓周運動．如圖乙，一件小衣物(可理想化為質(zhì)點)質(zhì)量為m，滾筒半徑為R，角速度大小為ω，重力加速度為g，a、b分別為小衣物經(jīng)過的最高位置和最低位置．下列說法正確的是()A．衣物所受滾筒的支持力的大小始終為mω2RB．衣物轉(zhuǎn)到b位置時的脫水效果最好C．衣物所受滾筒的作用力大小始終為mgD．衣物在a位置對滾筒壁的壓力比在b位置的大答案B解析衣物隨滾筒一起做勻速圓周運動，故在轉(zhuǎn)動過程中，根據(jù)牛頓第二定律可知衣物所受合力的大小始終為F合＝mω2R，以a、b為例，由于重力方向始終豎直向下，向心力方向始終指向圓心，可知衣物所受滾筒的支持力的大小不相等，故A錯誤；設(shè)在a、b兩點的支持力分別為FN1和FN2，根據(jù)牛頓第二定律有mg＋FN1＝meq\f(v2,R)，F(xiàn)N2－mg＝meq\f(v2,R)，可知FN1<FN2，所以衣物對滾筒壁的壓力在a位置比在b位置的小，衣物做勻速圓周運動，所需的向心力相同，對筒壁的壓力不同，在b點最大，脫水效果最好，故B正確，D錯誤；衣物隨滾筒一起做勻速圓周運動，在轉(zhuǎn)動過程中，衣物所受的重力與所受滾筒的作用力的合力大小不變而方向不斷變化，所以衣物所受滾筒的作用力大小是在不斷變化的，故C錯誤．9．(2022·長春市第二中學(xué)高一期末)如圖甲所示，輕桿的一端固定一小球(可視為質(zhì)點)，另一端套在光滑的水平軸O上，O軸的正上方有一速度傳感器，可以測量小球通過最高點時的速度大小v，O軸處有一力傳感器，可以測量小球通過最高點時O軸受到的桿的作用力F，若取豎直向下為F的正方向，在最低點時給小球不同的初速度，得到的F－v2(v為小球在最高點處的速度)圖像如圖乙所示，取g＝10m/s2，則()A．小球恰好通過最高點時的速度大小為5m/sB．小球在最高點的速度大小為eq\r(15)m/s時，桿對球的作用力為支持力C．小球的質(zhì)量為3kgD．O軸到小球的距離為0.5m答案D解析由于是球桿模型，小球恰好通過最高點時的速度為零，A錯誤；當(dāng)小球通過最高點的速度為零時，桿對小球的支持力恰好等于小球的重力，由題圖乙可知，小球的重力為3N，即質(zhì)量為0.3kg，C錯誤；由題圖乙可知，當(dāng)小球以v2＝5m2/s2通過最高點時，恰好對桿沒有作用力，此時重力提供向心力，設(shè)O軸到小球的距離為L，根據(jù)mg＝meq\f(v2,L)，得L＝0.5m，故D正確；當(dāng)小球以eq\r(15)m/s的速度通過最高點時，根據(jù)mg＋F＝meq\f(v2,L)，可得F＝6N，此時桿對球的作用力是向下的拉力，大小為6N，故B錯誤．10.(2021·江蘇響水中學(xué)高一期末)如圖所示，一個可以視為質(zhì)點的小球質(zhì)量為m，以某一初速度沖上光滑半圓形軌道，軌道半徑為R＝0.9m，直徑BC與水平面垂直，小球到達最高點C時對軌道的壓力是其重力的3倍，重力加速度g＝10m/s2，忽略空氣阻力，求：(1)小球通過C點的速度大??；(2)小球離開C點后在空中的運動時間是多少；(3)小球落地點距B點的距離．答案(1)6m/s(2)0.6s(3)3.6m解析(1)小球通過最高點C，重力和軌道對小球的支持力的合力提供向心力，有F＋mg＝meq\f(vC2,R)，F(xiàn)＝3mg解得vC＝6m/s(2)小球離開C點后在空中做平拋運動，豎直方向有2R＝eq\f(1,2)gt2解得t＝0.6s(3)水平方向有x＝vCt＝3.6m.11．(2022