2-單自由度受迫振動解析

第2章單自由度系統(tǒng)的受迫振動上一章爭論的自由振動只是系統(tǒng)對初始擾動(初始條件)的響應(yīng)。由于阻尼的存在,振動現(xiàn)象很快就會消逝。要使物體作持續(xù)的振動，必需有外界鼓舞輸入給系統(tǒng)以補充阻尼消耗的能量。系統(tǒng)在外部鼓舞作用下的振動稱為受迫振動或強迫振動。所謂簡諧鼓舞就是正弦或余弦鼓舞。2.1.1振動微分方程及其解2.1簡諧鼓舞下的受迫振動2.1簡諧鼓舞下的受迫振動設(shè)單自由度黏滯阻尼系統(tǒng)受到的鼓舞為F(t)=F0sinwt，這里w為激振頻率，利用牛頓定律并引入阻尼比z可得到齊次方程的通解上章已經(jīng)給出。設(shè)其特解為：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動代入方程確定系數(shù)X和a為：其中：為頻率比。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動因此方程的全解為：系數(shù)A和B由初始條件確定。設(shè)t＝0時,則：所以黏滯阻尼在正弦鼓舞作用下的響應(yīng)〔解〕最終表示為：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動上述解的第一局部代表由初位移和初速度引起的自由振動，其次局部代表由干擾力引起的自由振動，它們都是衰減振動，隨時間的推移而消逝，稱為瞬態(tài)響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)；最終只剩下第三局部，代表與激振力同形式的等幅的強迫振動，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而強迫振動局部才是我們最關(guān)心的。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動假設(shè)為余弦鼓舞,則響應(yīng)〔解〕為：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動無阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)〔解〕正弦鼓舞余弦鼓舞2.1簡諧鼓舞下的受迫振動2.1.2復(fù)數(shù)解法(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))2.1簡諧鼓舞下的受迫振動將振動方程寫為復(fù)數(shù)形式其實部和虛局部別分別代表余弦和正弦鼓舞。令其特解為2.1簡諧鼓舞下的受迫振動代入方程得到其中

H(w)稱為復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)，是系統(tǒng)對頻率為w的單位諧干擾力的復(fù)響應(yīng)的振幅。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動令求得C和a為則比較系數(shù)得2.1簡諧鼓舞下的受迫振動確定C和a后得到2.1簡諧鼓舞下的受迫振動這里的X與a和前面給出的結(jié)果一樣，即分別取z*式的實部和虛部就是對應(yīng)于余弦和正弦鼓舞的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2.1.3穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析2.1簡諧鼓舞下的受迫振動1.幅頻特性曲線對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x*(t)=Xsin(wt－a)，定義動力放大系數(shù)b

為響應(yīng)的振幅X與最大干擾力F0所引起的靜位移的比值：以z為參數(shù)，畫出b－g曲線即幅頻特性曲線，說明白阻尼和激振頻率對響應(yīng)幅值的影響。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動爭論：g<<1時，b≈1。即響應(yīng)幅值近似等于激振力幅值F0所引起的靜位移F0/k;g>>1時2.1簡諧鼓舞下的受迫振動振幅的大小主要預(yù)備于系統(tǒng)的慣性。這就是高速旋轉(zhuǎn)的機器正常工作時運轉(zhuǎn)特殊平穩(wěn)的緣由;g≈1〔激振頻率接近固有頻率〕時，b快速增大，振幅很大，這種現(xiàn)象稱為共振;阻尼比z的影響:阻尼越小，共振越厲害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動對b求導(dǎo)數(shù)取極值令其等于0得2.1簡諧鼓舞下的受迫振動而g＝1時則當(dāng)z很小時b和bmax相差很小，所以在工程中仍認為當(dāng)w＝wn時發(fā)生共振。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動2.相頻特性曲線以z為參數(shù)，畫出a－g曲線即相頻特性曲線，說明白阻尼和激振頻率對相位差的影響。爭論：從圖中可以看出，無阻尼狀況下的曲線是由a＝0和a＝p的半直線段組成，在g＝1處發(fā)生連續(xù)；有阻尼時a為在0～p之間變化的光滑曲線,并且不管a取值多少,當(dāng)g＝1時都有a＝p/2,即曲線都交于〔1,p/2〕這一點。這一現(xiàn)象可以用來測定系統(tǒng)的固有頻率；g→∞時,a→p,系統(tǒng)平穩(wěn)運行(見例2.2)。3.品質(zhì)因子〔自學(xué)〕2.1簡諧鼓舞下的受迫振動2.1簡諧鼓舞下的受迫振動例2.2總質(zhì)量為M的振動機支承在彈簧k和阻尼器c上,兩個偏心質(zhì)量m/2繞相反方向以等角速度w轉(zhuǎn)動。試爭論振動機在其平衡位置四周的運動。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動

