八年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）第3章 勾股定理 單元測試（含解析）

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【要點(diǎn)回顧】

【知識點(diǎn)1】勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.（即：）

【知識點(diǎn)2】勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a、b、c，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

【知識點(diǎn)3】勾股數(shù)

滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A．B．C．D．

2．如圖所示，一文物被探明位于點(diǎn)地下處，由于A點(diǎn)地面下有障礙物，考古人員不能垂直下挖，他們從距離點(diǎn)的B處斜著挖掘，那么要找到文物至少要挖（）米

A．14B．48C．50D．60

3．如圖，陰影部分是一個(gè)半圓，則這個(gè)半圓的面積是（）．

A．B．C．D．

4．《九章算術(shù)》中有一題：今有開門去閫十寸，不合二寸，問門廣幾何？大意是：如圖，從點(diǎn)（是的中點(diǎn)）處推開雙門，點(diǎn)與點(diǎn)距離門檻的距離，都為10寸，雙門間隙，的距離為2寸（即為2寸），根據(jù)題意可列出的等式關(guān)系是（）．

A．B．

C．D．

5．如圖，以和b為兩直角邊作，再在斜邊上截取，則的長是下列哪一個(gè)關(guān)于x的方程的根（）

A．B．C．D．

6．如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個(gè)由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門鈴5m及5m以內(nèi)時(shí)，門鈴就會(huì)自動(dòng)發(fā)出語音“歡迎光臨”．如②圖所示，一個(gè)身高1.5m的學(xué)生走到D處，門鈴恰好自動(dòng)響起，則BD的長為（）

A．3米B．4米C．5米D．7米

7．傳說，古埃及人常用“拉繩”的方法畫直角，有一根長為m的繩子，古埃及人用這根繩子拉出了一個(gè)斜邊長為n的直角三角形，那么這個(gè)直角三角形的面積用含m和n的式子可表示為（）

A．B．C．D．

8．如圖，A，B兩地距公路l的距離分別為AC、BD，BD＝4km，小華從A處出發(fā)到公路l上的點(diǎn)P處取一物品后去到B處，全程共18km，已知PC＝5km，PD＝3km，則A處距離公路l(AC)（）

A．13kmB．12kmC．8kmD．8km

9．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如圖方式擺放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一條直線上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，MN的長度不可能是（）

A．9B．12C．14D．16

10．圖，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點(diǎn)在C點(diǎn)處，B村莊的土地灌溉點(diǎn)在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點(diǎn)建一水站E，使得水站E分別到灌溉點(diǎn)C與灌溉點(diǎn)D的距離之和最短，最短距離是（）

A．10B．17C．14D．13

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則AB2+AC2+BC2＝．

12．已知某直角三角形的一條直角邊和斜邊長分別為和．

（1）該直角三角形的另一直角邊長為________；

（2）該直角三角形斜邊上的高為________．

13．如圖，某處有一塊長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，僅僅少走了米．

14．如圖，在，，以的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，P是上一點(diǎn)，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則四邊形的面積等于．

15．若Rt△ABC兩直角邊上的中線分別是AE和BD，則AE2+BD2與AB2的比值是．

16．如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高的端點(diǎn)A到達(dá)，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離為．

17．如圖，在筆直的公路旁有一個(gè)城市書房C，C到公路的距離為80米，為100米，為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會(huì)使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．

18．到目前為止，勾股定理的證明已超過種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個(gè)直角三角形如圖擺放，已知，點(diǎn)F落在上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，斜邊與斜邊交于點(diǎn)M，連接，，若，，則四邊形的面積為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19．（8分）如圖，一架梯子AB長5m，斜靠在一面豎直的墻上．若要使梯子頂端離地面的豎直高度AC為4.8m，求此時(shí)梯子底端離墻的距離BC．

20．（8分）如圖，點(diǎn)O是位于東西海岸線的一個(gè)港口，A，B兩艘客輪從港口O同時(shí)出發(fā)，A客輪沿北偏東75°航行，航速是每小時(shí)18海里，B客輪沿北偏西15°方向航行，航速是每小時(shí)24海里，請計(jì)算3小時(shí)之后兩客輪之間的距離．

21．（10分）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶，曾經(jīng)提出用三角形的三邊求面積的秦九韶公式．他的方法大致如下：如圖，給定一個(gè)三角形，三邊分別為，，，過點(diǎn)作于，為，的公共邊，則可以利用這個(gè)等量關(guān)系，運(yùn)用勾股定理建立方程，求出，再求出高，從而求出三角形的面積．

