2023-2024學(xué)年廣東省東莞重點(diǎn)中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省東莞重點(diǎn)中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=3A.10 B.10 C.5 D.2.已知直線l1：y?3=2(x?A.(0,1) B.(0,3.已知向量a=(0,1,1)，bA.(0,?1,?1) 4.設(shè)點(diǎn)M為不在坐標(biāo)平面上的點(diǎn).若點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)平面Oxz的對(duì)稱點(diǎn)記為M1，M1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M2，則MA.x軸 B.y軸 C.z軸 D.以上都不對(duì)5.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點(diǎn)MA.12a?23b+126.古代城池中的“甕城”，又叫“曲池”，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢(shì).如下圖的“曲池”是上、下底面均為半圓形的柱體.若AA1⊥面ABCD，AA1=3，AB=4，CD=A.39921 B.27321 C.7.如圖，已知二面角α?l?β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直與棱l.若AB=

A.π6 B.π4 C.π38.設(shè)x>0，y>0，則A.2 B.3 C.6二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知平面α過點(diǎn)A(1,?1,2)A.(2,3,3) B.(10.已知單位向量e1，e2，e3兩兩垂直，且e1，e2，e3不共面.設(shè)a=2A.a⊥b B.b/?/c

C.b，c所成角為鈍角 D.11.如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，

A.OM⊥AP

B.存在點(diǎn)M，使OM/?/平面SBC

C.存在點(diǎn)M，使直線OM與AB

12.已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的底面為正方形，AA.當(dāng)m=12時(shí)，三棱錐P?ACD1的體積為定值

B.當(dāng)n=12時(shí)，三棱錐P?ACD1的體積為定值

C.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線l的方向向量n=(2,?214.已知單位向量e1，e2，e3兩兩夾角為60°，且e1，e2，e3不共面.若a=e15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，16.如圖，點(diǎn)M，N分別為正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AA1，BB1的中點(diǎn)，以正方體的六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)八面體，若平面四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，斜率為2．

(1)求直線l1的截距式方程．

(2)若直線l2與l18.(本小題12.0分)

如圖，已知一個(gè)組合體由一個(gè)圓錐PAB與一個(gè)圓柱OO1構(gòu)成(圓錐底面與圓柱上底面重合.平面ABCD為圓柱的軸截面)，已知圓錐高為3，圓柱高為5，底面直徑為8．

(1)求這個(gè)組合體的體積；

(2)19.(本小題12.0分)

為了調(diào)查某學(xué)校高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況.采用分層抽樣的方式從高二年級(jí)抽取n人參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽.已知該校高二年級(jí)男女生的人數(shù)比為1：2(男生：女生).分層抽樣中共抽取了20名男生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，他們的分?jǐn)?shù)記為xi(i=1,2,3…20)，數(shù)據(jù)xi分別為：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，8，8，9(參考數(shù)據(jù)：i=120xi=120，20.(本小題12.0分)

如圖，已知正方形ABCD所在平面與等腰直角三角形EAB所在平面相互垂直.以AE為直徑，在平面EAB內(nèi)作半圓(半圓位于EA的左側(cè)).點(diǎn)F為弧AE上的一點(diǎn)．

(1)證明：EF21.(本小題12.0分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°．

(1)設(shè)E為CD中點(diǎn)，證明：平面PCD⊥平面P22.(本小題12.0分)

在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若AB?AC+2BA?BC=答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．

【解答】

解：(1+i)z=3+i，

∴(1?i)2.【答案】D

【解析】解：直線l1：y?3=2(x?2)可化為y=2x?1，

3.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【解答】

解：a=(0,1,1)，b=(1,1,0)，

則4.【答案】D

【解析】解：設(shè)M(x,y,z)，

點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)平面Oxz的對(duì)稱點(diǎn)記為M1，

故M1(x,?y,z)，

M1關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M2，5.【答案】B

【解析】【分析】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，把OA，OB，OC三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將【解答】

