河北省2023屆新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題1解三角形解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃含解析

Page322023屆河北省新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題1解三角形解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃1．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角A的大??；(2)若，求邊上的中線長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）邊化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解決.【詳解】（1）由得,,即.（2）,即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．2．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）在中；內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理可知，由此可知，進(jìn)而求出.（2）由（1）結(jié)合余弦定理可知，對(duì)其使用基本不等式可知，根據(jù)三角形中線的向量表示可知，對(duì)其兩邊平方，根據(jù)平面向量數(shù)量積公式以及基本不等式可知，由此即可求出結(jié)果.(1)解：在中，由正弦定理得.因?yàn)椋?又，所以，所以.因?yàn)橹?，，所?(2)解：在中，由及余弦定理，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，即的最大值為.3．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.(1)若，，求；(2)若點(diǎn)在線段上，且，，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合整理得，再借助誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)整理；（2）本題可以設(shè)，利用正弦定理邊化角整理可得；也可以利用余弦定理得到邊的關(guān)系，令整理得，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布處理．(1)由正弦定理可知：，又，故，則，又，得，由于，所以，即由余弦定理可知，，即，解得或（舍去）(2)解法一：設(shè)，由正弦定理可得：，即，故，，從而，其中，當(dāng)時(shí)，有的最大值為.解法二：在中，由余弦定理得，，即，即令，從而，整理得依題意，上述關(guān)于的方程有正實(shí)數(shù)解；因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸所以，解得.所以的最大值為，此時(shí)，.4．（2022·河北衡水·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分到為a，b，c，已知，.(1)證明：△ABC為等腰三角形；(2)設(shè)△ABC的面積為S，若，S的值.在①；②；③三個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)填入上面空白處，并求解.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)選①：；選②：；選③：【分析】（1）由三角形的余弦定理，結(jié)合三角形的形狀即可得證.（2）分別選①②③，運(yùn)用余弦定理、同角的基本關(guān)系和向量數(shù)量的定義、面積公式，可得所求值.(1)證明：因?yàn)樗杂捎嘞叶ɡ砜芍?，，即，即為等腰三角?(2)解：由題意得：選①：由（1）可知，，所以所以，整理得：，解得，所以，所以又由，可得，所以；選②：因?yàn)樗裕獾?，所以，得，；選③：因?yàn)?，且，所以故，因此于?．（2022·河北保定·校聯(lián)考一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.(1)若，求b；(2)若D為的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，然后按照正弦定理計(jì)算即可；（2）利用，以及AD是中線的特點(diǎn)列方程即可.(1)因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得，?(2)在中，由余弦定理得……①因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得……②聯(lián)立①②可得，即，故答案為：，.6．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊BC上，且．(1)若，，且∠CAD為銳角，求CD的長(zhǎng)；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)可得，進(jìn)而求得，應(yīng)用余弦定理求CD的長(zhǎng)；（2）由正弦定理可得、，結(jié)合即可求目標(biāo)式的值.（1）由，，則，所以，又∠CAD為銳角，則，又，在△中，可得.（2）由，在△中，則，在△中，則，又，故，又，所以.7．（2022·河北滄州·滄縣中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A；(2)若，求的周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程并結(jié)合題意得，故；（2）根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理與基本不等式得，進(jìn)而得答案.(1)解：由，得，即．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，則，（舍去），所以，所以．(2)解：由余弦定理得，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以，即．所以（時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)的最大值為．8．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，且．(1)求角；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得答案；（2）由正弦定理得，再利用兩角和的正弦展開(kāi)式和的范圍計(jì)算可得答案.【詳解】（1）由、正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，而，所以，即，；?）由正弦定理得，即，，，.9．（2022·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考一模）在中，所對(duì)的邊分別為，且，其中是三角形外接圓半徑，且不為直角.(1)若，求的大?。?2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求出的大小.(2)運(yùn)用正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)，再利用基本不等式求解的最小值.【詳解】（1）在中，，進(jìn)而，，，又不為直角，則，，，.（2）由(1)知，轉(zhuǎn)化為，又，，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.10．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，D為內(nèi)部一點(diǎn)，于E，.請(qǐng)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立.①；②；③.