請你用這一方法，解決下列問題：

已知，，，，求的面積．

22．（10分）教版八年級上冊課本第85頁中有下面這道題：

小明同學(xué)按照下面的方法解決了這個(gè)問題：

如圖，過點(diǎn)A作，延長至D，使，連接，交直線l于點(diǎn)C，連接，此時(shí)最短，根據(jù)對稱可知：，∴此時(shí)最短．

請你幫助小明解決如下問題：過點(diǎn)B作，垂足為F，若米，米，米，求的長．

23．（10分）問題情境：

勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法．下面利用拼圖的方法探究證明勾股定理．

定理表述：

（1）請你結(jié)合圖1中的直角三角形，敘述勾股定理（可以選擇文字語言或符號語言敘述）；

嘗試證明：

（2）利用圖1中的直角三角形可以構(gòu)造出如圖2的直角梯形，請你利用圖2證明勾股定理．

定理應(yīng)用：

（3）某工程隊(duì)要從點(diǎn)A向點(diǎn)E鋪設(shè)管道，由于受條件限制無法直接沿著線段鋪設(shè)，需要繞道沿著矩形的邊和鋪設(shè)管道，經(jīng)過測量米，米，已知鋪設(shè)每米管道需資金1000元，請你幫助工程隊(duì)計(jì)算繞道后費(fèi)用增加了多少元？

24．（12分）

請閱讀《三角板中的學(xué)問》，并完成以下問題：

三角板中的學(xué)問

直角三角板是我們學(xué)習(xí)中常用的作圖工具，我們知道一副直角三角板中，一個(gè)三角板是等腰直角三角形，另一個(gè)直角三角板有一個(gè)銳角為，且角所對的直角邊是斜邊的一半．

數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們在活動(dòng)中進(jìn)行了量一量、拼一拼的活動(dòng)．

填空：如圖①，希望小組的同學(xué)們量出的直角三角板最短直角邊為，則較長直角邊約為．

探究一：智慧小組把一副直角三角形按如圖②所示方式疊放在一起，，與交于點(diǎn)F，求的度數(shù)并說明理由．

探究二：創(chuàng)新小組把一副直角三角形按如圖③所示方式疊放在一起，，求的度數(shù)并說明理由．

參考答案

1．D

【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解．

解：A、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、，不是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、，是“勾股數(shù)”，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．

2．C

【分析】根據(jù)題意，，根據(jù)勾股定理即可求解．

解：∵，，

∴

故選：C．

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

3．B

【分析】根據(jù)圖中的直角三角形中已知斜邊與一條直角邊，求出直徑，計(jì)算圓的面積即可．

解：由圖中直角三角形中：斜邊，一條直角邊，根據(jù)勾股定理可得：

，

這個(gè)半圓的面積

故選：B．

【分析】本題考查了勾股定理及圓的面積計(jì)算，關(guān)鍵是掌握勾股定理所揭示的直角三角形邊長之間關(guān)系和圓的面積公式．

4．C

【分析】在中，用含有的式子表示，根據(jù)勾股定理列出等式關(guān)系即可．

解：由題意得：，，

寸，寸，

寸，

在中，由勾股定理得：

，

即，

故選：C．

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理清楚題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．

5．A

【分析】設(shè)，利用勾股定理得出答案．

解：設(shè)，

根據(jù)勾股定理得：，

整理得：，

故選：A．

【分析】本題考查了勾股定理，利用勾股定理列出式子是解題的關(guān)鍵．

6．B

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．

解：由題意可知．，，

由勾股定理得，

故離門4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好打開．

故選：B．

【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，解題的關(guān)鍵是善于觀察題目的信息．

7．A

【分析】設(shè)這個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，根據(jù)三角形的周長以及勾股定理得出方程組，利用完全平方公式求出2ab=（a+b）2-（a2+b2）=m2-2mn，兩邊除以4即可求出這個(gè)直角三角形的面積．

解：設(shè)這個(gè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，

由題意可得，，

∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=（m-n）2-n2=m2-2mn，

∴這個(gè)直角三角形的面積=ab=，

故選：A．

【分析】本題考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．也考查了完全平方公式，三角形的周長與面積．

8．B

【分析】由題意根據(jù)勾股定理先求出BP，進(jìn)而得出AP并根據(jù)勾股定理即可得出AC的長.