解：求振動方程。x方向的動量為代入公式求得響應(yīng)為利用動量定理得2.1簡諧鼓舞下的受迫振動g→∞時,則：MX→ml，sin(wt－a)→－sinwt而振動機質(zhì)心的位移為2.1簡諧鼓舞下的受迫振動由于sin(wt－a)→－sinwt,MX→ml，則：xC→0。這說明：當(dāng)g→∞〔即高速旋轉(zhuǎn)〕時,振動機的質(zhì)心幾乎保持靜止。即機器運行特殊平穩(wěn)。2.1簡諧鼓舞下的受迫振動例題2.1求圖示系統(tǒng)在位移鼓舞下系統(tǒng)的響應(yīng)。解：振動方程為即：代公式即可求出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)……2.1簡諧鼓舞下的受迫振動

例題2.2圖示系統(tǒng)，假定缸體與活塞桿之間的阻尼系數(shù)為c，求缸體振幅與y的關(guān)系。解：振動方程為即：代公式即可求出振幅……2.1簡諧鼓舞下的受迫振動例題2.4求圖示系統(tǒng)質(zhì)量塊的振幅。解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點建立振動方程則：代公式即可求出振幅……而：作業(yè)：T2.3，7，11，27假設(shè)F(t)是周期為T的函數(shù)，表示為F(t±nT)=F(t)，n＝0,1,2,…設(shè)函數(shù)F(t)在一個周期內(nèi)分段光滑，則可以表示為傅里葉〔Fourier〕級數(shù):2.2.1傅里葉級數(shù)2.2周期鼓舞下的受迫振動

傅里葉級數(shù)方法2.2周期鼓舞下的受迫振動其中各個系數(shù)計算分為兩種狀況：當(dāng)F(t)定義在[－T/2,T/2]上時2.2周期鼓舞下的受迫振動2.2周期鼓舞下的受迫振動假設(shè)F(t)為奇函數(shù)則an＝0，假設(shè)F(t)為偶函數(shù)則bn＝0，且可分別寫為：當(dāng)F(t)定義在[0,T]上時2.2周期鼓舞下的受迫振動2.2周期鼓舞下的受迫振動周期鼓舞下的振動方程2.2.2振動方程及其解變?yōu)槔蒙瞎?jié)簡諧鼓舞的響應(yīng)可得到2.2周期鼓舞下的受迫振動其中無阻尼系統(tǒng)在周期鼓舞作用下的響應(yīng)2.2周期鼓舞下的受迫振動其中復(fù)數(shù)形式2.2周期鼓舞下的受迫振動系數(shù)為(n=0,±1,±2,…)F(t)定義在[－T/2,T/2]F(t)定義在[0,T]復(fù)數(shù)形式方程2.2周期鼓舞下的受迫振動解為其中H(nw)為對應(yīng)于頻率為nw的復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)2.1簡諧鼓舞下的受迫振動例題2.15求無阻尼系統(tǒng)在圖示周期鼓舞下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：激振力函數(shù)為2.1簡諧鼓舞下的受迫振動

F為奇函數(shù)，可以只在半周期內(nèi)積分，也可以在0～T積分，而an＝0。在0～T積分時：2.1簡諧鼓舞下的受迫振動在半周期內(nèi)積分時：最終結(jié)果均為：作業(yè)：T2.14代入公式即可得出響應(yīng)。本節(jié)利用數(shù)學(xué)的卷積分方法求解任意激振力作用下的響應(yīng)。其根本思想是將任意激振力表示為無限多個常力之和，通過積分計算響應(yīng)。2.3任意鼓舞下的受迫振動

