于英建筑力學(xué)19-平面匯交力系合成與平衡的解析法1

建筑力學(xué)第二章第二節(jié)平面匯交力系的解析法合肥鐵路工程學(xué)校機(jī)電教研室10/31/20231平面匯交力系合成與平衡的解析法

溫故知新學(xué)習(xí)探究知識(shí)強(qiáng)化課堂延伸提綱挈領(lǐng)一、力在坐標(biāo)軸上的投影二、合力投影定理三、用解析法求匯交力系的合力10/31/20232本節(jié)課需要解決的問(wèn)題:1、如何計(jì)算力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影2、掌握合力投影定理3、用解析法求匯交力系的合力10/31/20233第二章平面匯交力系第二節(jié)合成與平衡的解析法

10/31/20234一、知識(shí)回顧1、兩個(gè)匯交力的合成方法力的三角形法則2、多個(gè)匯交力的合成方法？力的多邊形法則10/31/20235F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcde多個(gè)匯交力的合成10/31/20236F2作業(yè)：課本31頁(yè)習(xí)題1:已知F1=50N，F(xiàn)2=30N，F(xiàn)3=60N，F(xiàn)4=100N，確定合力。20Nae=3.67cmFR=20×3.67=73.4N1cmFRedcbaF3F4F1yxF3F2F1F4合力與水平的角度是82度10/31/20237一、知識(shí)回顧3、平面匯交力系平衡的幾何條件充要條件是:該力系的力多邊形自行封閉4、幾何法解題有什么優(yōu)缺點(diǎn)？不需數(shù)學(xué)知識(shí)，作圖要求精度高，有誤差10/31/20238在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱為自行封閉的力多邊形。平面匯交力系平衡的必要與充分的條件是:該力系的力多邊形自行封閉，

這是平衡的幾何條件。平面匯交力系平衡的幾何條件F1F2F3F4abcde力系平衡10/31/20239F3F2F1F4AF1F2F3F4F5abcdeabcdeF1F2F4F3F5多個(gè)匯交力的合成---力的多邊形力的多邊形自行封閉（幾何法）求解匯交力系的平衡問(wèn)題比較繁瑣，誤差大，下面要學(xué)習(xí)一種更簡(jiǎn)單而精確的方法---解析法10/31/202310A數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)：簡(jiǎn)單三角函數(shù)CB對(duì)邊鄰邊鄰邊我是老大斜邊三角函數(shù)定義對(duì)邊=?鄰邊=?10/31/202311課堂小練習(xí)：求三角函數(shù)ACB34510/31/202312數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)：勾股定理ACB34510/31/202313課堂小練習(xí)：求AC、BCACB1010/31/202314一、力在坐標(biāo)軸上的投影10/31/202315生活中的投影10/31/202316平行光線照射下物體的影子xyo一、力在坐標(biāo)軸上的投影ab就是物體在x軸上的投影xyo力在x軸上的投影10/31/202317xyo(起點(diǎn)）a′b′（終點(diǎn)）FBAabFXFY一、力在坐標(biāo)軸上的投影力F在平面直角坐標(biāo)軸上的投影定義為：在力F的兩端向兩個(gè)坐標(biāo)軸分別引垂線，得垂足

。線段ab和線段a′

b′加上正負(fù)號(hào)就是力在x、y軸上的投影

。投影的符號(hào)（正負(fù)）規(guī)定為：由起點(diǎn)a到終點(diǎn)b的指向與坐標(biāo)軸正方向一致時(shí)為投影正，反之投影為負(fù)。FX>0FY<0力在坐標(biāo)軸上的投影是個(gè)代數(shù)量。10/31/202318第一象限第四象限第三象限第二象限力的方向：指向右上方X軸投影符號(hào)：正“+”Y軸投影符號(hào)：正“+”力的方向：指向左上方X軸投影符號(hào)：負(fù)“-”Y軸投影符號(hào)：正“+”力的方向：指向左下方X軸投影符號(hào)：負(fù)“-”Y軸投影符號(hào)：負(fù)“-”力的方向：指向右下方X軸投影符號(hào)：正“+”Y軸投影符號(hào)：負(fù)“-”XY投影正負(fù)號(hào)的判定根據(jù)力，只看方向，不看位置判斷力是第幾象限，從而確定投影的正負(fù)號(hào)X軸的投影：力向右為正，力向左為負(fù)Y軸的投影：力向上為正，力向下為負(fù)10/31/202319力的投影和力的分力之間的關(guān)系FxyFxFyabOabFFxFyxyO力的投影沒(méi)有方向，力的分力有方向。在直角坐標(biāo)系中，力的投影和力的分力絕對(duì)值相同。力的投影力的分力10/31/202320FYxyoa′b′FXαFBAab