解：由題意

MN=MA+AB+BN

=13OA+OB6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，則AA1⊥AB，

由題意可以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，平面ABCD內(nèi)垂直于AB的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(0,3,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,3)，

B1(0,4,3)，C1(0,3,3)，D17.【答案】C

【解析】解：過A在面β內(nèi)作AE⊥l，過D作DE/?/l，AE，DE交于E，

由BD⊥l且BD?β，故AE//BD且AE=BD，又AC⊥l，AC?α，α∩β=l，

所以平面α與平面β的夾角為∠CAE，且ABDE為矩形，即DE⊥AE，

由DE/?/l，則DE⊥AC，又AC∩AE=A，AC，AE?面CAE，則DE⊥8.【答案】C

【解析】解：當(dāng)x>0，y>0時(shí)，

令u=x2?3x+3+y2?3y+3+x2?3xy+y2，

則u=x2+(3)2?2×3xcos30°+y2+(3)2?2×3ycos30°+x2+y29.【答案】BC【解析】【分析】本題考查點(diǎn)是否在平面內(nèi)的判斷，考查平面的法向量的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解．【解答】

解：由平面α過點(diǎn)A(1,?1,2)，其法向量n=(2,?1,2)，

對(duì)于A，(2,3,3)?(1,?1,2)=(1,4,1)，

(2,?1,2)?(1,4,1)=2?4+2=0，

∴點(diǎn)(10.【答案】AC【解析】解：∵單位向量e1，e2，e3兩兩垂直，

∴e1?e2=e1?e3=e2?e3=0，

∴a?b=(2e1+e2+3e3)?(e1+e2?e3)=2e12+e22?3e32=2+1?3=0，

∴a⊥b，故A正確；

設(shè)b=λc，11.【答案】AB【解析】【分析】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷A、C、D【解答】

解：四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，

SA=AB，O，P分別是AC，SC的中點(diǎn)，M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)SA=AB=2，則A(0,0,0)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，P(1,1,1)，

D(0,2,0)，S(0,0,2)，O(1,1,0)，

由M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M(0,λ,2?λ)，(0≤λ≤2)，

∵AP=(1,112.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A，設(shè)QQ，RR分別為ABAB，C1D1的中點(diǎn)，連結(jié)QR，則QR//AD1，

又QR?面ACD1，AD1?面ACD1，∴QR//平面ACD1．

∵AP=mAB+nAD1，其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，當(dāng)m=12時(shí)，點(diǎn)P在線段QR上運(yùn)動(dòng)，

而QR/?/平面ACD1，則點(diǎn)PP到面ACD1的距離為定值，而△ACD1的面積為定值，

因此三棱錐P?ACD1的體積為定值，故A正確；

對(duì)于B，連結(jié)BC1，設(shè)M，N分別為AD1，BC1的中點(diǎn)，連結(jié)MN，則MN//AB．

∵AP=mAB+nAD1，其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，當(dāng)n=12時(shí)，

點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，△ACD1的面積為定值，P到平面ACD1的距離不定，

則三棱錐P?ACD1的體積不定，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，連結(jié)BD1，則由m+n=1，可知B，P，D1三點(diǎn)共線，故點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)．

連結(jié)CD1，將△BCD1翻折到平面ABD1內(nèi)，得到四邊形ABC′D1，

其中AB=BC′=1，AD1=C′D1=2，AB⊥C′D1，BC′⊥C′D1，連接AC′，如圖1，∴AC′⊥BD1，AC′=4513.【答案】2π【解析】解：由于直線l的方向向量n=(2,?23)，則直線l的斜率為?232=?3，

