遼寧省沈陽市重點中學2023-2024學年高二上學期第一次階段測試數(shù)學試題（含答案）

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數(shù)學試題

說明：

1．測試時間：120分鐘總分：150分

2．客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應位置上

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．如果直線l的一個法向量是，則其傾斜角為（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2．已知直線一個方向向量為平面α的一個法向量為若∥α，則x=（）

A．4B．3C．2D．1

3．直線xcosα-y-1=0的傾斜角的取值范圍是（）

A．B．

C．D．

4．如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使MG=2GN，用向量OA，OB，OC表示向量OG為（）

A．B．

C．D．

5．∠APB在平面α內，大小為60°，射線PC與射線PA，PB所成的角均為135°，則直線PC與平面α所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

6．設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足則△BCD是（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定

7．如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足則的值為（）

A．B．3C．D．

8．如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA=2，點G與E分別為線段AB和CC的中點，點D與F分別為線段AC和AB上的動點．若GD⊥EF，則線段DF長度的最小值是（）

A．B．1C．D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9．已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說法中，正確的是（）

A．B．C．D．

10．下列說法中，正確的有（）

A．點斜式y(tǒng)-y=k（x-x）可以表示任何直線

B．直線y=4x-2在y軸上的截距為-2

C．如果A、B、C是平面直角坐標系中的三個不同的點，則這三點共線的充要條件是與共線

D．在x軸和y軸上截距相等的直線都可以用方程x+y=a（a∈R）表示

11．以下說法錯誤的有（）

A．已知向量若則為鈍角

B．對于任意非零向量若則

C．直線的方向向量為m=（1，0，-1），且過點A（1，1，1），則點P（-1，2，1）到的距離為

D．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若則P，A，B，C四點共面

12．已知棱長為2的正方體ABCD—ABCD中，E，M，N分別為AB，AD，CC的中點，則下列說法中正確的是（）

A．AC∥平面EMNB．直線AC與直線AD的距離

C．點A到平面EMN的距離為D．AC到平面EMN的距離為

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．

13．空間直角坐標系中，點A（1，2，-1）關于xOy平面的對稱點的坐標為______．

14．已知實數(shù)x，y滿足x+y=3（-1≤x≤1），則的取值范圍是______．

15．費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點．當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°。根據(jù)以上性質，函數(shù)的最小值為______．

16．四棱錐S―ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2，AD=，點E是SD上的點，且DE=λ（0<λ≤2），二面角C—AE—D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若tanθ·tanφ=1，則λ的值為______．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（10分）已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），∠A＝60°，∠B＝45°，

（1）求邊AB的方程

（2）求直線AC與直線BC的方程，并把結果寫成直線方程的一般式

18．（12分）已知點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設

（1）求夾角的余弦值

（2）若向量垂直，求k的值

19．（12分）已知直線∶kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．

（1）求證：無論k取何值，直線始終經(jīng)過第一象限；

（2）若直線與x軸正半軸交于A點，與y軸正半軸交于B點，O為坐標原點，設ΔAOB的面積為S，求S的最小值及此時直線的方程．

20．（12分）如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為的菱形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點

（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD;

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

21．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD=AB=2AD=2CD=2，E為PB的中點．

（Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBC;

（Ⅱ）求直線PD與平面AEC所成角的正弦值．

22．（12分）已知直三棱柱ABC-ABC中，側面AABB為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC的中點，D為棱AB上的點，BF⊥AB．

（1）證明：BF⊥DE;

（2）當BD為何值時，平面BBCC與平面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值

沈陽市重點中學2023-2024學年高二上學期第一次階段測試

數(shù)學試題答案

一、單選題：

1．C2．A3．B4．A5．B6．C7．D8．C

二、多選題：

9．ACD10．BC11．AB12．ABC

三、填空題：

13．14．15．16．

15．解：由兩點間的距離公式得

為點到點，，的距離之和，

即求點到點，，的距離之和的最小值，

取最小值時的這個點即為這三個點構成的三角形的費馬點，如圖，

在等腰三角形AMB中，，可得，，

容易求得最小值為．故答案為：．

四、解答題

17．解：（1）因為，，所以軸所以AB邊方程為，．

（2）因為，所以，

所以直線AC的方程為，即，

因為，所以，

所以直線BC的方程為，即．

18．解：（1），，故．

（2）由（1）可得，，

因為向量，垂直，故，

整理得到：，故或．

19．解：（1）因為直線l：，即，

令，求得，，即直線l過定點，且此定點在第一象限，

所以無論k取何值，直線l始終經(jīng)過第一象限．

（2）因為直線l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，所以，

令，解得；令，得，即，，

∴，∵，∴，

則，當且僅當，也即時，取等號，

則從而S的最小值為4，

此時直線l的方程為，即．

20．[方法一]（1）取OD中點E，連接ME，CE．其余略．

（2）∵，∴為異面直線AB與MD所成的角，

在中，由余弦定理得，連接MC，

在中，由勾股定理得，

在中，由余弦定理得，，∴，

所以AB與MD所成角的大小為．

（3）設點B到平面OCD的距離為h，

∵，∴，∴，

在中，，，，

由余弦定理得，，∴，∴，

又，∴，即點B到平面OCD的距離為．

[方法二]作于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，

，，，，

，，，

（1），，，

設平面OCD的法向量為，則，，

即，取，解得，

∵，∴平面OCD．

（2）設AB與MD所成的角為，∵，，

∴，∴，∴AB與MD所成角的大小為．

（3）設點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對值，

由，得．所以點B到平面OCD的距離為．

21．（Ⅰ）證明：平面ABCD，平面ABCD，故．

又，，，所以．故，

即，而，所以平面PBC，

因為平面ACE，所以平面平面PBC．

（Ⅱ）[方法一]平面ABCD，平面ABCD，故．

又，所以．在平面AEC內，過點P作，垂足為F．

由（Ⅰ）知平面平面PBC，平面PBC，平面平面，

所以平面ACE．由面積法得：即．

又點E為AB的中點，．所以．

又點E為AB的中點，所以點P到平面ACE的距離與點B到平面ACE的距離相等．

連結BD交AC于點G，則．

所以點D到平面AEC的距離是點B到平面ACE的距離的一半，即．

所以直線PD與平面AEC所成角的正弦值為．

[方法二]如圖，取AB的中點F，如圖建立坐標系．

因為，所以．所以有：，，，，

，．．，．

設平面AEC的一個法量為，則

取，得，，．即．

設直線PD與平面AEC所成角為，則．

22．因為三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC，∴，

∵，，∴，又，∴平面．

所以BA，BC，兩兩垂直．以B為坐標原點，

分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

∴，，，，，，，．

由題設．因為，，

所以，所以．

（2）[方法一]設平面DFE的法向