人大四版微積分第5章不定積分

第五章不定積分§5.1、不定積分的概念§5.2、不定積分的性質(zhì)§5.3、基本積分公式§5.4、換元積分法§5.5、分部積分法§5.6、綜合雜例§5.1不定積分的概念一、原函數(shù)二、不定積分的概念三、不定積分的幾何意義一、原函數(shù)例定義5.1原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量定義5.2原函數(shù)二、不定積分的概念三、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐標(biāo)處,任一曲線的切線有相同的斜率.0xy在同一性質(zhì)1

求不定積分與求導(dǎo)數(shù)（或微分）互為逆運(yùn)算

§5.2不定積分的性質(zhì)§5.3基本積分公式利用積分性質(zhì)和基本積分公式能計(jì)算的不定積分是非常有限的．因此，有必要進(jìn)一步研究其它的積分法則，本節(jié)把復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反過來用于不定積分，而得到一種基本的積分法，稱為換元積分法．利用這種方法通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，可以把某些不定積分化為積分公式表中所列的積分，從而達(dá)到計(jì)算的目的.換元積分法有兩種類型，下面分別進(jìn)行介紹．§5.4不定積分的換元積分法特征：第一類換元公式（湊微分法）可導(dǎo),則有設(shè)具有原函數(shù),第一類換元積分法？例1.求不定積分解：例2.求不定積分解：例3.求不定積分解：例4.求不定積分解：因?yàn)轭愃?，原?由

類似，第二換元積分法有根式解決方法消去根式,困難即則回代根據(jù)被積函數(shù)f(x)形式，選擇不同的變量代換，如：第二種換元積分法

1.根式換元法當(dāng)被積函數(shù)中含簡單根式例題：2.三角換元法一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令例4.求下列積分解令輔助三角形

回代例5.求不定積分例6.求不定積分復(fù)習(xí)上節(jié)推導(dǎo)的8個(gè)常用的積分公式新課引入（A)一.求下列不定積分：解：（公式法）（湊微分法）(公式法與湊微分法都不能直接運(yùn)用)§5.5分部積分法析：轉(zhuǎn)化新課講授一.分部積分公式：二.關(guān)鍵：恰當(dāng)選取u和確定v.如何選取u:(反對冪三指)根據(jù)反對冪三指法，f(x)與g(x)誰排前面就選誰為u.使用分部積分公式，若選f(x)=u,則v≠g(x)注：而v'=g(x).例題與練習(xí)(A)例1.求下列不定積分解：解：解：例題與練習(xí)(A)練習(xí)1.求下列不定積分解：常用解題技巧(Ⅰ)多次使用分部積分法則解：(B)練習(xí).求(B)例5.常用解題技巧(Ⅱ)還原法(C)例6.解：(C)練習(xí)：Ⅲ與換元法相結(jié)合(C)練習(xí).求不定積分解：常用解題技巧(C)§5.6綜合雜例

一、有理函數(shù)的不定積分二、分段函數(shù)的原函數(shù)三、其它例子多項(xiàng)式函數(shù):有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式例如：一、有理函數(shù)的積分例如：解：例1.求不定積分解：例2.求不定積分有理函數(shù)多項(xiàng)式+真分式任一有理真分式在在實(shí)數(shù)域內(nèi)，均可唯一分解成下面四種部分分式之和：分解若這四種部分分式的積分可以解決，有理函數(shù)積分就解決了.若有理真分式分母中含有因式那么分式中含有若有理真分式分母中含有因式那么分式中含有說明

通常所說的“求不定積分”，是指怎樣用初等函數(shù)把這個(gè)不定積分（或原函數(shù)）表示出來，在這種意義下，并不是任何初等函數(shù)的不定積分都能“求出”來的.如換句話說,這些不定積分的結(jié)果已不再是初等函數(shù),數(shù)學(xué)上講，“初等函數(shù)集合對不定積分運(yùn)算不封閉”.二、分段函數(shù)