【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】以①③為條件，②為結(jié)論：由已知可得，，.設(shè)，則，表示出各邊長(zhǎng)，由勾股定理，可推出.代入，整理可得關(guān)于的方程，得，由正弦定理可推得②成立；以①②為條件，③為結(jié)論：由已知可得的長(zhǎng)，.由勾股定理，可推出.根據(jù)三角形相似，求出，，代入可得，，進(jìn)而得到，由余弦定理即可推得③成立；以②③為條件，①為結(jié)論：由已知可推出，.設(shè)，，則，得到.由勾股定理得.然后得到.由，可得，即，結(jié)合圖象得到，所以有，即①成立.【詳解】以①③為條件，②為結(jié)論：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).由可得，，.由可得，，在中，由余弦定理可得，所以，，則，則.設(shè)，則，又，所以，則，，.在中，有.在中，有.所以有，即，整理可得，.代入整理可得，，即.解關(guān)于的方程可得，，因?yàn)?，所以不成立，舍?所以，.由正弦定理可得，，又，所以，所以，即②成立.以①②為條件，③為結(jié)論：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).設(shè)，，則，由可得，，.由可得，，由正弦定理可得.在中，有.在中，有.所以有，即，整理可得，.因?yàn)?，所?由已知可得，，所以∽，所以有，即，所以，所以，，所以，即，整理可得.在中，，則，所以.則在中，由余弦定理可得，所以有，即③成立；以②③為條件，①為結(jié)論：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).由可得，，由正弦定理可得.由可得，，在中，由余弦定理可得，所以，，則，則.設(shè)，，則，又，所以，則，，.由可得，，在中，由余弦定理可得，所以，，則，則.由可得，，由正弦定理可得.在中，有.在中，有.所以有，即，整理可得，.因?yàn)?，所?，所以有，整理可得.因?yàn)椋?，所以，所?即，由圖知，所以有，即①成立.11．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，與均在區(qū)間上單調(diào)遞增，若的最大值為(1)求的值(2)在不等腰中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，證明：【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）把降冪后，分別求出的增區(qū)間，再求出得公共增區(qū)間，然后由題意可得；（2）由（1）代入后化簡(jiǎn)，并由正弦定理、余弦定理化角為邊，整理可證．【詳解】（1），，，，，的增區(qū)間是，，，，則，因此的增區(qū)間是，，所以它們公共增區(qū)間是，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為，由題意，∴；（2）由（1），，已知式為，，由正弦定理、余弦定理得，整理得，三角形是不等腰的三角形，即，∴，即．12．（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考三模）從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：如圖，在平面四邊形中，已知，且__________．(1)求；(2)若，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，先用正弦定理算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理計(jì)算；若選②，先用面積公式算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理計(jì)算.（2）先用兩角和的正弦公式算出，然后利用正弦定理計(jì)算的長(zhǎng).（1）選①因?yàn)?，所以，解得，所以，解得．由，得．選②由，得，所以，解得．由，得．（2）由（1）知，又，所以，從而，所以，由，得．13．（2022·河北唐山·統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形中，．(1)證明：為直角三角形；(2)若，求四邊形面積S的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)12【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）由與，結(jié)合與基本不等式求解即可【詳解】（1）∵，由與余弦定理∴，整理得，，∴．∴為直角三角形．（2）∵，∴．由，得．．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以四邊形面積S的最大值為12．14．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若點(diǎn)D在BC邊上，AD平分BAC，且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求出角即可；（2）利用角平分線分三角形面積等于兩個(gè)小三角形面積之和得出等式，再用余弦定理聯(lián)立求解周長(zhǎng)即可.（1）由正弦定理得，在中，，化簡(jiǎn)為，又，，又；（2）依題意得，即，由余弦定理得，，解得的周長(zhǎng)為.15．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求C；(2)若的平分線交于點(diǎn)D，且，求b.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后利用余弦定理進(jìn)行求解.（2）依據(jù)題意作出簡(jiǎn)圖，在中，利用正弦定理及余弦定理求出角得值，然后在中，求解出角的值，利用正弦定理，即可求解邊.(1)解：∵，由正弦定理得：，整理得：，又由余弦定理得：，又，故.(2)根據(jù)題意作出簡(jiǎn)圖，如下：在中，，，，由余弦定理得：，解得，由正弦定理得：，則，解得，又由（1）知，故，在中，，由正弦定理得：，則，解得.故.16．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求C；(2)若邊上的中線長(zhǎng)為4，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理將已知的式子統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)后，再利用余弦定理可求出角C；（2）在和中分別利用余弦定理可得，再結(jié)合（1）中的，可得，然后利用基本不等可得，再由三角形的面積公式可求出其最大值(1)因?yàn)?，所以由余弦定理得，，，，整理得，，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得，因?yàn)椋裕?2)因?yàn)檫吷系闹芯€長(zhǎng)為4，所以，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為，17．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)P.(1)求的余弦值；(2)求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，再用余弦定理即可得解；（2）在中，通過(guò)正弦定理可得，再通過(guò)余弦定理可得，進(jìn)而得周長(zhǎng).（1）因?yàn)?，所以，，，所以，所以在中?（2）因?yàn)?，在中，由正弦定理可得，即，由余弦定理得：，即，解得或（大邊?duì)大角，舍去）故的周長(zhǎng)為.18．（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而求出的大小；（2）依題意可化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍求出的取值范圍即可.（1）因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?（2）由（1）知.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?19．