卷積分方法2.3任意鼓舞下的受迫振動定義階躍函數(shù)或稱單位臺階函數(shù)為2.3任意鼓舞下的受迫振動2.3.1階躍函數(shù)H0(t)tO1此函數(shù)無量剛，在t＝0處有跳動。類似地，假設(shè)在t＝a處有跳動，函數(shù)可寫為H0(t－a)。2.3任意鼓舞下的受迫振動H0(t-a)tO1ad-函數(shù)〔Dirac函數(shù)〕或稱單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)定義為2.3任意鼓舞下的受迫振動2.3.2d-函數(shù)OtOt1同樣可定義t＝a時的單位脈沖函數(shù)2.3任意鼓舞下的受迫振動Ota單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)：2.3任意鼓舞下的受迫振動單位脈沖鼓舞下系統(tǒng)的運動微分方程為2.3任意鼓舞下的受迫振動2.3.3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)設(shè)初始條件為0，在Dt＝e內(nèi)對方程兩端積分得而2.3任意鼓舞下的受迫振動〔動量的突變〕〔時間極短，位移無變化〕因此2.3任意鼓舞下的受迫振動說明系統(tǒng)受到脈沖鼓舞后速度發(fā)生突變，而位置不變。即獲得了初始速度，然后作自由衰減振動。利用上章的公式計算振幅和相位2.3任意鼓舞下的受迫振動于是得到系統(tǒng)對單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為明顯對t＝a處的單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為

h(t)和h(t－a)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，或簡稱脈沖響應(yīng)函數(shù)。2.3任意鼓舞下的受迫振動無阻尼系統(tǒng)對單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為對t＝a處的單位脈沖鼓舞的響應(yīng)為設(shè)有圖示任意鼓舞F(t)，在時間區(qū)間[0,t]內(nèi)的作用可視為一系列脈沖F(t)dt連續(xù)作用疊加而成。2.3任意鼓舞下的受迫振動2.3.4任意鼓舞的響應(yīng)在任意瞬時t=t處，大小為F(t)dt的脈沖可用d-函數(shù)表示為F(t)dtd(t-t)，相應(yīng)的響應(yīng)為dx=F(t)dth(t-t)。因而系統(tǒng)對F(t)的總響應(yīng)為2.3任意鼓舞下的受迫振動這就是系統(tǒng)對任意鼓舞F(t)的零初值響應(yīng)。稱為杜哈美〔Duhamel〕積分。1.階躍鼓舞2.3任意鼓舞下的受迫振動2.3.5幾種常見鼓舞的響應(yīng)利用杜哈美積分可求得2.3任意鼓舞下的受迫振動特殊地，假設(shè)F0＝1，則上式就成為單位臺階函數(shù)H0(t)的零初值響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)和單位臺階函數(shù)的響應(yīng)g(t)之間有下面的關(guān)系2.3任意鼓舞下的受迫振動2.斜坡載荷鼓舞F(t)＝at2.3任意鼓舞下的受迫振動3.指數(shù)衰減函數(shù)鼓舞F(t)＝F0e-at2.3任意鼓舞下的受迫振動無阻尼系統(tǒng)的任意鼓舞零初值響應(yīng)杜哈美積分階躍鼓舞斜坡鼓舞指數(shù)鼓舞2.3任意鼓舞下的受迫振動

例T1.8

圖示系統(tǒng)，質(zhì)量為m1的物體從高h處自由落下，與懸掛在彈簧k下的質(zhì)量m2碰撞后一起作微幅振動，求振動的固有頻率和響應(yīng)。2.3任意鼓舞下的受迫振動

分析：碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后兩個質(zhì)量一起振動。

解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點建立方程而則固有頻率2.3任意鼓舞下的受迫振動利用動量定理計算碰撞后的初始速度即開頭振動時的初始條件為由此初始條件引起的響應(yīng)為2.3任意鼓舞下的受迫振動利用杜哈美積分計算m1g引起的響應(yīng)〔即階躍函數(shù)的響應(yīng)〕則總響應(yīng)為2.3任意鼓舞下的受迫振動例2.5求無阻尼振動系統(tǒng)在圖示矩形脈沖鼓舞作用的零初值響應(yīng)。解：激振力函數(shù)為F(t)tOF0T解法1：

直接利用杜哈美積分。

t在[0,T]內(nèi)就是階躍函數(shù)的響應(yīng)2.3任意鼓舞下的受迫振動t在[T,∞)內(nèi)：2.3任意鼓舞下的受迫振動因而響應(yīng)為：或?qū)憺椋?.3任意鼓舞下的受迫振動