14.【答案】0

【解析】解：由題意，|e1|=|e2|=|e3|=1，

<e115.【答案】30【解析】解：連接B1D1，C1E，AF，EF，在平面AEF中，作FH⊥AE，H為垂足，

∵E，F(xiàn)分別為DD1，BB1的中點(diǎn)，

∴D1E=BF，D1C1=AB，∴Rt△?D1EC1≌Rt△FBA，

∴EC1=AF，同理，F(xiàn)C1=AE，∴四邊形AFC1E是平行四邊形，

∴FC1/?/AE，∴FH即為直線16.【答案】111【解析】解：如圖，

連結(jié)PR，QT，交于點(diǎn)O，連結(jié)OK，

設(shè)OR=1，以O(shè)為原點(diǎn)，OR為x軸，OT為y軸，OK為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則G為PK的三等分點(diǎn)，P(?1,0,0)，R(1,0,0)，Q(0,?1,0)，

T(0,1,0)，K(0,0,1)，H(0,?12,12)，I(0,12,12)，G(?13,0,23)，

HI=(0,1,0)17.【答案】解：(1)直線l1經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，斜率為2，

則y?1=2(x?1)，即y=2x?1，

則截距式為x12+y?1=1；

(2【解析】(1)由已知結(jié)合點(diǎn)斜式方程即可求解；

(2)結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系可求18.【答案】解：(1)依題意，圓錐的底面圓半徑為4，而其高為3，

則圓錐的體積V1=13π×42×3=16π，

圓柱的底面圓半徑為4，高為5，

則圓柱的體積V2=π×42×5=80π，

所以這個(gè)組合體的體積為V1+V2=16π+80π=96π；

(2)連接FC，F(xiàn)D，F(xiàn)O′，由F為半圓弧CD的中點(diǎn)，

得FC=FD，F(xiàn)O⊥DC，而AD⊥平面FDC，F(xiàn)O?平面FDC，

則【解析】(1)利用圓錐、圓柱體積公式計(jì)算即可．

(2)先根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)可得F?PA19.【答案】解：(1)依題意，男生數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)x?=120i=120xi=120=6，

所以男生數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的方差s2=120i=120xi2?x?2=120×788?62=3.4，

由男生與女生的人數(shù)比為1：2，而男生人數(shù)為20，則女生人數(shù)為40，總?cè)藬?shù)為60，

顯然女生的總分為60×4?120=120，

所以女生數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的平均分為120÷40=3，

樣本中，數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽優(yōu)秀的男生有6人，其中分?jǐn)?shù)為8分的有5人，記這5人為a，b，c，d，e，記分?jǐn)?shù)為9分的1人為F，

從6人中任意抽取2人的結(jié)果有：ab，a【解析】(1)利用給定數(shù)據(jù)，結(jié)合方差的定義計(jì)算即得；(2)利用平均數(shù)的定義直接列式計(jì)算得解；20.【答案】解：(1)證明：∵平面ABCD⊥平面EAB，且兩平面的交線為AB，

AD?平面ABCD，AD⊥AB，

∴AD⊥平面EAB，又EF?平面EAB，∴EF⊥AD，

又F在以AE為直徑的半圓上，∴EF⊥AF，

∵AD∩AF=A，EF⊥平面ADF．

(2)過F在平面ABEF內(nèi)作FH⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

則FH⊥平面ABCD，

過H作GH⊥BD交BD于點(diǎn)G，連接FG，

∵FH【解析】(1)根據(jù)面面垂直，可得線面垂直，進(jìn)而利用線線垂直，能證明線面垂直；

(2)根據(jù)二面的幾何法求出其平面角，進(jìn)而由三角形邊角關(guān)系能求出二面角21.【答案】解：(1)證明：連接AC，則△ABC，△ACD均為等邊三角形，則由CD⊥AE，

因?yàn)镻A⊥面ABCD，CD?面ABCD，

所以PA⊥CD，

又因?yàn)镻A∩AE=A，

所以CD⊥面PAE，

又因?yàn)镃D?面PCD，

所以平面PCD⊥面PAE．

(2)因?yàn)椤鰽BC，△ACD均為等邊三角形，

所以∠BAC=60°，∠CAE=30°，

所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，

所以BA⊥AE，

由PA⊥面ABCD，得BA，AE，PA兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，分別以AB，AE，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2