2024屆安徽省蚌埠二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆安徽省蚌埠二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的兩個頂點分別為A、B，點P為雙曲線上除A、B外任意一點，且點P與點A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.32．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.63．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.4．已知、、、是直線，、是平面，、、是點（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則5．已知橢圓的兩焦點分別為，，P為橢圓上一點，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.6．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定7．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(0，0)對稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.38．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)、都有，記，，，則（）A. B.C. D.9．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.410．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.2811．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.12．已知隨機(jī)變量X服從二項分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，且，則_______.14．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項和為，則______15．設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________16．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的一個焦點坐標(biāo)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，橢圓與直線相交于兩個不同的點A、B，線段AB的中點為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點R的橫坐標(biāo)為1（R在第一象限），過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點、若直線PR與QR的傾斜角互補，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.18．（12分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和19．（12分）如圖，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）若，分別是，的中點，求證：平面；（2）若是等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線經(jīng)過，傾斜角為與雙曲線交于兩點，求的面積.21．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由22．（10分）【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因為，所以，所以，則故選：C.2、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.3、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A4、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.5、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得，結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據(jù)余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B6、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A7、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠(yuǎn)的點的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.8、A【解析】由題，可得是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，由題，得，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，因此，，，即.故選：A【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小的問題，其中涉及到構(gòu)造函數(shù)的運用.9、B【解析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.10、C【解析】根據(jù)通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列的前8項和為.故選：C11、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因為，所以，所以.故選：C12、D【解析】利用二項分布概率計算公式，計算出正確選項.【詳解】∵隨機(jī)變量X服從二項分布X~B(4，)，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可【詳解】根據(jù)題意可得：，，，故數(shù)列為周期數(shù)列可得：故答案為：14、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項公式；，采用裂項相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.15、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：16、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：9.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點P坐標(biāo)，同理可得點Q坐標(biāo)，計算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知，點，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點睛】方法點睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論.18、（1）；（2）【解析】（1）由等差數(shù)列以及等比中項的公式代入聯(lián)立求解出，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求得答案；（2）利用分組求和法，根據(jù)求和公式分別求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和再相加即可.【詳解】（1）由題意，，，即，聯(lián)立解得，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）得，，所以【點睛】關(guān)于數(shù)列前項和的求和方法：分組求和法：兩個數(shù)列等差或者等比數(shù)列相加時利用分組求和法計算；裂項相加法：數(shù)列的通項公式為分式時可考慮裂項相消法求和；錯位相減法：等差乘以等比數(shù)列的情況利用錯位相減法求和.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形，在平面中找到即可證明（2）建立直角坐標(biāo)系，通過兩個面的法向量夾角的余弦值求出面面夾角的余弦值【小問1詳解】證明：設(shè)為的中點，連接，，因為，分別為，的中點.所以且，又，為的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點，連接，，則，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵是等邊三角形，為中點，∴，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.設(shè)為平面的一個法向量，則有即取可取，設(shè)為平面的一個法向量，則有即可取，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，∴，即平面與平面夾角的余弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線有共同漸近線，可令雙曲線方程為，求出即可得雙曲線的方程；（2）根據(jù)已知有直線為，由其與雙曲線的位置關(guān)系，結(jié)合弦長公式、點線距離公式及三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，代入點得：，即，∴雙曲線方程為，即.（2）由（1）知：，即直線方程為.設(shè)，聯(lián)立得，滿足且，，由弦長公式得，點到直線的距離.所以【點睛】本題考查了雙曲線，根據(jù)雙曲線共漸近線求雙曲線方程，由直線與雙曲線的相交位置關(guān)系求原點與交點構(gòu)成三角形的面積，綜合應(yīng)用了弦長公式、點線距離公式、三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為或，當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時，設(shè)斜率分別為，點，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設(shè)點，則，所以，化簡得，當(dāng)直線或的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題得到解決.22、(1)a=；f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．(2)證明見解析.【解析】分析：(1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，利用f′（2）=0，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)a≥時，f（x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.詳解：（1）f（x）的定義域為，f′（x）=aex–由題設(shè)知，f′（2）=0，所以a=從而f（x）=，f′（x）=當(dāng)0<x<2時，f′（x）<0；