解法2：利用兩個階躍激振力疊加，將其寫為下面的形式：直接利用階躍函數(shù)鼓舞的響應(yīng)得到：2.3任意鼓舞下的受迫振動例2.4

求無阻尼振動系統(tǒng)在圖示三角形波干擾力作用下的零初值響應(yīng)。2.3任意鼓舞下的受迫振動

解：激振力函數(shù)為2.3任意鼓舞下的受迫振動解法1：

直接利用杜哈美積分。在[0,t1]內(nèi)：2.3任意鼓舞下的受迫振動在[t1,t2]內(nèi)：2.3任意鼓舞下的受迫振動在t2以后：解法2：

見書。作業(yè)：T2.9，26根底運動引起的強迫振動在工程中常常遇到。設(shè)根底的位移為y，質(zhì)量的位移為x2.6單自由度振動理論的工程應(yīng)用2.6工程應(yīng)用根底運動引起的強迫振動則系統(tǒng)的振動微分方程為2.6工程應(yīng)用假設(shè)令相對位移x1=x－y，則用x表示的方程適用于根底運動以位移形式給出;而用x1表示的方程適用于根底運動以速度或加速度形式給出，這時求出的是相對運動x1。例2.8求振動系統(tǒng)受y=Ysinwt的根底運動引起的響應(yīng)。解：方程為2.6工程應(yīng)用直接代公式即可求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的總響應(yīng):2.6工程應(yīng)用總振幅為根底的運動不但對系統(tǒng)響應(yīng)有影響,而且系統(tǒng)也同樣將力通過彈簧和阻尼傳遞給根底。為了削減根底和系統(tǒng)之間的相互作用和影響而實行的有效措施稱為隔振。隔振有主動隔振和被動隔振。1.主動隔振把振源與根底隔離開來以削減振源對四周的影響而實行的措施叫做主動隔振。2.6工程應(yīng)用2.6.2隔振主動隔振的目的就是削減振源傳遞給根底的力，主要措施就是在機器〔振源〕和根底之間安裝柔性支撐〔彈簧〕和阻尼器，其理論模型就是類似根底運動這樣的典型構(gòu)造。2.6工程應(yīng)用經(jīng)隔振裝置〔即前面的模型〕，振動系統(tǒng)傳遞到根底上的力為2.6工程應(yīng)用其最大值為設(shè)激振力為簡諧形式F0sinwt，將傳遞到根底上力的幅值與激振力幅值的比值定義為評價主動隔振效果的指標(biāo)——力傳遞系數(shù)，或稱力傳遞率2.6工程應(yīng)用2.被動隔振為了削減外界振動〔如根底運動〕對設(shè)備的影響而實行的隔振措施叫做被動隔振。被動隔振的目的就是減小系統(tǒng)響應(yīng)的振幅。將根底運動引起系統(tǒng)的振幅與根底振幅的比值定義為評價被動隔振的指標(biāo)——位移傳遞系數(shù)Tr，或稱位移傳遞率，則2.6工程應(yīng)用3.隔振效果爭論由于力傳遞系數(shù)TF和位移傳遞系數(shù)Tr完全一樣，所以在設(shè)計主動隔振和被動隔振裝置時所遵循的準(zhǔn)則是一樣的?？梢援嫵鰝鬟f率與頻率比的關(guān)系圖。2.6工程應(yīng)用由關(guān)系圖和傳遞率的公式得知：〔1〕當(dāng)g→0即w→0和g→1.414時，傳遞率為1，與阻尼無關(guān)，無振動產(chǎn)生；〔2〕當(dāng)g→1時，為共振區(qū)，無隔振效果；〔3〕當(dāng)g>1.414時，傳遞率減小，隔振效果明顯，且阻尼越小，效果越好，但假設(shè)阻尼過小，經(jīng)過隔振區(qū)時將產(chǎn)生過大的振動。2.6工程應(yīng)用2.3任意鼓舞下的受迫振動例T2.12彈簧質(zhì)量系統(tǒng)放在箱子中,箱子從高h處自由落下。求〔1〕箱子下落過程中,質(zhì)量塊相對箱子的運動x;〔2〕箱子落地后傳到地面的最大壓力。2.3任意鼓舞下的受迫振動解：