Fx=FcosαFy=-FsinαF=√Fx2Fy2+tanα=FxFy注意：1、力的投影為代數(shù)量2、在直角坐標(biāo)系下，投影的絕對(duì)值等于分力的大小3、若分力指向軸的正向，則投影為正4、α是力F與水平方向的夾角FXFY力在坐標(biāo)軸上的投影已知F和α，求投影已知投影，求F和α10/31/202321FxyFxFyabO注意投影的正負(fù)力的投影的計(jì)算公式---知道力求投影AB在直角三角形

ABF

中，AB

等于Fx，BF

等于Fyb結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的大小乘以力與該軸正方向間夾角的余弦。公式（2-5）10/31/202322FxyFxFyabO力的投影的計(jì)算公式---知道投影求力AB在直角三角形

ABF

中，AB

等于Fx，BF

等于Fy，力是斜邊b結(jié)論：式中α表示力與

x

軸間所夾的銳角。力的指向由投影Fx、Fy的正負(fù)號(hào)用圖判定。公式（2-6）10/31/202323例題1:已知F1=100N，F(xiàn)2=150N,F3=F4=200N，各力方向如圖所示。試分別求各力在x軸和y軸上投影。，，10/31/202324【解】知道力求投影，根據(jù)公式α:力與

x

軸間所夾的銳角。10/31/202325力的投影計(jì)算，在力學(xué)計(jì)算中應(yīng)用非常普遍，必須熟練掌握?！窘狻?0/31/202326總結(jié)1.不變性：力進(jìn)行平移，投影不變2.等大性：當(dāng)力平行某坐標(biāo)軸時(shí)，力在該軸上的投影為力本身的大小3.為零性：力垂直于某坐標(biāo)軸時(shí)，力在該坐標(biāo)軸上的投影為零力的投影的性質(zhì)（重點(diǎn)內(nèi)容）10/31/2023271.建立直角坐標(biāo)系，確定力F所在象限以及跟X軸的夾角α（0°≤α≤90°）2.根據(jù)力的方向，判斷投影的正負(fù)號(hào)3.運(yùn)用計(jì)算公式力的投影的計(jì)算思路如下：

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα總結(jié)10/31/202328【投影課堂練習(xí)】

試分別求各力在x軸和y軸上投影。已知F1=100N，F(xiàn)2=200N,F3=300N,F4=F5=150N，各力方向如圖所示。，，XY60°60°45°F1F5F4F3F210/31/202329二、合力投影定理10/31/202330證明：以三個(gè)力組成的共點(diǎn)力系為例。設(shè)有三個(gè)共點(diǎn)力F1、F2、F3

如圖。AF2F1(a)F3F1F2FRF3xABCD(b)

合力在坐標(biāo)軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。二、合力投影定理力多邊形x軸投影公式（2-7）10/31/202331合力FR在x軸上投影：F1F2FRF3xABCD(b)推廣到任意多個(gè)力F1、F2、……Fn

組成的平面匯交力系，可得：各力在x

軸上投影：即：abcd證明完畢10/31/202332三、用解析法求匯交力系的合力10/31/202333當(dāng)應(yīng)用合力投影定理求出力系合力的投影Fx、Fy后，可用下式求出合力的大小和方向式中表示合力F與

x

軸間所夾的銳角。合力指向由

的正負(fù)號(hào)用圖判定。這種運(yùn)用投影求合力的方法，稱為解析法。公式（2-8）三、用解析法求匯交力系的合力10/31/202334例題2：課本29頁(yè)例題2-2：求合力的大小和方向已知F1=10KN，F(xiàn)2=20KN，F(xiàn)3=25KNF1F2F310KNaF2bF1cF3dFR用尺子測(cè)量，根據(jù)比例尺可得合力為44KN。合力與水平線的夾角用量角器測(cè)得為22度。回顧：用幾何法求合力10/31/202335例題2：課本29頁(yè)例題2-2：求合力的大小和方向已知F1=10KN，F(xiàn)2=20KN，F(xiàn)3=25KNxF1F2F3F2F1F3學(xué)習(xí)：用解析法求合力①作出受力圖，建立坐標(biāo)系yo②求出三個(gè)力在坐標(biāo)軸上的投影10/31/202336例題2：xF2F1F