解：∵，,

∴,

∵，

∴，

∵，

∴.

故選：B.

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理即進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

9．D

【分析】當(dāng)MN⊥BC時(shí)最短;當(dāng)M在點(diǎn)A,N在點(diǎn)C時(shí),MN最長,利用勾股定理計(jì)算即可;

解：解:當(dāng)MN⊥BC時(shí)

MN最短=AB=AE+BE=4+5=9

當(dāng)M在點(diǎn)A，N在點(diǎn)C時(shí),

MN最長===15

∴9≤MN≤15

故答案選D

【分析】本題考查了兩條平行線之間的距離以及勾股定理,識別出MN最短情況和最長情況是解題的關(guān)鍵．

10．D

【分析】作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，連接，交于E，過點(diǎn)D作，交的延長線于F，再根據(jù)勾股定理求解即可．

解：作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，連接，交于E，過點(diǎn)D作，交的延長線于F，

∴，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

在中，

∵，

∴，

∴，

故選：D．

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，能夠根據(jù)題意找出點(diǎn)E是解題的關(guān)鍵．

11．50

【分析】根據(jù)∠C的度數(shù)確定△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，再根據(jù)勾股定理即可求解．

解：∵△ABC中，∠C=90°，

∴△ABC為直角三角形，且AB為斜邊．

∵AB=5，

∴．

故答案為：50．

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

12．；

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出直角三角形的另一條直角邊；（2）根據(jù)面積相等求出斜邊上的高即可．

解：（1）由勾股定理可得另一直角邊長為；

（2）設(shè)該直角三角形斜邊上的高為，

根據(jù)面積相等可得，

解得：．

故答案為：（1）；（2）．

【分析】本題考查了勾股定理的逆應(yīng)用和求三角形的高，正確計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．

13．4

【分析】利用勾股定理求出的長即可得到答案．

解：∵在中，，

∴，

∴，

∴僅僅少走了4米，

故答案為：4．

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．

14．18.5

【分析】先求出的邊長，再利用進(jìn)四邊形的面積解題即可得到答案．

解：正方形和正方形的面積分別為，，且，，

正方形的面積

,

四邊形的面積

故答案為：．

【分析】本題考查了勾股定理，正確掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

15．5：4

【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再將等式變形為：AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得CD2+CE2=AB2，進(jìn)而可求解．

解：如圖，∠C=90°，

由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，

①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2，

∵AE，BD是△ABC的中線，

∴CD=AC，CE=BC，

∴CD2+CE2=（AC）2+（BC）2=AB2，

∴AE2+BD2=AB2+AB2=AB2，

即AE2+BD2與AB2的比值是5：4．

故答案為：5：4．

【分析】本題主要考查勾股定理，三角形的中線，靈活運(yùn)用勾股定理解題是求解的關(guān)鍵．

16．

【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．

解：∵圓柱底面圓的周長為，高為5，

∴將側(cè)面展開為一長為12，寬為5的矩形，

如圖，則：，

∴；

即：螞蟻爬行的最短距離為13．

故答案為：．

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是將幾何體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解．

17．70

【分析】如圖，設(shè)米，由勾股定理求出和的長，則可求出答案．

解：如圖，設(shè)米，

∵，米，

∴（米），

∵米，米，

∴（米），

∴（米），

∴公交車鳴笛聲會(huì)受到噪音影響的時(shí)間為（秒），

故答案為：70．

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

18．53

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)四邊形的面積等于的面積與的面積的和，列出算式計(jì)算即可求解．

解：∵，

∴，，

∴．

故答案為：．

【分析】本題考查了勾股定理的證明，關(guān)鍵是求出，，以及由圖形得到四邊形的面積等于的面積與的面積的和．

19．此時(shí)梯子底端離墻的距離為1.4m．

【分析】利用勾股定理解答即可．

解：∵△ABC是直角三角形，

∴

答：此時(shí)梯子底端離墻的距離為1.4m．

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2；即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

20．90海里

【分析】根據(jù)題意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解．

解：根據(jù)題意得：∠AOB=75°+15°=90°，

OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），

根據(jù)勾股定理得：海里，

即3小時(shí)之后兩客輪之間的距離90海里．

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

21．的面積為84

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理可以列出相應(yīng)的方程，然后求出BD的長，再求出AD的長，即可計(jì)算出△ABC的面積．

解：設(shè)BD的長為x，則CD的長為14-x，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°

∴AD2=AB2-BD2

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