（2022·河北·河北容城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，(1)求角A的大小；(2)請(qǐng)?jiān)冖佗趦蓚€(gè)條件任選一個(gè)，求的面積.（如果分別選擇多個(gè)條件進(jìn)行解答.按第一個(gè)解答過(guò)程計(jì)分）【答案】(1);(2)選①，選②.【分析】（1）根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）選①由正弦定理求出a,再由余弦定理求出c,利用三角形面積公式求解；選②直接由余弦定理求出c，再由三角形面積公式求解.【詳解】（1）由可得：，即，即，因?yàn)椋?，所以，?.（2）選①：，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即，解得(負(fù)值舍)，所以.選②：，由余弦定理可得，即，解得，所以.20．（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）已知在△中，，的角平分線與相交于點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，求△面積的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在△中由余弦定理求得，再在△△中由正弦定理結(jié)合即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)△的面積為△△的面積之和，求得，再結(jié)合三角形面積公式和基本不等式即可求得三角形面積的最小值.(1)因?yàn)椋?，利用余弦定理可得：，故，在中，，在中，，兩式相除可得，又，所?(2)根據(jù)題意得△的面積等于△的面積與的面積之和，又，，所以，整理得：又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，則，所以，故△面積的最小值為．21．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：先用正弦定理化邊為角，再用正弦公式化簡(jiǎn)，即可求得的值，最后結(jié)合三角形角的范圍即可求得結(jié)果；法二：先用余弦定理對(duì)化角為邊，化簡(jiǎn)后再用余弦定理化邊為角，即可求得的值，再結(jié)合三角形角的范圍即可求得結(jié)果；（2）法一：設(shè)，先用正弦定理化角為邊，結(jié)合輔助角公式，即可得到關(guān)于的函數(shù)，討論最大值即可；法二：用余弦定理化角為邊，結(jié)合基本不等式得到關(guān)于的不等式，最后討論最大值及其成立的條件.【詳解】（1）法一：∵，由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.法二：∵，由余弦定理得：，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，而四邊形內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一：設(shè)，則，由正弦定理得：，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二：在中，，，由余弦定理得：，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.22．（2022·河北·石家莊二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積.(1)求角A的值；(2)延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)即得解；（2）設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解.(1)解：由題得.因?yàn)?(2)解：如圖，設(shè)，在中，由余弦定理得，（1）在中，由余弦定理得，即，（2），（1）（2）得.所以△ABC的周長(zhǎng)為.所以△ABC的周長(zhǎng)為.23．（2022·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃╀J角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D為AB的中點(diǎn)，求中線CD的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)可得出，結(jié)合角為銳角可求得結(jié)果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出，利用正弦定理結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得解【詳解】（1）由，，，，，．（2），，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，,則，．24．（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D為AC的中點(diǎn)，②BD為∠ABC的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)條件可得，從而求出；（2）選擇條件①：利用向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算；選擇條件②：利用面積關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；(1)（1）由正弦定理得，.因?yàn)?，所以，所以，?又，則，所以.(2)（2）選擇條件①：因?yàn)?，所以，?選擇條件②：因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，所以，則，解得.25．（2022·河北張家口·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求角A的大??；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，角化邊，結(jié)合余弦定理求得，即可得答案;（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,從而求得三角形周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1）由正弦定理，得,即，由余弦定理得，，又，所以.（2）由和（1）可知，則，得，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)），所以周長(zhǎng)的最大值為.26．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△中，已知D是邊上一點(diǎn)，且，，，．(1)求的值；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知及正弦定理可得，再結(jié)合二倍角正弦公式、平方關(guān)系求值即可.（2）首先求的值，再在△中應(yīng)用余弦定理求的長(zhǎng).(1)在△中，由正弦定理得，①在△中，由正弦定理得，②又，，則，，①②得．(2)由（1），設(shè)，，．在△中，由余弦定理得，即，解得．所以．27．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)在上，.(1)若為中線，求的面積；(2)若平分，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可求得，進(jìn)而可得出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可求得，進(jìn)而可求出，可知為等腰三角形，再利用余弦定理可求得.(1)解：由余弦定理得，，解得（負(fù)值舍）.所以，，故.(2)解：由正弦定理得，即，解得.又，則，，.又平分，則.所以，，則，故.由余弦定理得.因此，.28．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在銳角中，內(nèi)角A，B，C