2023-2024學(xué)年上海市五十二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市五十二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%2．公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列中，是的前項(xiàng)和，，則（）A.40 B.45C.50 D.555．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-16．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.88．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．某學(xué)校高二級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.310．已知橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C. D.811．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為90°B.存在點(diǎn)使得異面直線與所成角為45°C.存在點(diǎn)使得二面角的平面角為45°D.當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為12．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線與A，C，B，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD面積的最小值為_(kāi)__________14．若，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_________15．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________16．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長(zhǎng)的值.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，用符號(hào)表示不超過(guò)x的最大數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值.19．（12分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長(zhǎng)的最大值20．（12分）在等差數(shù)列中．，（1）求的通項(xiàng)公式：（2）記的前項(xiàng)和為，求滿足的的最大值21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限；（1）若直線的斜率為，求的值；（2）求線段的長(zhǎng)度的最小值22．（10分）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足（1）求A的大小；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.2、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項(xiàng)D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項(xiàng)A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項(xiàng)都大于1，從第2022項(xiàng)開(kāi)始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項(xiàng)A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項(xiàng)B不正確；而，由以上分析可知其無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；故選：A3、A【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得，最后計(jì)算，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時(shí)，取最小值為-10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，難點(diǎn)在于三點(diǎn)共線，審清題干，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”即可求解【詳解】故選：B5、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A6、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A7、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B8、D【解析】由題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D9、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.10、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B11、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得，可判斷A；與或重合時(shí)，直線與所成的角最小可判斷B；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，通過(guò)計(jì)算可判斷C；過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為90°，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)與或重合時(shí)，直線與所成角最小，為60°，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作，交于，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以、分別是、的中點(diǎn)，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因?yàn)椋?，所以四邊形是等腰梯形，作交于點(diǎn)，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.12、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、512【解析】設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知：直線存在斜率且不為零，所以設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以，由拋物線的定義可知：，因?yàn)橹本€互相垂直，所以直線的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：51214、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，即.故答案為：15、【解析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出即可.【詳解】，∴.故答案為：16、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出圓的方程；（2）先求圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求弦長(zhǎng).【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【點(diǎn)睛】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫(xiě)出方程；（2）待定系數(shù)法：設(shè)出圓的方程，可以是標(biāo)準(zhǔn)方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.18、（1）（2）9【解析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，由可知，，即，解得，即值為9.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出，即可（2）設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長(zhǎng)公式，求得，，運(yùn)用菱形和橢圓的對(duì)稱性可得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合菱形的對(duì)角線垂直和向量數(shù)量積為0，可得，設(shè)菱形的周長(zhǎng)為，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最大值【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，又，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓設(shè)曲線的方程為，，，曲線的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立可得，由可得，化簡(jiǎn)可得，①，，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以且，所以，，，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，可得，即，即，即，可得，化?jiǎn)可得，設(shè)菱形的周長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，滿足①，所以菱形的周長(zhǎng)的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理此類直線與橢圓相交問(wèn)題中，一般先設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得出，，再具體問(wèn)題具體分析，一般涉及弦長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)算比較繁瑣，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，屬于難題。20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式可得基本量，進(jìn)而可得解.（2）利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，解得，所以的最大值為.21、（1）3；（2）12.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，求出A和B的橫坐標(biāo)即可得AFBF(2)設(shè)直線l方程為，與拋物線C方程聯(lián)立，求出線段AB長(zhǎng)度求其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率，直線l的方程為，將直線l